Les nombres décimaux

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1 Les nombres décimaux

2 Un nombre décimal, c est Un nombre à virgule (la virgule est employée depuis Neper environ vers pour séparer la partie entière et la partie décimale). Un nombre pouvant s écrire sous la forme d une fraction décimale.

3 Un nombre décimal, c est Un nombre qui permet d exprimer: - Le résultat d un partage, - Une mesure de grandeur, - Le repérage d un point sur une droite

4 Les programmes du cycle 3 Fractions CM1- Nommer les fractions simples et décimales en utilisant le vocabulaire : demi, tiers, quart, dixième, centième. - Utiliser ces fractions dans des cas simples de partage ou de codage de mesures de grandeurs. Fractions CM2- Encadrer une fraction simple par deux entiers consécutifs. - Écrire une fraction sous forme de somme d un entier et d une fraction inférieure à 1. - Ajouter deux fractions décimales ou deux fractions simples de même dénominateur.

5 Nombres décimaux CM1 - Connaître la valeur de chacun des chiffres de la partie décimale en fonction de sa position (jusqu au 1/100ème). - Savoir :. les repérer, les placer sur une droite graduée,. les comparer, les ranger,. les encadrer par deux nombres entiers consécutifs,. passer d une écriture fractionnaire à une écriture à virgule et réciproquement.

6 Nombres décimaux CM2 - Connaître la valeur de chacun des chiffres de la partie décimale en fonction de sa position (jusqu au 1/10 000ème). - Savoir :. les repérer, les placer sur une droite graduée en conséquence,. les comparer, les ranger,. produire des décompositions liées à une écriture à virgule, en utilisant 10 ; 100 ; et 0,1 ; 0,01 ; 0, Donner une valeur approchée à l unité près, au dixième ou au centième près.

7 Les opérations avec les décimaux CM1 Multiplier mentalement un nombre décimal par 10, 100, Addition et soustraction de deux nombres décimaux. Multiplication d un nombre entier par un nombre décimal. Division décimale de deux entiers

8 Les opérations avec les décimaux CM2 Consolider les connaissances et les capacités en calcul mental sur les nombres décimaux. Diviser un nombre décimal par 10, 100, Addition, soustraction et multiplication de nombres décimaux Division d un nombre décimal par un nombre entier.

9 Des obstacles pour les élèves Un bouleversement: l idée de successeur n a plus de sens: -quel nombre décimal vient après 2,15? -entre deux entiers on ne peut intercaler qu un nombre fini d entiers naturels -entre deux décimaux, aussi proches soient-ils, on va pouvoir intercaler une infinité de décimaux

10 Des obstacles pour les élèves De nombreuses erreurs de comparaison ou de calcul sont basées sur une représentation d un nombre décimal comme un couple de nombres entiers séparés par un signe. Cette représentation est renforcée par l oral (un prix de 7,89 euros est le plus souvent énoncé sept euros quatre-vingt-neuf).

11 Des obstacles pour les élèves L oralisation du type sept virgule neuf pour 7,9 renforce aussi cette représentation erronée. On veillera à faire utiliser les mots dixièmes, centièmes, millièmes pour énoncer les nombres décimaux et on évitera le mot virgule.

12 Des obstacles pour les élèves Des savoirs sur les entiers renforcent parfois les difficultés: -le nombre qui a le plus de chiffres est le plus grand -des liens tels que 103>11>9 induisent certains élèves à penser que 0,103>0,11>0,9 -la comparaison de deux nombres décimaux fait en général intervenir des stratégies différentes pour les parties entières et décimales

13 Des erreurs Exemple : nombre dicté: DIX HUIT UNITES ET TROIS CENTIEMES Lors de l évaluation CM2 en 2010, 14 réponses différentes ont pu être observées dans les cahiers des élèves: 18, 03 (la bonne réponse) 18,3/100 (la virgule remplace le mot unité et la partie décimale est écrite en utilisant l écriture fractionnaire)

14 Des erreurs 18,003 ou 18,3 (confusions entre dixièmes, centièmes, millièmes et unités, dizaines, centaines La centaine est en troisième rang à gauche à partir de la virgule; par symétrie, le centième sera au troisième rang à droite de la virgule et cela donne 18,003. Sans symétrie, le centième comme la centaine, ça vient en premier et cela donne 18,3)

15 Des erreurs 318 (confusion centaine/centième) 3018 (idem mais avec un zéro pour séparer les deux parties) 18,300 (trois centièmes c est 300 après la virgule) 3,18 ou 300,18 (curieuse inversion de position entre partie entière et partie décimale)

16 Des enjeux didactiques Pour permettre aux élèves de donner du sens à ces nouveaux nombres, et donc justifier leur introduction, il faut proposer des activités qui leur permettent de prendre conscience que: Les nombres décimaux, et plus généralement les fractions, permettent de résoudre de nouveaux problèmes. L ensemble des décimaux est un sous ensemble de celui des fractions, l ensemble des fractions décimales écrites sous une autre forme (7/10 s écrit 0,7)

17 Des enjeux didactiques Certains raisonnements et certaines procédures correctes avec les entiers ne peuvent plus l être avec les décimaux (cf.les obstacles)

18 Des outils pratiques La connaissance des expressions telles que double, moitié, triple, quart est particulièrement importante, leur usage constitue une bonne préparation à la compréhension des fractions. La compréhension qu une même quantité peut s exprimer de manières différentes est aussi fondamentale.

19 Des outils pratiques Une juxtaposition de demi-droites graduées enrichira la compréhension. Elle permettra de constater que ½ =5/10=50/100 Des livres à compter peuvent faire cohabiter différentes écritures d un même nombre: 0,1 c est un dixième; 1/10; 10/100; 2/20 Des tableaux de numération (partie entière et partie décimale) qui serviront aussi pour les techniques opératoires.

20 Des activités dès le CM1 Utiliser le fait que le nombre a/b peut être vu comme «a divisé par b» en utilisant la calculatrice pour le vérifier permet de transformer 1/10 en 0,1, 1/100 en 0,01 Utiliser le fait que le nombre a/b peut être vu comme abième : la décomposition canonique permet de mieux comprendre le nouveau codage lorsqu elle est mise en lien avec un tableau de numération.

21 Exemple /1000= 6 + 5/10+ 3/100+ 7/1000 et ainsi 6537/1000= 6, millièmes s écrit dans un tableau, par analogie avec l écriture des entiers, en écrivant un chiffre par colonne en commençant par le chiffre de droite dans la colonne des millièmes: c est donc aussi «6 unités, 5 dixièmes, 3 centièmes, 7 millièmes»qui s écrit 6,537.

22 Exemple /100=89+3/10+1/100 et 8931/100=89,31 Pratiquer les lectures possibles: -8931centièmes -89unités (ou 8 dizaines et 9 unités) 3 dixièmes et 1 centième -893 dixièmes 1 centième -8 dizaines 93 dixièmes 1 centième

23 Le tableau /10 1/100 1/1000 CENTAINES DIZAINES UNITES, DIXIEMES CENTIEMES MILLIEMES

24 Exemple 3 546/10 = /10= 54,6 546/100= 5 + 4/10 = 6/100 = 5,46 Des exemples de ce type permettent d avoir une première approche du fait que la division par 10 d un nombre décimal provoque un décalage du nombre vers la droite dans le tableau de numération.

25 Exemple 3 suite Les décompositions additives usuelles des nombres décimaux sont à systématiser car elles permettent aux élèves de bien comprendre la valeur des chiffres. 5,46=5+4/10+6/100= 5+(4x1/10)+(6x1/100)= 5+(4 x 0,1)+(6 x 0,01) = 5+0,4+0,06 OU 5,46= 5+46/100= 5+(46x1/100)= 5+ 0,46

26 Importance de la lecture Pendant la construction du concept de nombre décimal, il faudra éviter de lire ou de dire «zéro virgule 4» pour 0,4 ou «4 sur 10» pour 4/10. On dira dans les deux cas 4 dixièmes. Les variétés d écritures (décimales et fractionnaires) et les lectures associées sont primordiales pour une bonne appropriation du nombre décimal.

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