Calcul d instabilité au flambement sur un carter de turbomachine

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1 Calcul d instabilité au flambement sur un carter de turbomachine S. BRUNA SNECMA Moteurs, Direction Technique Centre de Villaroche MOISSY CRAMAYEL, France

2 Table des matières. Introduction : 2 2. Méthodes de résolution de Samcef utilisées Présentation du modèle La stabilité élastique La stabilité incrémentale Analyse du comportement post-critique Analyse de la stabilité par une analyse dynamique implicite Rappel sur le schéma d intégration de Newmark Réalisation de l analyse 0 3. Conclusion 2 Table des figures Figure : Modèle éléments finis du carter étudié 3 Figure 2 : Visualisation d un mode de flambage du bras à l issu d une analyse ASEF/STABI 4 Figure 3 : Principe de la stabilité incrémentale 5 Figure 4 : Obtention de la charge critique par une méthode graphique 6 Figure 5 : Visualisation du flambage d un bras à l issue d un enchaînement MECANO/STABI 6 Figure 6 : Description du principe de la méthode post-critique 7 Figure 7 : Comportement d un calcul dynamique implicite dans le cas d un claquage d arc 8 Figure 8 : Evolution des déplacements des nœuds chargés 0 Figure 9 : Evolution des déplacements des nœuds chargés (zoom) Figure 0 : Visualisation du flambage du bras

3 . Introduction : Dans le cadre du dimensionnement des carters d échappement, les motoristes doivent étudier le comportement du carter aux spécifications de tenue à la perte d aube. Sous ce type de chargement (mise en compression des bras du carter), il convient de déterminer la charge maximale que peut supporter la structure avant de flamber. En effet, contrairement à un dimensionnement classique où la charge admissible par la structure est conditionnée par le comportement à rupture des matériaux qui la composent, ici, la charge maximale est limitée par un phénomène d instabilité induit par une mise en compression des bras du carter. Cet article a pour but de présenter quelles sont les méthodes de résolution présentes dans Samcef appliquées à Snecma Moteurs permettant de prévoir le plus finement possible la valeur du chargement critique

4 2. Méthodes de résolution de Samcef utilisées 2.. Présentation du modèle Toutes les analyses qui vont suivre ont été menées avec le même modèle éléments finis visible ci-dessous. C est un modèle coque constitué d environs nœuds. Le chargement s applique au niveau des brides de fixation et entraîne une mise en compression d un ou des bras situés au niveau des ces brides. Figure : Modèle éléments finis du carter étudié En ce qui concerne le comportement des matériaux utilisé, nous verrons que le comportement de ceux-ci dépend de la méthode de résolution choisie La stabilité élastique La première méthode présente dans Samcef et permettant de déterminer les instabilités géométriques d une structure, s appuie sur une recherche des modes d instabilité de la structure sous un type de chargement donné. La stabilité élastique consiste à rechercher les modes d instabilité en utilisant une analyse élastique. Les modes d instabilité sont obtenus en résolvant le système suivant : ( K λ S) x = 0 avec K la matrice de raideur élastique initiale du système et S la matrice de stabilité S est une linéarisation à l équilibre de la matrice de stabilité réelle de la structure pour un chargement susceptible de provoquer des instabilités, elle peut se mettre sous la forme :

5 S = K σ + K p + K u avec : K s : la matrice de raideur géométrique (modification en flexion du comportement des structures sous l effet des contraintes normales) K p : la matrice de raideur des forces vives de pression (prise en compte de la variation des forces de pression suite aux déformations de la structure) K u : la matrice de raideur des rotations initiales (correction de l énergie de déformation induite par les rotations initiales) La matrice K s est toujours présente alors que les deux autres sont optionnelles. Lorsqu elles ne sont pas présentes, le problème est ramené à un flambage d Euler. A chaque mode d instabilité trouvé correspond un coefficient l par lequel il faut multiplier le chargement F pour obtenir la valeur du chargement provoquant l instabilité. En pratique ce type d analyse est mis en œuvre dans samcef par un enchaînement ASEF / STABI. Le premier permettant de déterminer les contraintes et déplacements associées au chargement nominal à partir desquels la matrice de stabilité S sera évaluée, et le deuxième évaluant la matrice de stabilité et recherchant les modes d instabilité. Cette première méthode est peu coûteuse en temps puisqu elle nécessite la réalisation d un seul calcul statique linéaire (ASEF) et d un seul calcul de stabilité (STABI). Cette méthode ne permet cependant pas d évaluer de façon précise le chargement critique lorsque la structure se déforme de façon importante et même se plastifie. En effet les chargements critiques obtenus sont alors surestimés par cette méthode et il est difficile de réaliser un recalage par rapport à des essais. Figure 2 : Visualisation d un mode de flambage du bras à l issu d une analyse ASEF/STABI

6 2.3. La stabilité incrémentale Afin de pallier les inconvénients de la première méthode, qui sont notamment la non prise en compte des non-linéarités géométriques (grandes déformations) et des non-linéarités matérielles (plasticité), il est possible de remplacer dans la stabilité élastique le module ASEF par le module MECANO. Le principe de la méthode utilisée est identique à celui utilisé pour la stabilité élastique. Cette fois-ci la matrice de stabilité est évaluée à partir des matrices tangentes entre deux instants t i et t i- du calcul MECANO. Le coefficient de charge critique obtenu avec le module STABI est en fait le coefficient multiplicateur de l incrément de charge à appliquer pour rencontrer l instabilité. Il apparaît ainsi que plus le pas de temps utilisé pour évaluer la matrice de stabilité sera proche du pas de temps correspondant au chargement critique, plus la charge critique obtenue sera proche de la charge critique réelle. Ceci apparaît de manière plus explicite sur les graphes ci-dessous. F F ci F c DF F i F i- u i- u i u u Figure 3 : Principe de la stabilité incrémentale Le schéma ci-dessus montre que si nous réalisions le calcul STABI dès les premiers pas temps du calcul MECANO nous obtiendrions la même charge critique que celle obtenue avec la méthode de stabilité élastique. En pratique, cette méthode nécessite de réaliser un calcul MECANO et de sauvegarder les matrices de raideur et de stabilité régulièrement (la valeur du chargement critique n est pas connue initialement) afin de les utiliser par la suite pour l analyse STABI. Cette méthode s avère ainsi nettement plus coûteuse en temps et en espace disque que la méthode de stabilité élastique

7 Valeur de la charge critique obtenue,2, 0,9 0,8 0,7 0,6 Valeurs issues du calcul stabi Equation y=x 0,5 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Valeur de la charge appliquée Figure 4 : Obtention de la charge critique par une méthode graphique Nous pouvons également signalé que cette méthode ne permet pas dans tous les cas d obtenir la charge maximale admissible par la structure (c est une méthode conservative, si l évaluation de la matrice de stabilité se fait pour un pas temps proche du pas de temps critique). En effet, dès la première instabilité détectée, le module MECANO (avec la méthode de résolution de Newton- Raphson) s arrête. Il n est pas possible d observer le comportement post-critique de la structure et d éventuellement s apercevoir que la structure parvient à se stabiliser de nouveau pour accepter une charge maximale supérieure à celle détectée lors de la première instabilité. Figure 5 : Visualisation du flambage d un bras à l issue d un enchaînement MECANO/STABI

8 2.4. Analyse du comportement post-critique Contrairement à précédemment, l analyse du comportement post-critique d une structure se fait par une analyse MECANO directe utilisant une méthode d incrémentation dans laquelle le temps n est plus contrôlé par le calculateur. On introduit alors un nouveau paramètre d incrémentation s appelé «longueur de l arc». Ce nouveau paramètre est relié par une nouvelle équation aux déplacements et aux chargements de la manière suivante : F ( q ; λ ) = 0 Eq c ( q ; λ ) = 0 Eq 2 avec : la première équation correspondant à l équilibre du système la deuxième permettant d introduire le nouveau paramètre s Plusieurs formulations sont disponibles dans Samcef : Riks, Fried, Crisfield. Dans le cas traité, c est la méthode de Riks qui a été employée. L équation Eq 2 prend alors la forme : T c( q; λ ) = n q s = 0 Figure 6 : Description du principe de la méthode post-critique En pratique cette méthode est délicate à mettre en œuvre car il est difficile d obtenir le bon paramétrage permettant une convergence rapide du calcul. Après quelques essais, j ai décidé de ne pas poursuivre dans cette voie

9 2.5. Analyse de la stabilité par une analyse dynamique implicite Contrairement aux méthodes précédemment utilisées, cette méthode permet de passer plus facilement les instabilités puisqu elle considère les inerties, les vitesses de la structure. La précision sur l erreur d intégration temporelle n est pas très importante car nous ne sommes pas intéressés par la réponse transitoire réelle de la structure. D ailleurs nous ne connaissons en général pas la vitesse d application des charges. C est pourquoi un fort amortissement numérique est introduit de manière à «stabiliser» la solution. La figure suivante présente la courbe charge-déplacement typique d un problème dit de «claquage de l arc». La courbe en bleu correspond au comportement réel de la structure. On note que pour l effort critique Fc (point B), la raideur Kt devient mathématiquement singulière. C est ce qui pose problème lors d un calcul statique avec méthode d incrémentation de la charge classique. Un algorithme dynamique implicite utilisant une méthode d intégration temporelle telle que celle de Newmark, suivra la courbe verte discontinue. Chargement Kt Fc B Kt C Ko A Déplacement Comportement réel de la structure Calcul dynamique implicite Figure 7 : Comportement d un calcul dynamique implicite dans le cas d un claquage d arc 2.5. Rappel sur le schéma d intégration de Newmark La résolution numérique des problèmes de dynamique passe par l utilisation des méthodes d intégration directes. Ces méthodes font appel à des schémas d intégration temporelle. Ce paragraphe a pour but de décrire

10 brièvement les bases du schéma de Newmark. Afin de simplifier le raisonnement, nous allons nous limiter au cas linéaire, c est-à-dire que les matrices M, C et K évoquées plus bas sont constantes. Lors d un calcul dynamique, on cherche à résoudre l équation suivante : M q& & + C q& + K q = F(t) instant t (Eq. ) et avec M : matrice de masse, C : matrice d amortissement, K : matrice de raideur, F(t) : matrice des efforts, q, q& et & q& : position, vitesse et accélération. Connaissant la position, la vitesse et l accélération à un instant t n, on cherche à déterminer ces mêmes variables à l instant t n+ = t n + h, où h est le pas de temps, à priori choisi par l utilisateur. Pour cela, Newmark approche les expressions de la position q n+ et de la vitesse q& n+ à l instant t n+ par les formules (Eq. 2) et (Eq. 3) : q n+ = q n + h q& n + ( - β ) h 2 & q 2 n + β h 2 & q n+ (Eq. 2) q& n+ = q& n + ( - γ ) h & q n + γ h & q n+ (Eq. 3) Ces dernières sont obtenues en développant la vitesse et la position à t n+ par la formule de Taylor. Les résidus de ces développements ont la forme d une intégrale de l accélération qui est approchée par la méthode dite de quadrature numérique. Les constantes γ et β sont les paramètres de la formule de quadrature utilisée. En général on prend γ = ½ et β = ¼, ce qui revient à faire l hypothèse que l accélération est constante sur l intervalle [0 ; h] et égale à une valeur moyenne. Newmark injecte dès lors les expressions (Eq. 2) et (Eq. 3) dans l équation d équilibre dynamique (Eq. ), afin de calculer l accélération à t n+ : M & q n+ + C ( q& n + ( - γ ) h & q n + γ h & q n+ ) + K ( q n + h q& n + ( - β ) h 2 & q 2 n + β h 2 & q n+ ) = F(t n+ ) ( M + γ h C + β h 2 K ) & q n+ = F(t n+ ) C ( q& n + ( - γ ) h & q n ) - K ( q n + h q& n + ( - β ) h 2 & q 2 n ) posons S = ( M + γ h C + β h 2 K ) q& n+ = q& n + ( - γ ) h & q n q n+ = q n + h q& n + ( - β ) h 2 & q 2 n

11 d où, S & q n+ = F(t n+ ) C q& n+ - K q n+ (Eq. 4) S et le second membre sont entièrement connus donc la résolution du système linéaire (Eq. 4) permet d évaluer l accélération & q n+. La position et la vitesse sont finalement obtenues en injectant la valeur de & q n+ dans les expressions (Eq. 2) et (Eq. 3) Réalisation de l analyse En pratique le chargement a été appliqué à la structure de telle sorte que le temps corresponde au pourcentage de la charge nominale. En réalité dans une analyse dynamique, le temps a une réelle signification et appliquer le chargement en s ou 0 s ne donnera pas les même résultats. Cependant dans notre cas, la réponse transitoire exacte ne nous intéresse pas et l utilisation d un fort amortissement numérique nous rapproche du cas quasi-statique. Afin de déterminer la valeur du chargement critique, on peut visualiser cidessous l évolution du déplacement en fonction de l effort des nœuds des brides soumis aux charges. Déplacements (composantes, 2 et 3) des noeuds chargés 0,0 0, 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9,0 Déplacement (mm) Temps (s) Figure 8 : Evolution des déplacements des nœuds chargés

12 Déplacements des noeuds chargés : zoom sur l'intervalle [0,935 ; 0,953] 0,935 0,937 0,939 0,94 0,943 0,945 0,947 0,949 0,95 0,953 Déplacement (mm) Temps (s) Figure 9 : Evolution des déplacements des nœuds chargés (zoom) Cette méthode permet d obtenir des résultats qualitatifs (en terme de déformée) et quantitatifs (du point de vue de la valeur de la charge critique) comparable à ceux obtenus avec la méthode de stabilité incrémentale. Elle confirme également le fait que la structure plastifie avant de flamber. L unique difficulté de la méthode est de repérer le plus proprement possible l instant pour lequel il y a bifurcation. En effet comme nous pouvons le constater ci dessus, chaque nœud voit son déplacement augmenté fortement pour des instants différents. Cette méthode reste relativement simple à mettre en oeuvre et nécessite une seule analyse Mecano, ce qui la rend nettement moins gourmande en terme de temps et d espace disque que la méthode incrémentale

13 3. Conclusion Figure 0 : Visualisation du flambage du bras Comme nous avons pu le constater dans les différentes analyses qui ont été réalisées, l analyse de comportements instables est complexe et nécessite parfois l utilisation de méthodes de résolution peu courantes et difficiles à mettre en œuvre (Méthode post-critique de Riks). Nous pouvons cependant constater que le solveur EF Samcef permet d appréhender ces phénomènes d instabilités de différentes manières en fonction de la complexité du modèle (essentiellement les non linéarités géométriques et matérielles). Ainsi lorsque le modèle a un comportement linéaire, la méthode de stabilité élastique permet d obtenir facilement la valeur du chargement critique. Lorsque le comportement devient non linéaire il faut préférer soit la méthode incrémentale, soit l analyse dynamique implicite qui permettent d obtenir dans le cas traité ici des résultats équivalents