Limite d'une suite. soit n > 9

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1 Limite d'ue suite I) Limite d'ue suite : a) ite ifiie : défiitio : Ue suite (u ) a pour ite + quad ted vers + si tout itervalle de la forme ]A; +[ (A état u réel) cotiet tous les termes u à partir d'u certai rag 0. O ote + (u ) = + Cela reviet à dire que pour tout ombre réel A, o peut trouver u etier 0 tel que, pour tout etier 0, o ait u > A! U ombre A peut être aussi grad qu'o l'imagie, les termes u parvieet à le dépasser! itervalle ouvert ]A; +[ u suites de référece de ite + (résultats admis) Soit k u ombre réel (k>0) Les suites (k), (k 2 ), (k 3 ), (k ), (ke ) ot pour ite +. A 0 tous les u sot das l'itervalle ]A; +[ quad 0 défiitio : Ue suite (u ) a pour ite quad ted vers + si tout itervalle de la forme ] ; A[ (A état u réel) cotiet tous les termes u à partir d'u certai rag 0. O ote + u = Cela reviet à dire que pour tout ombre réel A, o peut trouver u etier 0 tel que, pour tout etier 0, o ait u < A! U ombre A peut être aussi petit qu'o l'imagie, les termes u parvieet à lui être tous iférieurs à partir d'u certai rag! suites de référece de ite (résultats admis) Soit k u ombre réel (k>0) Les suites ( k), ( k 2 ), ( k 3 ), ( k ), ( ke ) ot pour ite. Ex : (u ) est la suite défiie par u = 3. Démotros que (u ) a pour ite + : Soit u itervalle ]A; +[ avec A 0 (o cosidère A positif puisque 3 0). u ]A; +[ si et seulemet si 3 > A, c'est à dire > A 3 soit > A2 9 Si o pred 0, u etier aturel strictemet supérieur à A2, alors tout itervalle ouvert ]A; +[ cotiet tous les termes u à partir du rag 0. 9 Par suite, + u = + 1

2 b) ite fiie : défiitio : Ue suite (u ) a pour ite u ombre réel quad ted vers + si tout itervalle ouvert I coteat cotiet tous les termes u à partir d'u certai rag 0. O ote + u = O dit alors que (u ) coverge vers. (u ) est ue suite covergete! itervalle ouvert I coteat u Il existe u etier aturel 0 tel que tous les u se trouvet das l'itervalle ouvert quad O peut dire que les termes u s'accumulet autour de! suites de référece de ite 0 (résultats admis) Soit k u ombre réel, les suites k, k 2, k 3, k, (ke ) ot pour ite 0. Ex : (u ) est la suite défiie par u = 3 2. Démotros que (u ) coverge vers 0 : o est certai que tous les itervalles ouverts coteat 0 s'écrivet ] a ; b[! Soit u itervalle ] a ; b[ avec a et b deux ombres réels tels que a>0 et b>0 u ] a ; b[ si et seulemet si -a < 3 2< b, c'est à dire 0 < 3 2 < b ( 3 ² > 0), la foctio iverse est strictemet décroissate! ce qui reviet à 2 3 > 1 b soit 2 > 3 b doc > 3 b Si o pred 0, u etier aturel strictemet supérieur à 3, alors tout itervalle ou- b vert ] a ; b[ cotiet tous les termes u à partir du rag 0. Par suite, + u = 0 propriété : uicité de la ite Si ue suite (u ) a pour ite u ombre réel quad ted vers +, alors cette ite est uique. 2

3 démostratio (raisoemet par l'absurde) Supposos qu'ue suite (u ) admette deux ites et ' avec <' D'après les défiitios précédetes, cela voudrait dire que l'itervalle ouvert ] 1 ; + ' 2 [ cotiet tous les termes u à partir d'u rag 0 et que l'itervalle ouvert ] + ' 2 ; '+1[cotiet tous les termes u à partir d'u rag 1. Si o pred plus grad que 0 et 1, cela voudrait dire que u est das les deux itervalles. C'est impossible, car les deux itervalles sot disjoits et leur itersectio est doc vide. Doc est forcémet égal à '. Par suite, ue suite (u ) e peut pas admettre deux ites distictes. remarques : Très utile das ce cas : détermios la ite de la suite covergete (u ) défiie par récurrece u 0=1 1 u +1= O a u +2 + u = + u +1 doc vérifie = 1 +2 doc =0 doc = 1! Les défiitios précédetes coduiset à l'assertio suivate : Si ue suite (u ) a ue ite fiie ou ifiie alors + u = + u +1 Certaies suites 'ot pas de ite. Par exemple la suite (u) défiie sur par u = ( 1). Elle pred alterativemet les valeurs 1 si est impair et 1 si est impair. Elle e peut doc avoir pour ite + ou. D'autre part, si est u réel, u itervalle tel que ] 0,3; +0,2[ d'amplitude 0,5 e peut coteir e même temps 1 et 1. Il 'existe doc pas de rag à partir duquel tous les u soiet das cet itervalle. Par suite, il 'existe pas de ite fiie pour la suite (u). ue suite est divergete quad elle 'a pas de ite ou quad elle a ue ite ifiie. II) Limites et comparaiso : a) Théorème de comparaiso : (u) et (v) sot deux suites défiies sur. 1 si u v à partir d'u certai rag et 2 si u v à partir d'u certai rag et + u = + alors + v = + + v = alors + u = démostratio - exigible - 1 Soit A u ombre réel quelcoque. O sait que + u = + doc (voir défiitio) l'itervalle ]A; +[ cotiet tous les termes u à partir d'u certai rag 0. O sait égalemet que u v à partir d'u certai rag 1. Appelos M le plus grad des etiers 1 et 0. A partir du rag M, ]A; +[ cotiet doc tous les u et à plus forte raiso tous les v. A état quelcoque, à partir du rag M, tout terme v est coteu das tout itervalle ouvert ]A; +[. Par suite, + v = + 3

4 2 Soit A u ombre réel quelcoque. O sait que + v = doc (voir défiitio) l'itervalle ] ; A[ cotiet tous les termes v à partir d'u certai rag 0. O sait égalemet que u v à partir d'u certai rag 1. Appelos M le plus grad des etiers 1 et 0. A partir du rag M, ] ; A[ cotiet doc tous les v et à plus forte raiso tous les u. A état quelcoque, à partir du rag M, tout terme u est coteu das tout itervalle ouvert ] ; A[. Par suite, + u = b) Suites mootoes covergetes: propriétés : 1 Si ue suite u est croissate et coverge vers u ombre réel alors, pour tout etier aturel, o a u 2 Si ue suite u est décroissate et coverge vers u ombre réel alors, pour tout etier aturel, o a u o tiet u raisoemet par l'absurde! démostratio - exigible - 1 Supposos qu'il existe u etier aturel 0 tel que u 0 >. Comme la suite est croissate, cela voudrait dire qu'à partir du rag 0 tous les termes u sot e dehors de l'itervalle ] ; u 0 [ C'est impossible puisque appartiet à ] ; u 0 [ et que cet itervalle ouvert doit coteir tous les termes de la suite (u ) à partir d'u certai rag. Doc, pour tout etier aturel, o a u. 2 Supposos qu'il existe u etier aturel 0 tel que u 0 <. Comme la suite est décroissate, cela voudrait dire qu'à partir du rag 0 tous les termes u sot e dehors de l'itervalle ] u 0 ;+[ C'est impossible puisque appartiet à ] u 0 ;+[ et que cet itervalle ouvert doit coteir tous les termes de la suite (u ) à partir d'u certai rag. Doc, pour tout etier aturel, o a u. propriété (admise) : (u) et (v) sot deux suites covergetes respectivemet vers et '. Si u v à partir d'u certai rag alors '. c) Théorème des gedarmes (théorème d'ecadremet): (admis) Soiet (u ), (v ) et (w) trois suites. Si (v ) (u ) (w ) à partir d'u certai rag et si les suites (v ) et (w) coverget vers la même ite alors la suite (u ) coverge vers. Ex : Détermios la ite de la suite (u ) défiie par u = cos pour 1. Pour tout etier aturel 1, o a 1 cos 1 doc, 1 x 1 cos x 1 1 x 1 ( 1 > 0) doc, 1 cos 1 par suite, 1 u 1 Or, + 1 = 0 et 1 = 0 doc les ites sot égales + et d'après le théorème des gedarmes + u = 0 4

5 II) Limites de suites et opératios : (u) et (v) sot deux suites, et ' sot deux ombres réels propriété 1 (admise): ite d'ue somme si si + u = v =... ' (u + v ) =... + ' + +? alors propriété 2 (admise): ite d'u produit si + u =... > 0 > 0 < 0 < si + v =... ' (u v ) =... x ' ?? alors O e peut pas coclure directemet, la forme est idétermiée. Das ce cas, il faudra parveir à lever l'idétermiatio! propriété 3 (admise): ite d'u quotiet (v) est telle que pour tout etier aturel, v 0 o utilise la règle des siges pour trouver le sige de la ite d'u quotiet ou d'u produit! quad si + v 0 + u = ou si + v =... ' 0 + ou ' > 0 ' < 0 ' > 0 ' < 0 + ou u 0 alors = ? + v ' quad + v = 0 si + u =... >0 ou + <0 ou >0 ou + <0 ou 0 si + v =... 0 alors 0 e état positif 0 e état positif 0 e état égatif 0 e état égatif u = ? + v Ex : détermier les ites des suites (u) suivates défiies sur par : u = = + doc = + = + (suites de référece) 5

6 u = = + doc + u = = + et u = = = + et u = = et u = doc = 0 doc = = forme idétermiée, o e peut pas coclure! = 2 doc =+ + 3 = + forme idétermiée, o e peut pas coclure! = = x or = = + et = 1 III) Limites de suites mootoes - suites majorées, miorées, borées : défiitios : Soiet ue suite (u ) défiie sur et m et M deux ombres réels o dit que la suite (u ) est majorée par M quad, pour tout etier aturel, u M M est appelé u majorat de la suite (u ). o dit que la suite (u ) est miorée par m quad, pour tout etier aturel, u m m est appelé u miorat de la suite (u ). o dit que la suite (u ) est borée quad elle est à la fois miorée et majorée. Ex : o lève l'idétermiatio e mettat e facteur le terme la puissace de tedat le plus rapidemet vers l'ifii! o lève l'idétermiatio e factorisat le umérateur et le déomiateur par la puissace de tedat le plus rapidemet vers l'ifii! Soit la suite (u ) défiie sur par u = pour tout etier aturel 1. Pour tout 1, 5 5 doc doc u 8. La suite est majorée par 8. Pour tout 1, 5 0 doc doc u 3. La suite est miorée par 3. Par suite, la suite (u ) est borée (elle est à la fois majorée et miorée). Les suites défiies sur par u = ( 1), v = cos(), w = si() sot toutes miorées par 1 et majorées par 1. Elles sot doc borées. 6

7 Théorèmes de covergece (admis) : Si ue suite est croissate et majorée, alors cette suite est covergete (elle a ue ite fiie) Si ue suite est décroissate et miorée, alors cette suite est covergete attetio, ces théorèmes permettet de déduire la covergece mais e permettet pas de coaître la ite! propriétés : 1 Si ue suite (u) coverge vers u ombre réel et que (u) est majorée par u ombre réel M alors M 2 Si ue suite (u) coverge vers u ombre réel et que (u) est miorée par u ombre réel m alors m démostratio - exigible - (raisoemet par l'absurde) 1 Supposos que > M. Cosidéros u itervalle I coteat et iclus das l'itervalle ouvert ]M ; +[. (u ) a pour ite fiie doc il existe u rag à partir duquel tous les termes de la suite sot das I. C'est impossible puisque M est u majorat de (u ). Par suite, M. M 2 Supposos que < m. Cosidéros u itervalle I coteat et iclus das l'itervalle ouvert ] ; m[. (u ) a pour ite fiie doc il existe u rag à partir duquel tous les termes de la suite sot das I. C'est impossible puisque m est u miorat de (u ). Par suite, m. m propriétés : 1 Si ue suite (u) est croissate et o majorée alors 2 Si ue suite (u) est décroissate et o miorée alors + u = + + u = démostratio - exigible - 1 Soit ue suite (u ) croissate et o majorée. Si elle 'est pas majorée, cela veut dire que, quel que soit le ombre A, il existe u rag 0 tel que u 0 >A. Comme la suite est croissate, tous les termes de rag supérieur à 0 sot strictemet supérieurs à A. Il e résulte que, quel que soit le ombre A, il existe u rag 0 à partir duquel tous les termes de la suite (u ) sot das l'itervalle ouvert ]A ; +[. (u) a doc pour ite + (voir défiitio de la ite ifiie pour ue suite). 7

8 2 Soit ue suite (u ) décroissate et o miorée. Si elle 'est pas miorée, cela veut dire que, quel que soit le ombre A, il existe u rag 0 tel que u 0 <A. Comme la suite est décroissate, tous les termes de rag supérieur à 0 sot doc strictemet iférieurs à A. Il e résulte que, quel que soit le ombre A, il existe u rag 0 à partir duquel tous les termes de la suite u sot das l'itervalle ouvert ] ; A[. (u) a doc pour ite (voir défiitio de la ite ifiie pour ue suite). 8