Simulation du jeu de basket sur la TI 89.

Transcription

1 Smulaton du jeu de basket sur la TI 89. Renée Gossez. Nous proposons c deux formulatons dfférentes du même problème, la premère, destnée à des élèves de 4 ème année du secondare, la seconde, un peu plus élaborée, à des élèves de 5 ème, opton 6 heures semane. La résoluton du problème s'est fate dans chacune des deux classes en utlsant une calculatrce TI89 pour effectuer certans calculs et vérfer l'exacttude des réponses trouvées par les élèves. Nous en fasons le compte-rendu dans les pages qu suvent. L'objectf poursuv dans ce genre d'exercce est d'habtuer les élèves à applquer leurs connassances mathématques à une stuaton-problème. L'apport de la calculatrce est double : - elle permet à l'élève qu a trouvé une stratége pour résoudre le problème, de ne plus fare d'erreurs de calcul; - elle fournt une approche dynamque du problème qu donne la possblté de s'autocorrger. Fgure 1 T 3 EUROPE et T 3 EUROPE & desgn sont des marques déposées de Texas Instruments Inc. 1

2 Premer énoncé du problème. Un paner de basket est suspendu à un pquet métallque, à une hauteur de m0. Un joueur qu se trouve à 5 mètres du ped du pquet lance un ballon d'un hauteur de 1m80. On suppose que la résstance de l'ar est néglgeable, que le ballon et le paner sont assmlables à des ponts matérels et que la trajectore du ballon est entèrement stuée dans le plan formé par le pquet et la poston ntale du ballon. Dans un repère ben chos, détermner l' équaton d'une trajectore possble du ballon, pour qu'l atterrsse dans le paner. Second énoncé. Un paner de basket est suspendu à un pquet métallque, à une hauteur de m0. Un joueur qu se trouve à 5 mètres du ped du pquet lance un ballon d'un hauteur de 1m80. On suppose que la résstance de l'ar est néglgeable, que le ballon et le paner sont assmlables à des ponts matérels et que la trajectore du ballon est entèrement stuée dans le plan formé par le pquet et la poston ntale du ballon. 1 Dans un repère adéquat, écrre les équatons de la trajectore d'un ballon lancé avec une vtesse ntale v et un angle de tr θ avec l'horzontale; Détermner une condton sur l'angle θ et la vtesse v pour que le ballon tombe dans le paner. 3 Détermner, en foncton de θ, l'angle que fat la trajectore du ballon avec l'horzontale au moment où le ballon atterrt dans le paner. Préparaton de l'écran GRAPH. Nous mettons l'orgne O du repère à la vertcale de la poston du ballon, l'axe Ox est horzontal et orenté vers le paner de basket, l'axe Oy est perpendculare à Ox et passe par le ballon. Créons le tableau Data que voc Fgure Fgure 3 Les colonnes c1 et c contennent les coordonnées du paner, les colonnes c3 et c4, celles de la poston ntale du ballon. Les colonnes c5 et c6 permettent de représenter le pquet. T 3 EUROPE Smulaton du jeu de basket sur la TI89

3 Défnssons le type de graphque qu dot correspondre au tableau Data créé c-dessus : Fgure 4 ce qu donne, dans une fenêtre ben chose : Fgure 5 Résoluton du problème en 4 ème. Les élèves arrvent assez vte à la concluson que la courbe qu représentera le meux la trajectore du ballon pourrat être une parabole d'équaton y = ax + bx+ cqu passe par les ponts de coordonnées ( 0,1.8) et ( ) Ils procèdent aux calculs suvants : 5,.. Fgure 6 Fgure 7 et constatent qu'l y a une nfnté de paraboles qu satsfont aux contrantes. 5b 9 Leur équaton générale est donnée par : y = x + bx Pour obtenr une des trajectores, l sufft de donner à b une valeur chose au hasard: Fgure 8 Fgure 9 T 3 EUROPE Smulaton du jeu de basket sur la TI89 3

4 et de tracer le graphque de la courbe correspondante :!"Cet élève a oublé une condton, à savor que 5b < 0 b >!! 15 5 Fgure 10 Nouveaux essas : Fgure 11 Fgure 1 Fgure 13 Fgure 14 Fgure 15 Fgure 16 Cette dernère soluton ben que correcte selon les conventons de l'énoncé, est mons réalste. Le ballon frappe le paner mas n'y entre pas. On pourrat affner le problème en mposant que le ballon atterrsse dans le paner avec un angle d'ncdence donné. Cec est trop complqué pour des élèves de 4 ème mas est envsageable avec des élèves de 5 ème. T 3 EUROPE Smulaton du jeu de basket sur la TI89 4

5 Résoluton du problème en 5 ème. 1 S la résstance de l'ar est néglgeable, le mouvement d'un projectle dépend unquement de sa poston ntale( x, y ), de sa vtesse ntale v r et de l'accélératon gravtatonnelle. La poston du projectle est détermnée à tout nstant t par les équatons x = vx t+ x 1 = + y vy t g t y où x v et v y sont les composantes du vecteur vtesse respectvement suvant l'axe Ox et l'axe Oy et où g est l'accélératon de la pesanteur. Vor : Physque, Kane et Sternhem, page Dans notre cas, Les équatons paramétrques du mouvement de notre ballon sont donc : x = v cosθ t 1 = θ + L'élmnaton du paramètre t donne y v sn t gt 1.8 l'équaton cartésenne d'une parabole. 1 g = + θ + θ + qu est y (1 tg ) x tg x 1.8 v T 3 EUROPE Smulaton du jeu de basket sur la TI89 5

6 La trajectore du ballon passera par le paner s 5= v cosθ t 1. = v sn θ t gt (1) De (1) découle la relaton cherchée, à savor # v 15g 50sn θcos θ 4cos θ = Les élèves qu tentent d'obtenr la relaton () avec la calculatrce comprennent vte qu'l vaut meux, dans ce cas-c, procéder à la man! () Par contre, la calculatrce va leur permettre de vérfer que le résultat trouvé est correct, en smulant le lancer du ballon : Fgure 17 Fgure 18 Fgure 19! Pour que la relaton () at un sens, l y a une pette condton à poser sur θ! Fgure 0 Quelle est cette condton? π π 50sn θcos θ 4cos θ> 0 tgθ> < θ< (car 0 <θ< ) 5 Quelle est la sgnfcaton "physque" de cette condton? Il est clar que l'angle de tr dot être supéreur à β pour que le ballon at des chances d'attendre le paner! 0.4 Or tgβ= =. 5 5 T 3 EUROPE Smulaton du jeu de basket sur la TI89 6

7 Nouvel essa : Cela marche! Fgure 1 Fgure 3 Occupons-nous mantenant de l'angle d'ncdence du ballon dans le paner. Sot ϕ l'angle d'ncdence du ballon dans le paner. Rappelons que l'équaton cartésenne de la trajectore du ballon est donnée par 1 g y = (1 + tg θ) x + tgθ x lorsque v v vérfe la condton () de la page 6. On a : tgϕ = y'(5). Fgure 3 Fgure 4 Fgure 5 L'angle d'ncdence du ballon est donc donné par 4 tgϕ = tgθ 5 Références. Charles Vonder Embse and Arne Engebretsen, A mathematcal look at free throw usng technology, The Mathematcs Teacher, Vol. 89, N 9, December 1996, p Mchele Impedovo, Colpre l bersaglo, Columbus, Jullet T and Oho State Unversty Summer School, Joseph Kane et Morton Sternhem, Physque, InterEdtons, Pars,1986. T 3 EUROPE Smulaton du jeu de basket sur la TI89 7