CHAPITRE 8 - PROBABILITÉS

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1 CHAITRE - ROBABILITÉS OBJECTIS Définir une variable aléatoire discrète. Établir la loi de probabilité d'une variable aléatoire discrète. Calculer l'espérance d'une variable aléatoire. Interpréter l'espérance d'une variable aléatoire. Utiliser un arbre pondéré pour représenter la répétition de plusieurs expériences identiques et indépendantes. Connaître et utiliser le principe multiplicatif lié aux arbres pondérés. I - Variable aléatoire et loi de probabilité ) Définir une variable aléatoire Lorsqu à chaque issue d'une expérience aléatoire, on associe un nombre réel, on dit que l'on définit une variable aléatoire. Notation Une variable aléatoire est généralement notée par une lettre majuscule X, Y, Z Lorsque x, x 2,., x n sont les valeurs prises par une variable aléatoire X, on note ( X =x i ) l événement «X prend la valeur x i». Voici un jeu : on lance une pièce et un dé à six faces. Si on obtient ile ou ou 2, on gagne. Si on obtient ace et 5 ou, on perd. Sinon, on ne gagne ni ne perd. On note X le gain obtenu. On définit ainsi une variable aléatoire. ) Quel est l'univers de l'expérience? 2) Quelles sont les valeurs possibles de la variable aléatoire X? ) Écrire sous forme d'ensemble l événement ( X = ) et ( X =0).

2 2) Établir la loi de probabilité d'une variable aléatoire Lorsqu'à chaque valeur x, x 2,., x n prise par la variable aléatoire X, on associe la probabilité de l'événement ( X =x i ), on dit que l'on définit la loi de probabilité de X. On peut présenter cette loi à l'aide d'un tableau : Valeur x i x x 2... x n ( X = x i ) p p 2... p n On a p + p p n =. Déterminer la loi de probabilité associée à la variable aléatoire X de l'exemple du ). En supposant que le dé et la pièce sont équilibrés, chaque issue de l'expérience a la même probabilité. Valeur - 0 robabilité 2 ) Espérance d'une variable aléatoire L'espérance mathématique de la variable aléatoire X, notée E(X), est la moyenne des x i pondérées par leurs probabilités : E ( X )= p x + p 2 x p n x n L espérance peut être interprétée comme une valeur moyenne, elle est donc exprimée dans la même unité que les valeurs prises par X. L'espérance de la variable aléatoire associée au jeu précédent est : E (x)= ( ) =. Cela signifie qu'à ce jeu, on peut espérer gagner Un jeu est dit équitable si E ( X )=0. d'euro si on joue un grand nombre de fois.

3 II- Répétition d'expériences et arbres pondérés Effectuer successivement la même expérience aléatoire, dans les mêmes conditions, c'est réaliser une succession d'expériences identiques et indépendantes. Une issue est donc une liste des résultats de l'expérience aléatoire répétée. Représentation Une répétition successive d'expériences identiques et indépendantes est généralement représentée par un arbre pondéré. On lance trois fois une pièce de monnaie bien équilibrée. Cette situation peut-être représenter par un arbre pondéré. /2 /2 /2 /2 ropriété On admet le principe multiplicatif : la probabilité d'une liste de résultats est égale au produit des probabilités de chaque résultat. A partir d'un arbre pondéré, la probabilité d'un événement correspondant à un chemin est égale au produit des probabilités inscrites sur chaque branche de ce chemin. On note X la variable aléatoire comptant le nombre de ACE observées à chaque série de trois lancers. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X, ainsi que l'espérance de la variable aléatoire X. On peut présenter la situation dans un tableau : Valeurs 0 2 robabilités E (x)= = + + = 2 = 2 =,5

4 III Loi binomiale ) Loi de Bernoulli Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui n'a que deux issues : succès et échec. On note p la probabilité de succès et q = p la probabilité d'échec. Définir une loi de Bernoulli de paramètre p, c'est associer à une expérience aléatoire une loi de probabilité comme ci-dessous : Issues Succès Échec robabilité p p ropriété On associe au succès le nombre et à l'échec le nombre 0 : l espérance de la loi de Bernoulli est p. Dans une urne sont placées dix boules : rouges et 4 blanches. On définit une loi de Bernoulli en assimilant au succès le fait de piocher une boule rouge, on a alors p = 0, et q = 0,4. 2) Loi binomiale Coefficients binomiaux On s'intéresse à la répétition de n expériences identiques et indépendantes à deux issues E (échec) et S (succès). Le nombre de listes où le succès S apparaît exactement fois parmi n résultats est le coefficient binomial noté n, où 0 n ; il se lit «parmi n» et est obtenu avec la calculatrice. On lance quatre fois une pièce bien équilibrée, le nombre de listes où on obtient ACE deux fois exactement est 4 =. 2 Lors de la répétition de n épreuves de Bernoulli, identiques et indépendantes, on définit la variable aléatoire X égale au nombre de succès obtenus à la fin des n épreuves. La loi de probabilité de X est nommée loi binomiale de paramètres n et p, où p est la probabilité de succès de la loi de Bernoulli, on la note B(n ; p). ropriété La probabilité d'obtenir une liste de succès et n échecs à la fin des n épreuves, se calcule en appliquant le principe multiplicatif.

5 La probabilité d'obtenir une liste de succès et n échecs est égale à : p q n n Il y a listes composées de succès parmi n. inalement la probabilité d'obtenir exactement succès est : n (X = ) = x p q n Types de listes possibles : (S, S,, S, S, E, E,, E, E). On reprend l'urne où sont placées dix boules : rouges et 4 blanches. On considère toujours que le succès est le fait de piocher une boule rouge (p = 0, et q = 0,4). On pioche 5 boules avec remise, on utilise donc la loi binomiale B(5 ; 0,). La probabilité d'avoir pioché boules rouges parmi les 5 résultats est : 5 (X=) = x 0, 0,4 2 Théorème (admis) L'espérance de la loi binomiale B(n ; p) est le produit de ses paramètres : n x p.