INTRODUCTION À LA MÉCANIQUE DES FLUIDES CVG 2516 HYDROSTATIQUE (STATIQUE DES FLUIDES) Ioan NISTOR

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1 INTRODUCTION À LA MÉCANIQUE DES FLUIDES CVG 2516 HYDROSTATIQUE (STATIQUE DES FLUIDES) Ioan NISTOR

2 3.1 Pression Pour un fluide au repos, le seul effort existant c est l effort normal la pression p Dans un cas général, l effort sur un élément de fluide ou sur un point est un tenseur: τ ij = Pour un fluide au repos, τ ij = 0, i j, effort de cisaillement = 0 τ ii = -p = τ xx = τ yy = τ zz (σ xx = σ yy = σ zz ) obs: la pression p est isotropique, ayant une seule valeur dans chaque point indépendamment de la direction un scalaire

3 3.1 Pression Définition: F = la force normale sur la surface A Équilibre des forces en x et en z

4 3.1 Pression Transmission de la pression La loi de Pascal: dans un système fermé, le changement de pression produit dans un point du système sera transmis dans tout le système. Exemple:le cric hydraulique F=100 N; F 2 =? la force exercée sur le petit piston (A 1 ): (AC)F - (BC)F 1 = 0 F 1 =1100 N p 1 =F 1 /A 1 = N/m 2 p 1 =p 2 F 2 =p 1 A 2 F 2 =12.22 kn Blaise Pascal A

5 3.1 Pression Pression absolue, pression mesurée, pression de vide (vacuum) La pression dans l espace extraterrestre est zéro - pression de vide, zéro absolu Toutes les pressions mesurées par rapport à cette pression pressions absolues exemple: la pression atmosphérique p atm =101 kpa dans la pratique de génie on trouve beaucoup d instruments qui mesurent la pression par rapport à la pression atmosphérique pression indiquée (gage pressure)

6 3.2 Variation de la pression avec l altitude L équation différentielle fondamentale Pour un fluide au repos, la pression varie avec l altitude seulement a l intérieur du fluide. L équation d équilibre: ΣF l =0; p A - (p+ p) A γ A l sinα = 0, p/ l = - γsinα dp/dl = - γ dz/dl dp/dz = - γ la variation de la pression dans un fluide au repos est inversement proportionnelle avec la profondeur (ou l altitude).

7 3.2 Variation de la pression avec l élévation Exemple: Comparez le taux de changement de la pression pour l air et l eau au niveau de la mer (p=101.3kpa, t=15.5 o C) par rapport à une baisse de 4m d élévation. (les poids spécifiques sont considérés constants) le calcul des poids spécifiques: ρ air =p/(rt) = (N/m 2 )/[287(J/kgK) ( )(K)] ρ air =1.22kg/m 3 γ 3 air =gρ air = N/m γ eau = 9799 N/m 3 Alors (dp/dz) air = N/m 3, (dp/dz) eau = N/m 3 le changement total de la pression p air = N/m 3 x (-4m)=47.9Pa le changement total de la pression p eau = N/m 3 x (-4m)=39.2kPa

8 3.2 Variation de la pression avec l élévation Fluides avec densité uniforme (incompressibles): l intégration de l équation fondamentale la fonction de variation de la pression ρ = constant dp= - γdz p = - γ z l équation de l hydrostatique p + γz = p z = const. la pression piézométrique p/γ + z = const. la hauteur piézométrique p 1 /γ + z 1 = p 2 /γ + z 2 ou (p 1 p 2 ) = γ(z 2 z 1 ) la pression varie linéairement avec l élévation: z p z p

9 3.2 Variation de la pression avec l élévation Exemple: dans un réservoir ouvert, au-dessus d une couche d eau on verse de l huile. Quelle est la pression mesurée au fond du réservoir? propriétés des fluides: S huile = 0.8, γ eau = 9810 N/m 3 calcul de la pression au fond de la couche d huile ou z 1 =3m, z 2 =2.10m p 2 = 7.06kPa, calcul de la pression au fond du réservoir ou z 3 = 0m p 3 = 27.7kPa 27.7kPa 7.06kPa

10 3.2 Variation de la pression avec l élévation Fluides avec densité non-uniforme (compressibles): L équation d état des gaz: p = ρrt ou ρ = p/rt (γ =pg/rt) p la pression absolue [Pa] T la température absolue [K] R la constante universelle des gaz [J/kgK] dans la troposphère: T = T o -α(z-z o ) dp/dz = - pg/rt p=p o [T/T o ] g/αr dans la stratosphère: T = const. p = p o e -(z-z o)g/rt U.S.National Weather Service: 45 o N latitude in July

11 3.3 Mesure de la pression La pression est une variable importante dans la mécanique des fluides et beaucoup d instruments ont été conçus pour la mesurer. le manomètre différentiel Traducteur de pression Le tube Bourdon

12 3.3 Mesure de la pression Instruments de mesure Le baromètre: p v +γ Hg h=p atm p atm =γ Hg h, p v ~0 h~76cm, p atm ~101kPa p v ~0 la pression des vapeurs de Hg à la température normale obs: γ Hg h Hg = γ H2 Oh H2 O h H2 O=h Hg γ Hg /γ H2 O ou h H2 O=h Hg S Hg h H2 O=13.6 x 0.76=10.34m Le piézomètre (le manomètre simple) p = γh pression absolue? Le manomètre différentiel (le tube U) exemple: supposons h=60cm, l=180cm calculez la pression au centre de la conduite. p 1 =0 (ouvert à l atmosphère), donc p 2 =0+γ m h p 2 =79.8kPa ( mercure γ m =133kN/m 3 ) p 2 =p 3 (même élévation), donc p 4 =p 3 + p 3 4 ; p 3 4 =-γl p 3 4 =-17.66kPa p 4 =62.1kPa L équation générale du manomètre: p 2 =p 1 +Σ down γ i h i -Σ up γ i h i Piézomètre

13 3.3 Mesure de la pression Instruments de mesure Exemple: Trouvez la variation de la pression et de la hauteur piézométrique entre les deux raccords si le mercure a un dénivèlement de 2.54cm.(T eau =10 o C) l équation du manomètre: p 2 = p 1 + γ w ( y+ h) γ m h - γ w ( y+z 2 -z 1 ) p 2 + γ w z 2 - (p 1 + γ w z 1 ) = h(γ w - γ m ) ou p z2 -p z1 = h(γ w - γ m ); p z2 -p z1 =? et h 2 -h 1 =(p z2 -p z1 )/γ w = h(1- γ m /γ w ); h 2 -h 1 =?

14 Sommaire La pression d un fluide au repos La transmission de la pression (la loi de Pascal) Pression absolue, pression mesurée, pression de vide (vacuum) La variation de la pression avec l élévation - fluides incompressibles - fluides compressibles Instruments de mesure de la pression - le baromètre, le piézomètre, le manomètre différentiel, le tube Bourdon, les traducteurs de pression