TRANSFERT DE CHARGE DANS UN RÉSEAU DE PROCESSEURS TOTALEMENT CONNECTÉS (*) par Maryse BÉGUIN ( 1 )

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1 RAIRO Operatios Research RAIRO Oper. Res. 34 (2000) TRANSFERT DE CHARGE DANS UN RÉSEAU DE PROCESSEURS TOTALEMENT CONNECTÉS (*) par Maryse BÉGUIN ( 1 ) Commuiqué par Berard LEMAIRE Résumé. L étude présetée ici modélise u trasfert de charge sur u réseau de processeurs totalemet coectés. Chaque processeur peut accueillir au plus tâches. Ue différece de deux charges etre deux processeurs est ue situatio iterdite, et u trasfert immédiat et istataé est décleché dès que cette situatio se produit. Les performaces du système sot évaluées par les idices suivats : probabilité de rejet, ombre moye de tâches traitées par uité de temps, temps de répose moye, probabilité statioaire pour u processeur d accueillir tâches. Le but de cette étude est de mesurer les répercussios du trasfert de charge e comparat les valeurs des idices obteues avec trasfert avec celles obteues sas trasfert. E particulier, le comportemet asymptotique pour des systèmes massivemet parallèles est étudié et iterprété. Calculées das ue situatio idéale, ces comparaisos permettet d obteir des bores supérieures sur les bééfices que l o peut attedre d u réel trasfert. Elles permettet égalemet d étudier l opportuité du trasfert selo les valeurs des paramètres du système. Le ombre moye de trasferts effectués par uité de temps et le ombre moye de trasferts pour ue tâche doée sot calculés. L asymptotique quad ted vers l ifii est égalemet étudiée. Mots clés : Évaluatios de performaces, trasfert de charge, système massivemet parallèle, processus de Markov, processus de aissace et de mort. Abstract. I this paper, a model of the load trasfer o a fully coected et is preseted. Each processor ca accept at most tasks. A load differece of two tasks betwee two processors is a prohibited situatio ad whe it may appear, a immediat ad istataeous trasfer is decided. The performaces of the system are evaluated by the followig idices: the reject probability, the throughput, the mea respose time, the statioary probability distributio for a processor to host tasks. The aim of this study is to evaluate the load trasfer ipact thaks to the compariso betwee the values of the idices without trasfer ad with trasfer. I particular the asymptotic behaviour for massively parallel systems is studied ad iterpreted. Calculated with a ideal situatio, these comparisos yield upper bouds o the beefits that ca be expected from a trasferrig policy. Beyods, the opportuity of the trasfer accordig to the values of the parameters ca be studied. The mea umber of trasfers executed withi a time uit ad the mea umber of trasfers of a give task are calculated. At last values of the idices whe the umber of accepted tasks grows to ifiity is studied. eywords: Performace evaluatio, load trasfer, massively parallel system, Markov process, death ad birth process. (*) Reçu e décembre ( 1 ) SMS-LMC-IMAG, BP. 53, Greoble Cedex, Frace. Recherche opératioelle/operatios Research, /00/01/$ 7.00 EDP Scieces, 2000

2 100 M. BÉGUIN 1. INTRODUCTION Le développemet relativemet récet des multi-calculateurs permet de traiter des problèmes complexes issus de domaies divers et écessitat de très grosses puissaces de calcul. Comme das les systèmes répartis, se poset des problèmes cruciaux comme l utilisatio optimale des ressources dispoibles et plus particulièremet des processeurs. Nous e coaissos pas ecore de doées permettat d estimer la durée de vie et la loi des tâches géérées par des machies parallèles, mais par similitude avec les travaux effectués sur les réseaux de statios de travail, il semble idispesable que le système d exploitatio gère l allocatio des tâches sur les différets processeurs afi d éviter les situatios où certais processeurs sot surchargés alors que d autres sot oisifs (cf. [11]). Cette gestio implique ue distributio de la charge globale sur les différets processeurs pouvat etraîer des trasferts de charge d u processeur à u autre. La prédictio du comportemet futur de la charge est complexe et justifie ue étude stochastique. Cette problématique est aciee et je rappellerai ici les études récetes de modélisatio qui ot été proposées. E 1993, Evas et Butt [5] ot étudié par la théorie des files d attete et des simulatios la probabilité de trasfert etre deux sites d u algorithme d équilibrage de charge avec péalisatio du trasfert. E 1994, Squillate et Nelso [15] ot fait ue étude aalytique par les matrices stochastiques du temps de répose moye pour u trasfert de charge basé sur des politiques de seuils. Das la même aée, Malyshev et Robert [9] ot obteus des valeurs asymptotiques de la probabilité de perte par des processus de Markov et des foctios de Lyapouov d algorithmes de trasfert de charge global et local pour ue ifiité de sites de capacité. E 1995, Guyeet et al. [14] ot comparé des résultats aalytiques et des simulatios doat la valeur d u idice d efficacité d u modèle markovie d équilibrage de charge etre des sites de capacité ifiie. Néamois le cas des systèmes massivemet parallèles de sites de capacité a pas été étudié. Nous proposos ici la modélisatio et l évaluatio d u algorithme de trasfert de charge basé sur ue évolutio markoviee de la cofiguratio des charges des processeurs. L objectif de cette étude est de compredre commet opère l algorithme de balace global sur les idices classiques d évaluatio de performace (cf. [3]), et de comparer les valeurs de ces idices avec et sas politique de trasfert. L article sera orgaisé de la faço suivate : la descriptio formelle du modèle est doée das la sectio 2. Les méthodes aalytiques et les Recherche opératioelle/operatios Research

3 TRANSFERT DE CHARGE DANS UN RÉSEAU DE PROCESSEURS 101 résultats obteus pour le calcul des idices reteus pour cette étude sot explicitées das la sectio 3. Pour u ombre doé de sites, les évolutios des idices e foctio des paramètres du système sot étudiées e sectio 4. Le comportemet des systèmes massivemet parallèles, et la comparaiso des valeurs théoriques avec les valeurs obteues pour u ombre raisoable de sites das u réseau sot aalysés das la sectio 5. Das la sectio 6 les bores supérieures sur le bééfice que l o peut attedre d u réel trasfert sot déduites et l aalyse de quelques problèmes d optimisatio est proposée. Ue estimatio du coût des trasferts est étudiée et aalysée das la sectio 7. La sectio 8 fourit les résultats obteus pour cet algorithme lorsque la capacitémémoire de chaque site peut être cosidéré comme ifiie. Efi la sectio 9 tire les coclusios et les perspectives qui peuvet être déduites de cette étude. 2. DESCRIPTION DU MODÈLE Le cotexte est le suivat : o dispose de processeurs qui reçoivet chacu u flot de requêtes gérée grâce à ue file d attete selo la politique FIFO. Le comportemet moye d ue applicatio de grade taille est modélisé, et o suppose pour cela qu ue uité detâche est défiie, et que les cotraites de précédece etre les tâches sot oyées das l esemble des tâches qui sot exécutées par le réseau. La capacité mémoire associée à chaque processeur est de tâches, et l esemble du processeur de sa file d attete et du cotrôleur le reliat au réseau d itercoectio sera désigé par u «site». Les sites d u réseau iformatique peuvet être cosidérés comme les sommets d u graphe, dot les arêtes représetet les coexios physiques etre ces sites. Les hypothèses de modélisatio sot alors les suivates : das ce modèle, le graphe est supposé complet, doc chaque processeur commuique avec l esemble des autres. La durée d exécutio des tâches sur chaque site suit ue loi expoetielle de paramètre, et le processus d arrivée des tâches par site est u processus de oisso de paramètre. La charge de chaque site est défiie par le ombre de tâches qu accueille ce site. À chaque istat, ce ombre est u etier etre 0 et, et ue tâche géérée par u site de charge est rejetée. Deux sites se trasfèret istataémet des tâches das les deux situatios suivates. Quad ue tâche arrive sur u site dot la charge deviet, cette tâche est trasférée sur u site de charge s il existe. Parmi les sites de charge, le site qui reçoit la tâche supplémetaire est choisi au hasard. vol. 34, 1, 2000

4 102 M. BÉGUIN Quad ue tâche se termie sur u site dot la charge deviet, ue tâche e proveace d u site de charge est trasférée. Parmi les sites de charge, celui qui trasfère sa derière tâche arrivée est choisi au hasard. Pour que le trasfert ait u ses, la cotraite sur la capacité mémoire est d être supérieure à. Das la situatio sas trasfert, les sites se comportet comme files idépedates de taux d arrivée, et de taux de service (cf. [13]). Par comparaiso avec les files, le système sera dit «saturé» lorsque le taux de service sera iférieur au taux d arrivée. Das la situatio avec trasfert, le processus étudié est le processus t, qui à chaque istat fait correspodre le -uplet dot la -ème coordoée représete la charge du ème site. La différece avec ue file d attete (cf. [4]) tiet au respect du comportemet local de chaque site. E effet, das la modélisatio présetée ici, il y a pas de file d attete partagée par l esemble des sites et u site de charge accepte plus et e géère plus de ouvelles tâches. Quad il y a partage de l espace mémoire, le protocole de trasfert istataé de la surcharge sur des sites sous-chargés coduit à u modèle de file d attete multiserveurs ayat serveurs et ue capacité globale de tâches. Ce type de files d attete ( ) s aalyse avec des techiques classiques de traitemet des processus aléatoires de aissace et de mort (cf. [7]). Les idices suivats qui apparaisset pertiets pour la plupart des problèmes posés serot étudiés. E effet ces idices répodet à la demade des évaluatios de performace pour les machies parallèles et redet comptet du bo foctioemet d u système (cf. [3]). Débit du système. C est le ombre moye de tâches traitées par uité de temps par l esemble du système (cf. [16]). Saturatio mémoire. C est la probabilité sat que l espace mémoire d u site soit saturé ( tâches présetes) et que, par coséquet, toute ouvelle géératio de tâche par l applicatio sur ce site soit rejetée par le système. Cette probabilité peut être iterprétée comme ue mesure de la dégradatio du système, et cette probabilité doit être miimisée pour garatir ue utilisatio optimale de l esemble des mémoires du système. Charge de travail. C est le ombre moye de tâches présetes sur l esemble des sites pedat ue uité de temps. Recherche opératioelle/operatios Research

5 TRANSFERT DE CHARGE DANS UN RÉSEAU DE PROCESSEURS 103 Temps de répose moye. C est le temps moye écoulé etre l istat où latâche est géérée par l applicatio, et l istat où latâche est termiée. Du poit de vue de l utilisateur, et e l absece de toute autre spécificatio, cet idice doit être miimisé (cf. [7]). Mesure statioaire de charge. C est la probabilité i pour u site doé d avoir ue charge égale à. Pour u ombre doé de sites, ces probabilités représetet la proportio de sites ayat ue charge égale à. Ces probabilités e sot doc pas à propremet parler des idices de performace, mais représetet les lois margiales de la mesure produit sur l espace des états. Leurs évolutios selo les paramètres du système permettet de redre compte du comportemet global de celui-ci, et permettet de mieux compredre commet opère le trasfert de charge. 3. RÉSULTATS FORMELS AVEC ET SANS TRANSFERT Le processus t défii à la sectio 2 est u processus de Markov admettat ue uique mesure statioaire. Tous les idices explicités das la sectio 2 sot calculés e régime statioaire das les situatios avec et sas trasfert. Pour les distiguer, toutes les quatités relatives à la situatio sas trasfert serot otées avec u astérisque Propriétés structurelles das les deux situatios Das u premier temps, ous ous itéressos aux probabilités statioaires pour u site doé d avoir ue charge. Compte teu des rôles symétriques joués par chacu des sites, ces quatités e dépedet pas du site. Pour chaque iveau de charge les probabilités statioaires de chaque site d avoir ue charge avec et sas trasfert respectivemet serot otées i et 3 i. Das les deux situatios, avec et sas trasfert, des équatios de ature algébrique reliet certaies valeurs des i. PROPOSITION 1 : Les propriétés suivates sot vérifiées das les deux situatios avec et sas trasfert : Propriété de symétrie : i 0i vol. 34, 1, 2000

6 104 M. BÉGUIN Propriété d équilibre : 0 Commetaires : la première partie de cette propositio reviet à l observatio suivate. Remplacer par reviet à remplacer la capacité mémoire occupée d u site par sa capacité mémoire libre. Le processus qui à chaque istat fait correspodre le -uplet dot la -ème coordoée représete la capacité mémoire libre du ème site a exactemet la même dyamique que le processus t, e iversat les rôles de et. La deuxième partie de la propositio est ue équatio d équilibre ou de balace. La partie gauche représete le ombre moye de tâches acceptées par chaque site par uité de temps, tadis que la partie droite représete le ombre moye de tâches traitées par chaque site par uité de temps. Néamois, la démostratio de ces résultats avec et sas trasfert, aticipe sur les résultats obteus das la sectio 3.3 et la sectio 3.2 mais ils peuvet être vérifiés par des techiques d algèbre classique. La détermiatio des lois margiales i suffit pour calculer les valeurs de tous les idices de performace reteus das ce modèle grâce aux relatios algébriques doées das la propositio 2. PROPOSITION 2:Les idices de performace et les lois margiales sot liés par les équatios algébriques suivates : i sat j=1 j j=2 j Commetaire : la derière équatio exprime le temps de répose moye d ue tâche comme la somme du temps de service moye et du temps d attete moye. Recherche opératioelle/operatios Research

7 TRANSFERT DE CHARGE DANS UN RÉSEAU DE PROCESSEURS 105 Démostratio. Les trois premières équatios sot aisémet obteues (cf. [13]). La derière formule de la propositio 2 s obtiet e vérifiat que les hypothèses de validité de la formule de Little (cf. [8] démotrée par exemple das [16] p. 100) sot effectivemet vérifiées das ce cotexte, et e utilisat la propriété d équilibre. La suite de cette sectio utilise les résultats classiques sur les processus de aissace et de mort pour lesquels ue référece est par exemple Barucha-Reid [1]. Pour alléger les otatios, et sas perte de gééralité, les calculs sot effectués avec u temps moye d exécutio égal à, ce qui reviet à fixer l uité de temps 1 à Résultats sas trasfert Sas trasfert, les sites se comportet comme files idépedates, d où les résultats. PROPOSITION 3:Pour le modèle sites de capacité de taux d arrivée, les valeurs des idices de performace sas politique de trasfert sot les suivates : 3 j j +1 3 sat vol. 34, 1, 2000

8 106 M. BÉGUIN 3.3. Résultats avec trasfert Pour étudier le système avec trasfert, il est utile de rappeler que la taille de l espace des états est, et il est doc opportu d utiliser les procédés d agrégatio (cf. [12]). L observatio clé est de costater que le ombre total t de tâches présetes à l istat das le système évolue comme u processus de aissace et de mort sur avec des taux de aissace (de à ), otés, et des taux de mort (de à ), otés. Ces taux sot explicités das le tableau ci-dessous et comparés avec ceux obteus pour le modèle. Modèle avec trasfert Modèle pour pour pour pour pour pour Pour vérifier ces résultats (par exemple pour les taux de aissace pour le modèle avec trasfert), il suffit de remarquer que tat qu il y a mois de tâches das le système, tous les sites ot mois de tâches et doc toute ouvelle tâche géérée par le système est acceptée. S il y a plus de tâches, tous les sites ayat ue charge égale à provoquet des rejets. Soit j j=0... la mesure statioaire du processus de aissace et de mort t. Cette mesure statioaire suffit àdétermier celles des lois margiales du processus t,grâce à la propositio 4. PROPOSITION 4:Les probabilités i i=0... sot reliées aux j j=0... de la faço suivate : i=0 i i=0 0i 01 j i=0 (j01)+i i=1 j+i Recherche opératioelle/operatios Research

9 TRANSFERT DE CHARGE DANS UN RÉSEAU DE PROCESSEURS 107 Démostratio. Preos et. Ces équatios découlet de la costatatio suivate. Lorsqu il y a tâches das le système, sites ot tâches, et ot tâches. Il est doc écessaire d exprimer la valeur de chaque j e foctio des paramètres, et du système. Sas perte de gééralité et, pour des raisos de symétrie, la valeur de est supposée paire, égale à. Ceci est ue cotraite extrêmemet faible, puisque les architectures parallèles disposet le plus souvet d u ombre pair de sites. E respectat la symétrie du système, et par les techiques habituelles, o obtiet alors les formules algébriques suivates. j j j 0 j q0j q 0 0j j j j q0j q j 0j j 0 j q q0j 0 q0j q Posos q q 0 Notos et les sommes 02 j q0j q01 j=01 E utilisat les relatios évidetes j=0 q0j q 01 j= j=0 k et! q (01)!, o obtiet, vol. 34, 1, 2000

10 108 M. BÉGUIN D où, puis 0 puis la mesure statioaire, puis les probabilités j d après la propositio 4, puis la valeur des idices de performace d après la propositio COMPARAISONS POUR FIXÉ Das cette sectio ous allos doer, pour fixer les idées, les résultats obteus pour des valeurs particulières du ombre de sites et de la capacité mémoire, par exemple, ou et ou. L observatio du comportemet du sytème pour ces valeurs particulières permet d extrapoler celui obteu pour les autres valeurs. Les étude umériques ot été effectuées avec Mathematica Comparaisos des probabilités statioaires Pour des valeurs de et fixées, les probabilités statioaires i évoluet e foctio de la valeur du taux d arrivée, et les valeurs de ces probabilités statioaires sot très différetes selo qu ue politique de trasfert est mise ou o e place. Les figures 1 et 2 motret par exemple les évolutios relatives des probabilités avec trasfert pour, et. Figure 1. Évolutios de foctio de pour puis sites de capacité. La valeur de ces probabilités chage brutalemet autour de et ce chagemet est d autat plus accetué que le ombre de sites est grad. Das le cas particulier de et, ces résultats motret que 98 % des sites ot ue charge égale à ou à. Autremet dit, le trasfert ted à homogééiser la charge des sites et ue proportio de l ordre de d etre eux ot ue charge égale à. Recherche opératioelle/operatios Research

11 TRANSFERT DE CHARGE DANS UN RÉSEAU DE PROCESSEURS 109 Figure 2. Évolutios de foctio de pour sites de capacité. La différece des comportemets du système obteus avec et sas politique de trasfert semble doc assez ette et il semble itéressat d e mesurer l icidece sur les idices de performace. Cette étude sera limitée à celle de la probabilité de saturatio mémoire et du temps de répose moye, l étude sur les autres idices pouvat s e déduire grâce à la propositio Comparaisos des probabilités de saturatio mémoire Pour des valeurs de et fixées, la probabilité de saturatio mémoire sat évolue e foctio de la valeur du taux d arrivée,et de même que précédemmet, la valeur de cette probabilité est très différete selo que la politique de trasfert est mise ou o e place. La valeur de la capacité altère pas les différeces de comportemet obteues. La figure 3 motre Figure 3. Évolutios de la probabilité de saturatio mémoire pour sites, puis. vol. 34, 1, 2000

12 110 M. BÉGUIN les évolutios des probabilités de saturatio obteues avec et sas trasfert pour, et pour des sites de capacité mémoire, et les mêmes évolutios obteues pour ue capacité. Le trasfert améliore sigificativemet cet idice, et la différece 3 sat sat est d autat plus petite que le ombre de sites augmete. Nous reviedros sur l étude de cette différece lors de l étude du comportemet asymptotique e sectio Comparaisos des temps de répose moyes Rappelos que sas trasfert, les sites sot idépedats et le temps de répose moye d ue tâche e déped pas du ombre de sites. Avec trasfert e revache le temps de répose moye d ue tâche est fortemet dépedat du ombre total de sites i.e. de. De plus, pour u ombre doé de sites, le comportemet du temps de répose moye déped de la capacité mémoire de chaque site. Il coviet e effet de distiguer les valeurs et. La figure 4 motre les évolutios des temps de répose moyes avec et sas politique de trasfert pour sites de capacité, et les mêmes évolutios obteues pour ue capacité. La figure 5 motre celles obteues pour ue capacité. Figure 4. Évolutios du temps de répose moye foctio de pour sites de capacité,. Ces graphiques appellet quelques commetaires. E effet, il apparaît que le temps de répose moye d ue tâche est doc pas écessairemet amélioré par le trasfert, et il coviet ici d expliciter les comportemets observés selo les valeurs des paramètres et. Pour. La politique de trasfert dimiue le temps de répose moye d ue tâche par rapport à celui obteu das la situatio sas trasfert et Recherche opératioelle/operatios Research

13 TRANSFERT DE CHARGE DANS UN RÉSEAU DE PROCESSEURS 111 Figure 5. Évolutios du temps de répose moye. ce, pour toutes les valeurs de la capacité. L explicatio ituitive de ce comportemet est simple. E effet, pour u taux d arrivée des tâches iférieur (strictemet) au taux de service, le système est o saturé et d après les études faites sur les probabilités margiales, u site a très probablemet ue charge égale soit à 0 soit à 1. Autremet dit, ue tâche acceptée das le système sera vraisemblablemet trasférée sur u site libre, et sera doc traitée plus rapidemet par le système doté d ue politique de trasfert que par celui sas politique de trasfert. Pour. Pour toutes les valeurs de la capacité et du ombre de sites, la politique de trasfert dimiue le temps de répose moye d ue tâche. Le tableau 1 doe les valeurs de différets temps de répose obteus avec et sas trasfert pour les différetes valeurs pertietes des paramètres et. TABLEAU 1 Table de valeurs du temps de répose moye pour , , Pour. Il coviet das ce cas de distiguer les différets comportemets du système selo la valeur de la capacité mémoire. vol. 34, 1, 2000

14 112 M. BÉGUIN Pour. Bie que le système soit saturé, la politique de trasfert dimiue le temps de répose moye d ue tâche. Ituitivemet, cela s explique par le fait que le trasfert d ue tâche e peut être effectué que pour ue tâche géérée par u site de charge 1 qui la trasfère sur u site libre, et la politique de trasfert e modifie le comportemet du système que das cette situatio. La valeur moyee du temps de répose d ue tâche est doc plus faible avec la politique de trasfert que celle obteue sas trasfert. Notos éamois que lorsque la valeur du taux d arrivée augmete, cette situatio deviet de mois e mois probable car la proportio de sites oisifs deviet voisie de. Pour. Le système est toujours saturé, et la politique de trasfert das ce cas augmete le temps de répose moye d ue tâche. Autremet dit, le temps de répose moye d ue tâche géérée et acceptée par le système est péalisé par la politique de trasfert. Pour lever cet apparet paradoxe, il faut oter que das la situatio sas trasfert, ue tâche acceptée par le système a ue probabilité o ulle d être das les premières à être traitée. La politique de trasfert permet e fait d augmeter le ombre total de tâches acceptées par le système, mais chaque tâche acceptée e sera pas trasférée sur u site sous-chargé et attedra que toutes les tâches qui la précèdet soiet traitées. La politique de trasfert permet doc de privilégier et d augmeter l idice, mais le temps de répose d ue tâche doée est, e moyee, péalisé. 5. COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE DES SYSTÈMES MASSIVEMENT PARALLÈLES Les études précédetes laisset supposer que le système totalemet coecté doté de cette politique de trasfert admet u comportemet limite lorsque le ombre de sites deviet grad. Les formules obteues aalytiquemet permettet e effet d obteir le comportemet asymptotique de ces systèmes dits massivemet parallèles. Le théorème de covergece doat les valeurs limites des lois margiales et des idices de performace obteues aalytiquemet pour tedat vers l ifii est préseté sous forme de tableau das la sectio 5.1. La sectio 5.2 compare ces résultats asymptotiques avec les résultats umériques obteus pour des valeurs classiques de (par exemple ). Recherche opératioelle/operatios Research

15 TRANSFERT DE CHARGE DANS UN RÉSEAU DE PROCESSEURS Théorème de covergece Pour u taux d arrivée doé, et ue capacité mémoire fixée pour chaque site, les probabilités statioaires i tedet vers ue limite quad ted vers l ifii. Les idices de performace sat et état reliés aux probabilités statioaires par les relatios de la propositio 2 admettet aussi des valeurs limites. Toutes ces limites sot doées das le théorème 1. THÉORÈME 1:Avec la politique de trasfert, les lois margiales i et les idices de performace sat et admettet les limites suivates lorsque le ombre de sites deviet ifii Commetaires : pour, ces limites présetet ue discotiuité e. U tel comportemet irrégulier a déjà été observé das u modèle différet étudié das [9], et ces résultats sot cohérets avec ceux qu ils obtieet. Ce comportemet asymptotique révèle doc u basculemet de comportemet itéressat. Lorsque le taux de service est supérieur au taux d arrivée, ue tâche arrivat das le système est presque toujours acceptée. Elle est presque toujours géérée ou trasférée sur u site sous-chargé, et so temps de répose moye est doc égal à so temps de service moye, ici égal à 1. vol. 34, 1, 2000

16 114 M. BÉGUIN Lorsque le taux de service est égal au taux d arrivée, ue tâche arrivat das le système est égalemet presque toujours acceptée, mais elle va, e moyee avoir u temps de répose égal à. 2 Lorsque le taux de service est iférieur au taux d arrivée, ue tâche peut être refusée, et quad elle est acceptée, elle va presque toujours avoir à attedre beaucoup de temps avat d être complètemet traitée. Plus le taux d arrivée est grad, plus le temps de répose moye d ue tâche est proche du temps maximum et, das ce cas, la politique de trasfert apporte aucue amélioratio par rapport à celle sas trasfert. Démostratio. Voici ue démostratio du théorème 1. Compte teu de la propositio 1, il suffit de démotrer ce théorème pour. Rappelos que le ombre de sites est supposé pair et que. Pour 0, o obtiet, 0 01 i=0 i 1 Il s agit doc de détermier le comportemet asymptotique de. Écrivos q 0! j=02! j Ceci est la valeur au poit de Poisso de paramètre!+1 q j=0 de la foctio de répartitio d ue loi. D après le théorème cetral limite, il viet 0 Il coviet doc de distiguer les 2 situatios possibles et. Pour, o obtiet (formule de Stirlig), Recherche opératioelle/operatios Research

17 TRANSFERT DE CHARGE DANS UN RÉSEAU DE PROCESSEURS 115 Pour, o obtiet, 01 D où et par suite Or, pour,!+1!+1! q0+1 Doc!+1 Ces résultats permettet de coclure : Pour : le terme domiat de 0 est au déomiateur, et par suite!+1 0 Pour le terme domiat du umérateur et du déomiateur de 0 est. D où Pour 1, o obtiet,! i=0 01 i i=1 1 +i!! 1 1 i=1 q0(+i) E utilisat les mêmes argumets, o obtiet vol. 34, 1, 2000

18 116 M. BÉGUIN Pour : le terme domiat des umérateurs et du déomiateur de 1 est. D où!+1 1 Pour : après calculs, pour, o obtiet 1!! Or, Et par suite, pour,!+1!!+1 1 Autres résultats : les autres résultats obteus pour découlet de ceux obteus pour 0 et 1. Efi, pour, lasymétrie du graphe de trasitio du processus de aissace et de mort du processus agrégé t et les relatios algébriques de la propositio 2 permettet d écrire les équatios suivates, (02) D où les autres résultats obteus pour avec ou. Remarque : ue justificatio plus ituitive de ce théorème peut être doée de la faço suivate. Le processus de aissace et de mort t se comporte sur l itervalle comme ue file, avec u taux d arrivée et u taux de service. La mesure statioaire de cette file suit ue loi de Poisso de paramètre. Pour, la probabilité que t dépasse ted vers quad augmete. Aisi la mesure statioaire du processus t ted vers ue distributio de Poisso dot l espérace est. Pour des systèmes massivemet parallèles ( grad), la plupart des sites ot ue charge égale à0ouà 1. E moyee, ue proportio d etre Recherche opératioelle/operatios Research

19 TRANSFERT DE CHARGE DANS UN RÉSEAU DE PROCESSEURS 117 eux ot ue charge égale à 1. D où les résultats das le cas des systèmes o saturés ( ). Das le cas, le même argumet cocerat la distributio de Poisso permet de déduire que la probabilité qu u site soit libre ted vers 0. Les mêmes argumets que ceux utilisés das la démostratio permettet alors de coclure Comparaisos etre les résultats umériques et les résultats asymptotiques Les résultats umériques de cette sectio ot été obteus avec mathematica. Le but de ces calculs est de motrer que les résultats théoriques obteus das le théorème 5.1 doet ue boe approximatio du comportemet du système pour les ombres classiques de sites mis e réseau das les machies parallèles, à savoir ou plus Probabilité de saturatio Pour toutes les valeurs du taux d arrivée doées, la probabilité de saturatio mémoire est ue foctio décroissate du ombre de sites. Autremet dit, avec la politique de trasfert, ajouter u site das u réseau totalemet coecté dimiue toujours la probabilité de saturatio du système lim et ted à la stabiliser vers sa valeur limite sat. Les résultats umériques motret que la covergece vers cette valeur limite est très rapide, et que la covergece la plus lete est obteue pour. La figure 6 motre l évolutio de cette probabilité de saturatio e foctio du ombre de sites de capacité. Pour plus de précisio, le tableau 2 doe par exemple les valeurs das cette situatio. sat lim sat Figure 6. Probabilité de saturatio pour foctio du ombre de sites (capacité ). vol. 34, 1, 2000

20 118 M. BÉGUIN Table de la différece sat TABLEAU 2 lim sat pour sites de capacité Autremet dit, quad o dispose de sites, ajouter u site augmete ecore la probabilité qu ue tâche soit acceptée das le système, mais de faço mois sigificative, puisque le gai obteu est iférieur à Temps de répose moye Le temps de répose moye pour u taux d arrivée et ue capacité doés est ue foctio mootoe de, dot le ses déped des valeurs de et de. Pour, augmeter le ombre de sites dimiue le temps de répose moye et ce temps moye ted rapidemet vers ce qui correspod au temps de service moye. Pour, le temps de répose moye dimiue quad le ombre de sites augmete, et ted vers. La figure 7 motre, par exemple, les 2 courbes obteues pour des taux d arrivée et avec sites de capacité. Figure 7. Temps de répose moye foctio du ombre de sites (capacité ) pour puis. Pour, comme il a déjà été metioé au 4.3, l évolutio du temps de répose moye e foctio de déped de la capacité mémoire. Recherche opératioelle/operatios Research

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