Composites unidirectionnels à fibres courtes

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1 Miroénique des oposites oût 005 Coposites unidiretionnels à fires ourtes D. ouy µg es fires ourtes sont ourent utilisées oe renfort de oposites, is elles sont rreent lignées. es effets d orienttion ont été odélisés pr différents uteurs. On pourr en trouver une synthèse dns l ouvrge suivnt : T W CHOU, Mirostruturl design of fier oposites. Cridge University Press e renforeent pr des fires ourtes est oins effie. D ord pre que le trnsfert de hrge opère dès le déut du hrgeent, ensuite pre qu il est très diffiile d orienter onvenleent les fires. Celles i sont le plus souvent orientées u hsrd dns le pln (ts D) et plus rreent dns l espe (3D). Dns e qui suit, on s intéresser surtout u oposite unidiretionnel qui peret une pprohe siple des lois de oporteent, de l résistne ultie et de l ténité. λ/ 1. Trnsfert de hrge On onsidère don un oposite à fires ourtes unidiretionnel où toutes les fires sont prllèles et de êe longueur (Fig. 1). l > l Figure Trnsfert de hrge dns le s d une fire plus longue que l longueur ritique. ' Figure 1 e volue éléentire représenttif (V.E..) est hrgé vi l trie r l liison à l etréité de l fire est très file. e trnsfert de hrge u etréités d une fire ssez longue est dérit Fig. (on suppose un isilleent interfil τ onstnt) : ontrinte que suit l fire roît linéireent à prtir des etréités pour tteindre un plteu. e niveu du plteu est : = E f ε V.E.. (G.1) si l fire est infinient longue. À esure que le hrgeent ugente, le niveu du plteu s élève et les zones de trnsfert de hrge s élrgissent (Fig. ). longueur λ/ d une zone est donnée (à prtir de l Équ. F.1) pr : λ = σ f (G.) τ * Qund le plteu tteint l ontrinte à rupture de l fire, elle i peut être ropue. = < l < l < l E f ε T E f ε E f ε Figure 3 Trnsfert de hrge si l fire est plus ourte que l longueur ritique. l [D. OUBY], [005], INSA de yon, tous droits réservés.

2 Coposites unidiretionnels à fires ourtes) longueur ritique l orrespond don à l longueur inile pour que l fire puisse être ropue 1, (f. Équ. F.9). On peut voir sur l Fig. 3 qu une fire plus ourte ne peut jis être ropue, le profil de ontrinte restnt inhngé près que les zones de trnsfert de 1,0 hrge se soient rejointes. Contrinte (GP) Crone/polyronte G F > 0. oi de oporteent en trtion Dns hque setion d un oposite unidiretionnel, 0,6 l fore ppliquée est réprtie sur les fires et l trie u prort de leurs frtions voluiques. On peut don érire : 0,4 σ = < > v f + <σ > v (G.3) où σ est l ontrinte oyenne glole (ppliquée) et < >, <σ > les ontrintes oyennes dns les fires et l 0, trie. s Figure 4 d e s' Dns le s des fires ourtes lignées ( > l ), si Contrinte (GP) elles i sont uniforéent réprties, on voit sur l Fig.,5 4 que l sotion des fores trnsises pr les fires à Verre/époy trvers l setion s s orrespond en fit à l oyenne de l ontrinte que suit une fire le long de son e. On don :,0 1 λ < > = d = 1 (G.4) 0 On néglige l perturtion u etréités de l fire 1,5 sur l défortion de l trie (dns e s, l Équ. G.1 s pplique êe pour une fire de longueur finie). es Équ. G. et G.3 onduisent finleent à l loi de oporteent suivnte (trie élstique) : 1,0 E f v f σ = (E f v f + E v )ε ε (G.5) τ 0,8 0,0 0,0 0, 0,4 0,6 0,8 Défortion (%) Figure 5 Coposite Crone/polyronte v f = 0,55 ; E f = 330 GP ; = MP E =,5 GP ; σ élst = 55 MP ; τ = 7,5 MP = 4 µ ; l = 0,3 (pour l définition de ε T, voir l Fig.3) 0,5 Dns le s d une trie élsto plstique (liites d élstiité : σ élst, ε élst ), on : (pour ε > ε élst T el ) ε ε 10 E v 0,0 élst f f σ = σ + E f v f ε ε (G.6) τ Défortion (%) Si < l et que le profil de est tringulire (f. Fig. Figure 6 Coposite Verre/époy v f = 0,67 ; E f = 7 GP ; σ f = 3400 MP 3 ou 3, où ε > ε T ), le lul de l ontrinte oyenne sur l fire donne : T ε > 10 F 00 0 E =,5 GP ; σ élst = 60 MP ; τ = 6 MP = 5 µ ; l =,83 [D. OUBY], [005], INSA de yon, tous droits réservés.

3 Coposites unidiretionnels à fires ourtes) G3 τ < > = (G.7) on voit qu elle est indépendnte de l llongeent iposé u oposite et on finleent : τ σ = + σ ' v (G.8) où σ est l ontriution de l trie qui dépend du oporteent (élstique, élsto plstique ou utre) de elle i. es figures. 5 et 6 donnent des eeples de oporteent selon le fteur de fore des fires. e fteur de fore F est défini pr : F = (G.9) et s vleur ritique pr : l F = = (G.10) τ défortion ε T orrespond à l sitution où les deu zones de trnsfert de hrge se rejoignent. (f. Fig. 3). Pour un fteur de fore très grnd, le oporteent est elui d un oposite à fires ontinues ve un odule de Young E donné pr l loi des élnges. e oposite se ropt à l défortion à rupture des fires ε f. Pour un fteur de fore fini, l oure de trtion est non linéire (Équ. G.5). De plus, le odule d élstiité initil et l ontrinte ultie sont réduits. Pour F < F, le oposite ne se ropt ps à l défortion à rupture des fires. Ces dernières, trop ourtes, ne sont plus ssez hrgées pour pouvoir être ropues. e oporteent du oposite est lors ontrôlé pr elui de l trie. Dns le s du rone/polyronte, l vleur ssez élevée du isilleent interfil τ est ontrôlée pr l éouleent plstique de l trie (τ = σ élst /). Des fires de 1 de long (F ) donnent enore un renforeent notle. Ce n est ps le s du verre/époy où τ est supposé ontrôlé pr du frotteent à l interfe et prend don une vleur reltiveent file. Dns e s il fut des fires plus longues pour eploiter u iu le trnsfert de hrge. Il fut ussi noter que l trie devient plstique vnt l rupture des fires de verre. [D. OUBY], [005], INSA de yon, tous droits réservés.

4 Coposites unidiretionnels à fires ourtes) G4 3. Contrinte ultie ontrinte ultie est estiée à l ide du êe risonneent que elui dérit dns le Module B pour le s des fires longues. ppelons qu il été onsidéré, pour siplifier, que les fires ne présentent ps de dispersion des résistnes (odule de Weiull infini). On onsidère les deu s : > l : Dns es onditions, l rupture du oposite lieu si une fire se ropt. Pr eeple, sur l Fig. 4, les fires pouvnt être ropues sont les fires, ou e. Au oent de l rupture d une fire, l lrgeur des zones de trnsfert de hrge est λ = l et l Équ. G.4 donne l ontriution des fires à et instnt : l f < > = σ 1 (G.11) ontrinte ultie du oposite est finleent donnée pr l epression suivnte : l σ = 1 v f + σ' v (G.1) rédution de résistne est ontrôlée pr l longueur ritique l qui inlut les propriétés interfiles. Si les fires sont très longues, l ontrinte ultie est elle donnée pr l Équ. B4, Fihe B. Si les fires ont l longueur ritique, l résistne ultie est réduite de près de l oitié (f. Fig. 7). Contrinte ultie (MP) Verre/époy 600 v f = 0,6 500 résistne du oposite à fires ontinues 400 l = l = 0 00 résistne de l trie ongueur des fires, () Figure 7 Effet typique de sur σ. < l : Dns e s, oe nous l vons vu préédeent ( Fig. 5 et 6), les fires ne peuvent être ropues et l rupture du oposite est ontrôlée pr elle de l trie. On lors sipleent : τ σ = + σ v (G.13) rupture est ii ontrôlée pr l trie. 3. Énergie de rupture On suppose que l trie se ropt suivnt une setion droite, soit pr olesene de vités, soit pr propgtion d une fissure orée à une etréité de fire (Fig. 8). séprtion néessite d etrire les fires et ette etrtion onerne ien entendu le ôté le oins profondéent enhâssé. énergie néessire pour séprer les deu prties du oposite fit intervenir les énergies de rupture de l trie, éventuelleent des fires (es deu dernières sont le plus souvent négligeles) et, surtout, le trvil d etrtion des fires. dz z Figure 9 l p Figure 8 longueur d'etrtion, l p orçge [D. OUBY], [005], INSA de yon, tous droits réservés.

5 Coposites unidiretionnels à fires ourtes) Considérons une fire enhâssée sur une profondeur lp, le trvil d etrtion de l éléent dz est : dw = π dz τ z, et le trvil pour etrire l fire est lors : l p W (l = π τ * z dz = π τ * l p ) p 0 (G.14) < l : Dns e s, uune fire n est suseptile d être ropue et lp est opris entre 0 et / ve une distriution unifore. e trvil oyen pour etrire les fires est lors donné pr : 1 / π τ * W (<l ) = W (l ) dl p = (G.15) / 0 p 1 énergie de rupture, est à dire l énergie néessire pour réer une fissure de rupture sur l setion d ire A, qui ontient N fires, s érit : N W N v f G = ve : = (G.16) A A π On finleent : τ * G ( < l ) = v f (G.17) 1 On voit que G est proportionnel u tu de fires et u isilleent interfil. énergie de rupture roît ve le rré de l longueur des fires. ppelons que l dépend de τ. > l : Mintennt, l profondeur enhâssée peut eéder l /. Si est le s, l fire ser ropue et non etrite. Il en résulte que le trvil d etrtion est nul r l rupture de l fire se produit u droit de l fissure dns l trie (lors : l p = 0). En e qui onerne les fires etrites et nonropues, l plus grnde profondeur enhâssée est l / et elles sont en proportion l / du nore de fires présentes dns l setion onsidérée. Dns es onditions, l énergie de rupture s érit : τ * l G = v ( > l ) f (G.18) 1 à, l énergie de rupture vrie en rison inverse de l longueur (f. Fig. 10). Elle est ile pour une longueur de fire égle à l longueur ritique. τ * l v (σ ) f f G = G ( = l ) = v f = (G.19) 1 1 τ * G G prop. à prop. à 1 G5 G v + G f v f G v l Figure 10 Évolution de l énergie de rupture ve l longueur des fires présente nlyse donne pour les oposites à fires ontinues ( infini) un trvil d etrtion nul. Dns l rélité, l rupture des fires (ontrôlée pr l présene de défuts) n ps lieu eteent u droit de l fissure triielle et l etrtion intervient enore. Ces spets seront nlysés plus loin. Pour les oposites des Fig. 5 et 6, les vleurs de G sont les suivntes : Crone/polyronte: G = 9,4 kj/ ; l = 0,3 Verre/époy : G = 5,4 kj/ ; l =,8 pluprt du teps les vleurs de G f ou G oprises entre 0,01 et 0,1 kj/. sont [D. OUBY], [005], INSA de yon, tous droits réservés.