Pourquoi l analyse de Fourier? Partie 2: Transformée de Fourier des images. Plan de la séance. Série de Fourier (signaux périodiques)

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1 Pourquoi l analyse de Fourier? Traitement d images Partie 2: Transformée de Fourier des images Transformée et séries de Fourier Permet l analyse fréquentielle d un signal TF continue, TF discrète, FFT Thomas Oberlin Signaux et Communications, IRIT/ENSEEIHT thomas.oberlin@enseeiht.fr Outil fondamental pour beaucoup d applications Échantillonnage Compression d une image Filtrage des images Outil d analyse 1 / 31 2 / 31 Plan de la séance Série de Fourier (signaux périodiques Soit un signal périodique f (x de période T = 1 f 0. 1 Rappels : séries et transformée de Fourier 1D 2 Transformée de Fourier d une image Transformée de Fourier 2D Propriétés Représentation de la TF Transformée 2D discrète f (x peut se représenter par une somme dénombrable (p-e infinie de sinus/cosinus = 3 Exercices À vous de jouer! Calcul de Transformées Transformées de Fourier d images réelles / 31 4 / 31

2 Série de Fourier (signaux périodiques Série de Fourier (signaux périodiques Soit un signal périodique f (x de période T = 1 f 0. f (x peut se représenter par une somme dénombrable (p-e infinie de sinus/cosinus f (x = + n= Remarque : c 0 (f = 1 T c n (f e i2π n T x avec c n (f = 1 T T/2 T/2 T/2 T/2 f (tdt = R 0 = moyenne de f f (te i2π n T t dt Exemple, signal carré impair : f (x = 4 ( sin x + π 1 R 0 = 0 et f 0 = 1 2π sin 3x 3 + sin 5x / 31 6 / 31 Des séries de Fourier aux transformées de Fourier Transformée de Fourier 1D TF 1D de f L 1 (R : Plus la période, T, du signal est grande, plus la fréquence fondamentale f 0 = 1 est faible (ainsi que T la distance entre harmoniques On peut donc voir un signal apériodique comme un signal de période infinie La série de Fourier d un tel signal est une suite infinie et indénombrable de sinusoïdes. La somme est remplacée par l intégrale. Transformée directe F : f ˆf, avec ˆf (ξ = Transformée inverse F 1 : ˆf f, avec f (x = 1 2π Principales propriétés : Linéaire, ˆf à valeurs complexes S étend en une isométrie sur L 2 (R Symétries (si f est réelle/imaginaire, paire/impaire Translation F[f (x + x 0 ](ξ = e iξx 0 F[f ](ξ Dilatation F[f (ax](ξ = 1 a F[f ]( ξ a Convolution F[f g] = F[f ]F[g] Dérivation F[f ](ξ = iξf[f ](ξ R f (xe iξx dx, f (ξe iξx dξ, R 7 / 31 8 / 31

3 Transformée de Fourier discrète (TFD Plan de la séance TFD d un signal discret s R N, s = s[i], i = 0 N 1 ŝ[u] = s[n] = 1 N n=0 s[n]e 2iπu n N u=0 ŝ[u]e 2iπn u N Relation entre la TFD du signal discrétisé et la série de Fourier du signal périodisé Fast Fourier Transform (FFT basée sur un algorithme diviser pour régner [Cooley-Tukey, 1966] permet de calculer la TFD en O(N log(n 1 Rappels : séries et transformée de Fourier 1D 2 Transformée de Fourier d une image Transformée de Fourier 2D Propriétés Représentation de la TF Transformée 2D discrète 3 Exercices À vous de jouer! 9 / / 31 Transformée de Fourier 2D Inversion et conservation de l énergie TF 2D de f L 1 (R 2 : ˆf (ξ1, ξ 2 = + + f (x 1, x 2 e iξ 1x 1 e iξ 2x 2 dx 1 dx 2 La TF est séparable. Éléments de base : sinusoïdes 2D. h ξ (x = e iξ x = cos(ξ x + i sin(ξ x = e ir(x 1 cos θ+x 2 sin θ, avec r = ξ et θ = arctan ξ ξ Inversion dans L 1 (R 2 Si ˆf L 1 (R 2, alors on a presque partout f (x = 1 ˆf (ξ e iξ x 4π 2 dξ. R 2 Extension à L 2 (R et conservation de l énergie F : L 2 (R 2 L 2 (R 2 est inversible, et on a conservation de l énergie : f (x 2 dx = 1 R 4π 2 ˆf (ξ 2 dξ 2 R 2 f L 2 (R 2 = 1 ˆf. 2π L2 (R 2 ξ = (16, 16, θ = π 4 ξ = (30, 90, θ 2π 5 ξ = (90, 30, θ π / / 31

4 Propriétés de la TF Transformée de Fourier des distributions Linéarité Fonction f Transformée ˆf f (x = αg(x + βh(x, α, β R ˆf (ξ = αĝ(ξ + βĥ(ξ Translation f (x = g(x a, a R 2 ˆf (ξ = e ia ξĝ(ξ Dilatation f (x 1, x 2 = g(a 1 x 1, a 2 x 2 ˆf (ξ1, ξ 2 = 1 a 1 a 2 ĝ Anti-involution f (x = ĝ(x ˆf (ξ = g( ξ Séparabilité f (x 1, x 2 = g(x 1 h(x 2 ˆf (ξ1, ξ 2 = ĝ(ξ 1 ĥ(ξ 2 Dérivation f (x = n+p g(x x n 1 xp 2 ( ξ1 a 1, ξ 2 a 2 ˆf (ξ = (iξ1 n (iξ 2 p ĝ(ξ Rotation f (x = g(r θ (x ˆf (ξ = ĝ(rθ (ξ Classe de Schwarz des distributions tempérées ϕ S(R 2 si ϕ C (R 2 et si pour tous les entiers i, j, k, l, on a Définition de la TF par dualité sup x R 2 x i 1x j 2 k 1 l 2ϕ(x < Topologie sur S : la suite ϕ n converge vers 0 si et seulement si lim sup x1x i j n 2 k 1 2ϕ l n (x 0, i, j, k, l N x R 2 L ensemble S (R 2 des distributions tempérées est l ensemble des applications linéaires continues de S dans C. Si T S, sa transformée de Fourier, notée ˆT, vérifie ϕ S, ˆT, ϕ = T, ˆϕ 13 / / 31 Transformée de Fourier des distributions un exemple Représentation du spectre Exercice On s intéresse à la distribution de Dirac 2D, définie par δ, φ = φ(0, 0 φ S(R 2. Vérifier que δ est bien une distribution tempérée (δ S (R 2 Calculer sa transformée de Fourier Fonction Domaine spatial Domaine fréquentiel Solution δ est clairement linéaire. Pour vérifier que δ S, on montre qu elle est continue de S dans R 2. On utilise pour cela la caractérisation séquentielle de la limite (en 0 car application linéaire. Soit (φ n une suite de S tendant vers 0, il suffit de montrer que δ, φ n δ, 0 = 0. Pour tout φ S, on écrit ˆδ, φ = δ, ˆφ = ˆφ(0 = φ(x dx = 1 R 2, φ, donc ˆδ = 1 R 2 R 2 Image 15 / / 31

5 Représentation logarithmique du spectre Importance de la phase L énergie est concentrée dans les basses fréquences! échelle log F ( = exp i module aléatoire F 1 ( exp i = phase aléatoire F 1 ( exp i = Image f ˆf log(1 + ˆf 17 / / 31 Transformée discrète Base de Fourier 2D u = 0 u = 1 u = 2 u = 3 u = 4 TFD 2D TFD d une image discrète f [m, n], m = 0 M 1, n = 0 N 1 : Inversion habituelle : Propriétés : M 1 ˆf [u, v] = f [m, n] = 1 NM m=0 n=0 M 1 u=0 symétrie (pour une image réelle f [m, n]e 2iπ(u m M +v n N v=0 FFT à temps de calcul : O(MN log(mn ˆf [u, v]e 2iπ(m u M +n v N v = 0 v = 1 v = 2 v = 3 20 / / 31

6 Artefacts de bords Comme en 1D, on calcule en fait la TFD du signal périodisé introduction de singularités aux bords. ajout de fréquences horizontales et verticales artificielles Plan de la séance 1 Rappels : séries et transformée de Fourier 1D 2 Transformée de Fourier d une image 3 Exercices À vous de jouer! Calcul de Transformées Transformées de Fourier d images réelles Image Spectre 22 / / 31 TF d images synthétiques TFs d images réelles (a (b (c (d Structure de la TF 2D : Exprimer la TF 2D comme composition de transformées 1D Montrer que F est covariante par rotation Que peut-on dire de la TF d une fonction radiale f (x = g( x? Calculez la transformée de Fourier des fonctions suivantes : Fonction rectangle χ( a,a ( b,b avec a, b > 0 Gaussienne f (x = e x 2 Calculez la TF des distributions tempérées suivantes : f (x = e ik x f (x1, x 2 = e a x 1. Que vaut la transformée de Fourier de f (x 1, x 2 = g(x 1 quand g L 1 loc(r? (1 (2 (3 (4 24 / / 31