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1 Université d Orléans Faculté des Sciences Département de Mathématiques Licence de Mathématiques SCL5MT01 Analyse fonctionnelle Automne 2006 Page web : http : // orleans.fr/mapmo/membres/anker/enseignement/af.html 1. Distances, normes Topologie I. Espaces métriques Définitions : Une distance sur un ensemble (non vide) X est une application d : X X [ 0, + [ telle que (i) d(x, y) = 0 x = y (non dégénérescence) (ii) d(x, y) = d(y, x) (symétrie) (iii) d(x, z) d(x, y) + d(y, z) (inégalité triangulaire) Un espace métrique (X, d) est un ensemble (non vide) X muni d une distance d X = R n ou{ C n ( x1 y 1 p x n y n ) p 1 p si 1 p < + d p (x, y) = max ( x 1 y 1,..., x n y n ) si p = + En particulier, d 2 (x, y) = x 1 y x n y n 2 distance euclidienne { 0 si x = y Distance discrète sur un ensemble X quelconque : d(x, y) = 1 si x y Définitions : Une norme sur un espace vectoriel (réel ou complexe) E est une application. : E [ 0, + [ telle que (i) λ x = λ x (homogénéité) (ii) x = 0 x = 0 (non dégénérescence) (iii) x + y x + y (inégalité triangulaire) Un espace normé (E,. ) est un espace vectoriel E muni d une norme. Remarque : Soit (E,. ) un espace normé Alors d(x, y) = x y définit une distance sur E Attention : Toute distance ne provient pas d une norme E = R n { ou C n ( x1 x p = p x n ) p 1 p si 1 p < + max ( x 1,..., x n ) si p = + En particulier, x 2 = x x n 2 est la norme euclidienne d p est la distance associée à. p E = B(X) espace des fonctions bornées sur un ensemble X (à valeurs réelles ou complexes) f = sup x X f(x) 1

2 2 Il y a plusieurs manières d exprimer l équivalence de deux normes. et. sur un même espace vectoriel E : chacune majore l autre, à des constantes > 0 près leur quotient est majoré et minoré, en dehors de l origine 0 < C 1 C 2 < +, x E, C 1 x x C 2 x On verra plus loin que, sur un espace vectoriel de dimension finie, toutes les normes sont équivalentes Soient (E,. ) un espace normé et F un sous espace de E. Alors. induit une norme sur F. Plus généralement, si (X, d) est un espace métrique et si Y est une partie de X, alors d induit une distance sur Y. Soient (E 1,. 1 ) et (E 2,. 2 ) deux espaces normés. Alors x = max ( x 1 1, x 2 2 ) est une norme sur E = E 1 E 2. Plus généralement, si (X 1, d 1 ) et (X 2, d 2 ) sont deux espaces métriques, alors d(x, y) = max (d 1 (x 1, y 1 ), d 2 (x 2, y 2 )) est une distance sur X = X 1 X Suites Soient (X, d) un espace métrique, (x n ) n N une suite dans X et x X Définition : (x n ) converge vers x si Dans ce cas, la limite x est unique. ε > 0, N N, n N, d(x n, x) < ε Conditions équivalentes pour que x soit une valeur d adhérence de (x n ) : (i) x est limite d une sous suite extraite de (x n ) (ii) ε > 0, { n N d(x n, x) < ε } est infini (iii) ε > 0 et N N, n N, d(x n, x) < ε 3. Zoologie topologique (boules, ouverts, fermés, voisinages, intérieur, adhérence, frontière,... ) Soit (X, d) un espace métrique Définition des boules : B(x, r) = { y X d(y, x) < r } est la boule ouverte de centre x X et de rayon r > 0 B (x, r) = { y X d(y, x) r } est la boule fermée de centre x X et de rayon r 0 Exercice : Dessiner les boules unité B(0, 1) pour les différentes normes. p dans R 2 Définition : Une partie de X est bornée si elle est contenue dans une boule. Définition : Une partie U de X est ouverte si x U, r > 0, B(x, r) U Conditions équivalentes pour qu une partie F de X soit fermée : (i) X F est ouvert (ii) Toute suite (x n ) dans F, qui converge dans X, a sa limite dans F

3 Les boules B(x, r) sont ouvertes et les boules B (x, r) sont fermées (ce qui justifie la terminologie). et X sont à la fois ouverts et fermés. Une réunion quelconque d ouverts est ouverte, une intersection quelconque de fermés est fermée. Une intersection finie d ouverts est ouverte, une réunion finie de fermés est fermée. C est faux en général pour des familles infinies. Tout ouvert de R est une réunion au plus dénombrable d intervalles ouverts disjoints. Il n y a aucun résultat analogue en dimension supérieure : La structure des ouverts de R n est plus complexe. Dans le cas particulier de la distance discrète, toute partie est à la fois ouverte et fermée. Deux normes sur un même espace vectoriel sont équivalentes si et seulement si elles définissent les mêmes ouverts (et les mêmes fermés). Remarque : Les ouverts de X constituent une topologie O sur X i.e. une famille de parties de X telle que (i), X O (ii) O est stable par réunion quelconque : U i O i I = i I U i O (iii) O est stable par intersection finie : U 1,..., U n O = U 1... U n O Il s agit d une notion de même nature que celle de tribu rencontrée en intégration. La différence réside dans la stabilité par complémentaire (exigée pour une tribu et en général fausse pour une topologie). dans les réunions considérées (au plus dénombrables pour une tribu et quelconques pour une topologie) dans les intersections considérées (au plus dénombrables pour une tribu et finies pour une topologie) Définition : Une partie V de X est un voisinage de x X s il existe r > 0 tel que B(x, r) V Par définition, une partie U de X est ouverte si et seulement si U est un voisinage de chacun de ses points Tout voisinage de x contient x Toute partie de X contenant un voisinage de x est aussi un voisinage de x Une intersection finie de voisinages de x est encore un voisinage de x Définitions équivalentes de l intérieur A d une partie A de X : (i) A est le plus grand ouvert de X contenu dans A i.e. la réunion des ouverts contenus dans A (ii) x A r > 0, B(x, r) A 3

4 4 Définitions équivalentes de l adhérence A d une partie A de X : (i) A est le plus petit fermé de X contenant A i.e. l intersection des fermés contenus dans A (ii) x A r > 0, B(x, r) A (iii) x A x est limite d une suite (x n ) dans A (iv) x A d(x, A) = 0 (voir paragraphe suivant) Définitions équivalentes de la frontière A d une partie A de X : (i) A = A A (ii) x A r > 0, B(x, r) rencontre à la fois A et X A (iii) x A x est limite d une suite x n A et d une suite y n X A (iv) x A d(x, A) = 0 et d(x, X A) = 0 (voir paragraphe suivant) Exemple : B(x, r) B (x, r) et B(x, r) B (x, r) mais il n y a pas égalité en général Les notions d intérieur et d adhérence sont complémentaires : A = X (X A) et A = X X A A B = A B et A B (A B) = A B et A B = A B (A B) A B et A B A B mais il n y a pas égalité en général Définitions équivalentes de la densité d une partie A dans X : (i) A = X (i) tout ouvert non vide de X rencontre A Q et R Q sont denses dans R Q n est dense dans R n Définition : X est séparable s il contient une partie dense, au plus dénombrable Exemple : R n est séparable

5 4. Continuité Soit f : X Y une application entre deux espaces métriques Définitions équivalentes de la continuité de f en un point x X : (i) x n x dans X = f(x n ) f(x) dans Y (ii) ε > 0, δ > 0, d(y, x) < δ = d(f(y), f(x)) < ε (iii) pour tout voisinage W de f(x) dans Y, il existe un voisinage V de x dans X tel que f(v ) W (iv) pour tout voisinage W de f(x) dans Y, f 1 (W ) est un voisinage de x 5 Définitions équivalentes de la continuité de f : (i) f est continue en chaque point de X (ii) l image réciproque f 1 (U) de toute partie ouverte U de Y est une partie ouverte de X (iii) l image réciproque f 1 (F ) de toute partie fermée F de Y est une partie fermée de X (iv) f(a) f(a) pour toute partie A de X Remarque : On utilise parfois (ii) [resp. (iii)] pour montrer qu une partie est ouverte [resp. fermée] en la réalisant comme image réciproque d une partie ouverte [resp. fermée] par une application continue. Définition : f est uniformément continue si ε > 0, δ > 0, d(x, y) < δ = d(f(x), f(y)) < ε Définition : f est lipschitzienne d ordre K 0 si d(f(x), f(y)) K d(x, y) pour tout x, y X Proposition : La composition préserve les applications continues, les applications uniformément continues, les applications lipschitziennes (avec multiplication de l ordre). Proposition : f lipschitzienne = f uniformément continue = f continue Une isométrie est une application lipschitzienne d ordre K = 1. Rappelons que f est une isométrie si d(f(x), f(y)) = d(x, y) pour tout x, y X. La distance x d(x, y) à un point fixé y X est une fonction lipschitzienne d ordre K = 1 Plus généralement, la distance x d(x, A) = inf { d(x, y) y A } à une partie (non vide) A de X est une fonction lipschitzienne d ordre K = 1 Une fonction dérivable f : R R, dont la dérivée est bornée, est lipschitzienne. Proposition : Une limite uniforme d applications continues est continue. Remarque : Une limite simple d applications continues peut être discontinue. Corollaire : C([ a, b ]) est un sous espace fermé de B([ a, b, ]).

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