D.Feyel Université d Evry, Intégration, M53. Introduction. Commençons par un exemple : si X est un ensemble, posons pour tout A X

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1 D.Feyel Université d Evry, Intégration, M53 Introduction Commençons par un exemple : si X est un ensemble, posons pour tout A X µ(a) = Card(A) La fonction A µ(a) a les propriétés suivantes a) µ(ø) = 0 b) si A n est une suite d ensembles disjoints et A = n A n, alors µ(a) = n µ(a n ) Noter que l on peut fort bien avoir µ(a) = +. Ces propriétés sont caractéristiques de la notion de mesure. Pour des raisons évidentes, la fonction µ de cet exemple s appelle la mesure de comptage sur l ensemble X. Si µ est une mesure, on définit l intégrale d une fonction par rapport à cette mesure : il s agit de l intégrale telle que définie par Lebesgue. Il y a donc deux théories : celle de la mesure (définition d une mesure), et celle de l intégration (la mesure étant déjà définie). Dans ce cours, on mettra l accent sur l intégration des fonctions et sur les théorèmes de convergence des intégrales. On laissera d abord de côté le problème de la définition d une mesure, et notamment de la plus importante d entre elles (celle qui justifie toute la théorie), c est-à-dire de la mesure de Lebesgue (1902). La notion d ensemble mesurable ou d ensemble borélien et plus généralement la notion de tribu (qui est évidemment fondamentale en probabilités), ne seront abordées systématiquement qu à propos du théorème de Fubini, au moment où les étudiants seront déjà bien familiarisés avec les théorèmes de convergence (du moins on l espère). Cela prouve, s il en était besoin, qu il est impossible de se passer des ensembles mesurables, sauf à obtenir des théorèmes d énoncés très compliqués (comme dans l ancien temps). Cela dit, l intégration et la théorie de la mesure sont difficiles, non pas à cause de leur caractère technique (il n y a que trois théorèmes d intégration, et leur démonstration n est pas vraiment difficile), mais à cause de leur caractère abstrait qui peut dérouter les débutants. 1

2 Mesure de Lebesgue C est une mesure sur IR qui associe à tout segment sa longueur µ([a, b]) = b a En fait, on supposera que µ(a) n est pas défini pour toute partie A de IR, mais seulement pour certains sous-ensembles que l on appelle mesurables, ou plus précisément mesurables-lebesgue ou mesurables-l. (SVP, évitez l horrible Lebesguemesurable). On exige les propriétés suivantes a) Ø est mesurable et µ(ø) = 0 b) si des A n sont mesurables et disjoints, alors A = n A n est mesurable et µ(a) = n µ(a n ) En ce qui concerne la mesurabilité, on ajoute les hypothèses c) si A et B sont mesurables, A B et le complémentaire A c de A sont mesurables. d) les segments sont mesurables, et µ([a, b]) = b a. Il est facile de construire des mesures satisfaisant seulement les propriétés a), b) et c) (par exemple la mesure de comptage). Il est autrement plus difficile de construire une mesure satisfaisant aussi le d). C est l objet d un théorème de Lebesgue, que nous n aborderons qu à la fin s il reste du temps. Remarque : si l on veut la mesure de Lebesgue sur IR 2, il faut remplacer la propriété d) par la suivante d ) les rectangles R sont mesurables, et µ(r) vaut la surface de R. Mesures générales On se donne un ensemble X, et une mesure µ définie pour tout ensemble mesurable A, satisfaisant les propriétés a), b), c). Propriétés immédiates D après le c), si A et B sont mesurables, A B, A B c etc.., le sont aussi. Si A B = Ø, alors µ(a B) = µ(a) + µ(b) d après le b) (prendre A 1 = A, A 2 = B, et A n = Ø pour n 2). 2

3 Si des B n sont mesurables, B = n B n l est aussi, même si les B n ne sont pas disjoints, et l on a µ(b) µ(b n ) n (avec égalité si les B n sont disjoints). 1 Théorème (petit théorème de convergence monotone) : Si A n est une suite croissante d ensembles mesurables, et A = n A n, alors Rappelons que µ(a) +. µ(a) = Sup µ(a n ) = Lim µ(a n) n n Attention On devrait dire croissante au lieu de monotone, car il n y a pas de théorème de convergence décroissante en dehors d hypothèses supplémentaires (comme la domination, voir plus loin). Cependant l usage du terme traditionnel monotone s est imposé. Vocabulaire Si A est mesurable, on dit qu il est intégrable lorsque µ(a) < +, négligeable lorsque µ(a) = 0. Il est clair que toute réunion dénombrable d ensembles négligeables est un ensemble négligeable. Une propriété a lieu presque partout (ou presque sûrement) si elle a lieu sur le complémentaire d un ensemble négligeable. Par exemple, deux fonctions f et g sont égales presque partout si l ensemble {f g} est négligeable. Application à la mesure de Lebesgue On a µ(ir) = +, µ(]a, b[) = b a, µ([a]) = 0 Tout ensemble dénombrable D est µ-négligeable, c est-à-dire µ(d) = 0. 3

4 Fonctions étagées Intégration des fonctions positives Une fonction f : X E est dite étagée si elle ne prend qu un nombre fini de valeurs. Il existe donc une partition finie de X en ensembles A i sur chacun desquels f prend une valeur constante a i. Elle est dite mesurablement étagée ou étagée sur les ensembles mesurables si chacun des A i est mesurable. Si µ est une mesure, on dit aussi µ-étagée. Si f est une fonction réelle positive et µ-étagée, elle s écrit f(x) = m a i 1 Ai (x) i=1 On définit son intégrale en posant µ(f) = f(x)dµ(x) = m a i µ(a i ) i=1 avec la convention (toujours utilisée en intégration) 0. = 0 Observer que si µ(x) = +, il peut arriver que µ(f) = +. Propriétés immédiates Si f et g sont µ-étagées et f g alors µ(f) µ(g). Si f et g sont µ-étagées, f + g l est aussi, et l on a µ(αf + βg) = αµ(f) + βµ(g) pour tous scalaires α, β 0 (on rappelle la convention 0. = 0). Dans le cas de la mesure de Lebesgue sur X = [0, 1], et si f est en escalier, c est-à-dire si elle est constante par intervalles, on retrouve l intégrale de Riemann classique d une fonction en escalier. 2 Lemme (de Lebesgue) : Soit f une fonction à valeurs dans [0, + ] (fonction positive étendue). La suite f n = Inf(n, 10 n Ent(10 n f)) 4

5 où Ent désigne la partie entière, est une suite de fonctions étagées et converge en croissant vers f. (Considérer le développement décimal par défaut de f à 10 n près). De plus si les ensembles {f > λ} sont mesurables pour tout λ IR, alors les f n sont mesurablement étagées. En ce cas, on dit que la fonction f est mesurable. 3 Définition : Si f 0 est mesurable, on définit son intégrale en posant µ(f) = f(x)dµ(x) = Sup { µ(ϕ) / 0 ϕ f, ϕ étagée } Naturellement, si f est étagé, on retrouve la définition antérieure. Enfin il est clair que f g implique µ(f) µ(g). Vocabulaire Si µ(f) < + on dit que f est intégrable. Si µ(f) = 0, on dit que f est négligeable. Observer que µ(f) = 0 si et seulement si f est nulle presque partout. 4 Proposition : Si f 0 est intégrable, l ensemble {f = + } est négligeable, l ensemble {f > 0} est la réunion d une suite d ensembles intégrables. 5 Définition : Une mesure µ sur un ensemble X est bornée si µ(x) <. Elle est σ-finie si X est réunion d une suite d ensembles intégrables. Par exemple, la mesure de Lebesgue sur [0, 1] est bornée, la mesure de Lebesgue sur IR est σ-finie. La mesure de comptage sur un ensemble X est σ-finie si et seulement si X est dénombrable. 5

6 Théorème de la convergence monotone Voici maintenant le théorème de base de toute l intégration. 6 Théorème (de la convergence monotone) : Soit f n une suite croissante de fonctions mesurables et positives. On note f = Sup n f n son enveloppe supérieure. Alors f est mesurable, et l on a f dµ = Sup f n dµ n Démonstration : D abord si λ IR, on a {f > λ} = n {f n > λ} de sorte que f est mesurable, et bien sûr Sup n µ(f n ) µ(f). 1 ère étape : on suppose que f = 1 B où B est mesurable. On choisit 0 < λ < 1, et l on pose B n = {f n > λ}. La suite B n est croissante de réunion B, donc µ(b) = Sup n µ(b n ). On a f n λ1 Bn donc µ(f n ) λµ(b n ) puis µ(f) = µ(b) = Sup n µ(b n ) Sup n µ(f n )/λ. cela vaut pour tout λ < 1 de sorte que µ(f) Sup n µ(f n ). 2 ème étape : on suppose que f est µ-étagée, donc f = i a i1 Bi (somme finie). De la première étape on tire pour tout i µ(a i 1 Bi ) = Sup µ(1 Bi f n ) n et en faisant la somme finie µ(f) = Sup n µ(f n ). 3 ème étape : (cas général), Soit ϕ étagée mesurable f. La suite g n = Inf(ϕ, f n ) converge en croissant vers ϕ, de sorte que µ(ϕ) = Sup n µ(f) = Sup ϕ µ(g n ) Sup µ(f n ) n µ(ϕ) Sup µ(f n ) µ(f) n Applications. On déduit du lemme de Lebesgue que si f et g sont mesurables, αf + βg l est aussi, et que µ(αf + βg) = αµ(f) + βµ(g). Si µ est la mesure de Lebesgue sur [0, 1], toute fonction continue, toute fonction réglée, toute fonction intégrable-riemann, est intégrable-lebesgue, avec la même intégrale. Une fonction continue f 0 sur IR ou sur ]0, + [ est intégrable-lebesgue si et seulement si elle est intégrable au sens de Cauchy généralisé, avec la même intégrale, etc.. 6

7 Application. Une mesure µ sur X est σ-finie si et seulement s il existe une fonction intégrable strictement positive. 7 Proposition : Si f et g sont égales presque partout, alors µ(f) = µ(g). 8 Lemme de Fatou : Soit f n une suite quelconque de fonctions mesurables et positives. On a Lim Inf f n dµ LimInf f n dµ n n Démonstration : On pose g n = Inf k n f k, de sorte que les g n sont mesurables et vont en croissant vers f. Comme on a g n f k pour k n, on obtient µ(f) = Sup n µ(g n ) Sup n Inf µ(f k) = LimInf µ(f n) k n n 7

8 Fonctions intégrables réelles, complexes Une fonction à valeurs réelles ou complexes est dite µ-intégrable si elle est µ- mesurable et si f(x) dµ(x) < + Si f est rélle, elle est toujours différence de deux fonctions intégrables et positives, soit f = u v, avec u 0, v 0 On peut prendre par exemple u = f et v = f f. On voit facilement que le nombre udµ v dµ ne dépend pas du choix particulier de u et v. On pose alors f(x)dµ(x) = u(x)dµ(x) v(x) dµ(x) On note L 1 (µ) l ensemble des fonctions réelles µ-intégrables. On constate que c est un sous-espace vectoriel de IR X. L application f f dµ est une forme linéaire sur L 1 (µ), et c est une forme linéaire croissante, c est-à-dire (f+g)dµ = f dµ+ g dµ, kf dµ = k f dµ, f g pour toutes f, g L 1 (µ), et k IR. On en déduit bien sûr l inégalité f dµ f dµ Si maintenant f est à valeurs complexes on pose f dµ = Re f dµ + i Im f dµ C est évidemment un nombre complexe. On obtient là aussi l inégalité f dµ f dµ f dµ Plus généralement, si f est à valeurs dans IR m, donc f = m i=1 f ie i, où les e i sont les vecteurs de la base, on pose f dµ = m ( i=1 ) f i dµ e i On obtient évidemment un vecteur de IR m, et de nouveau l inégalité f dµ f dµ où cette fois la valeur absolue est remplcée par la norme euclidienne de IR m, soit u = i u2 i. 9 Remarque : Cela vaut en fait pour toute norme autre que la norme euclidienne. g dµ 8

9 Le théorème de convergence dominée Si f n est une suite de fonctions intégrables convergeant vers une fonction f, peuton affirmer que f est intégrable et que la suite des intégrales de f n convergent vers celle de f? En d autres termes, peut-on passer à la limite sous le signe? On a déjà vu une réponse partielle à la question, c est le théorème de convergence monotone, concernant les suites croissantes. Dans le cas d une suite quelconque, il faut une hypothèse supplémentaire : on dit qu une suite f n est dominée par une fonction h si l on a pour tout n On obtient alors f n h presque partout 10 Théorème de converge dominée : Soit f n une suite de fonctions intégrables qui converge presque partout vers une fonction f. On suppose que la suite est dominée par un fonction intégrable. Alors f est intégrable, et l on peut passer à la limite sous le signe somme f dµ = Lim n f n dµ Démonstration : Elle découle immédiatement du lemme de Fatou appliqué aux suites de fonctions positives f n + h et h f n, où h est la fonction dominante. Ce théorème est évidemment très important, donnons-en un exemple d application (continuité sous le signe ). Pour λ complexe considérons a priori l intégrale Γ(λ) = 0 t λ 1 e t dt On voit que la fonction est intégrable pour Re λ > 0, et que Γ(λ) est continue en λ. En effet si λ n λ et 0 < a λ n b < +, on a la domination t λ 1 e t t a 1 e t + t b 1 e t de sorte que Γ(λ n ) converge vers Γ(λ). On reconnaît la fameuse fonction Γ d Euler. 9

10 La notion de tribu Il s agit d une notion relativement abstraite, mais il est impossible d en faire l économie. Son importance provient d une part du théorème de Fubini (voir plus bas), et d autre part de son rôle caractéristique en probabilités. On a déjà vu un exemple implicite de tribu : la tribu des ensembles mesurables introduits plus haut. On va maintenant donner la définition générale. 11 Définition : Soit X un ensemble. Un famille F de sous-ensembles de X est une tribu ou σ-algèbre si les propriétés suivantes sont satisfaites a) Ø F b) A, B F implique A B F et A c F c) si l on a une suite A n F, alors n A n F. Noter que l on a aussi n A n F. Par exemple la famille de tous les sous-ensembles de X est une tribu, c est la plus grande tribu sur X. De même {Ø, X} est une tribu, c est la plus petite tribu sur X. Si une famille de sous-ensembles ne satisfait qu aux propriétés a) et b), on dit que c est une algèbre de Boole sur X. Ainsi une tribu n est autre qu une algèbre de Boole stable sous les opérations de réunions dénombrables. Toute intersection de tribus est une tribu. Par exemple, si X est un espace métrique, il existe une plus petite tribu contenant les ouverts (prendre l intersection de toutes les tribus contenant les ouverts). On l appelle la tribu borélienne de X. On dit que cette tribu est engendrée par les ouverts. Les ensembles boréliens sont les éléments de la tribu borélienne. Noter que les ouverts sont boréliens par définition, que les fermés sont boréliens puisque leurs complémentaires sont ouverts. Les réunions dénombrables de fermés (appelés des F σ ) sont aussi boréliens, ainsi que leurs complémentaires (appelés des G δ ), etc.. Plus généralement, si A est une famille quelconque de sous-ensembles de X, on définit la tribu engendrée par A : c est la plus petite tribu contenant A, et c est aussi l intersection de toutes les tribus contenant A. Si F est une tribu sur un ensemble X, on dit que (X, F) est un espace mesurable. Les éléments de F sont dits mesurables ou plus précisément F-mesurables. 10

11 On revient alors sur la notion de mesure : une mesure µ sur un espace mesurable (X, F) est une fonction µ : F [0, + ] telle que d) µ(ø) = 0 e) si des A n F sont disjoints et de réunion A, alors µ(a) = n µ(a n). 12 Théorème de Lebesgue : Il existe une unique mesure µ sur la tribu borélienne de IR m telle que µ(p ) = volume(p ) pour tout hypercube P. De plus, pour tout ensemble borélien B et tout ε > 0, il existe in fermé F B et un ouvert G B tels que µ(g F ) < ε. En dimension 1, la mesure de Lebesgue généralise la longueur d un ensemble. En dimension 2, elle généralise la surface, etc.. Si (X, F) et (Y, G) sont deux espaces mesurables, une application f : X Y est dite mesurable si l image réciproque f 1 (B) = {f B} d un ensemble G- mesurable B est une ensemble F-mesurable. 13 Proposition : La composée de deux applications mesurables est une application mesurable. Dans le cas de Y = IR m, ou plus généralement dans le cas d un espace métrique Y, si la tribu G n est pas expressément indiquée, on utilise toujours la tribu borélienne (tribu par défaut!). On remarquera qu un ensemble est mesurable si et seulement si son indicatrice est mesurable. 14 Proposition : Soient X et Y deux espaces métriques. Alors toute application continue f : X Y est mesurable par rapport aux deux tribus boréliennes. On dit alors que f est borélienne. Démonstration : Notons G 0 la famille des ensembles B G tels que {f B} appartienne F. Evidemment G 0 est une tribu sur Y qui contient les ouverts de Y. Elle contient donc la tribu borélienne de Y, soit G 0 G. Mais on a par hypothèse G 0 G, d où l égalité. 15 Corollaire : Si f et g sont deux fonctions mesurables, l application x (f(x), g(x)) est mesurable à valeurs dans IR 2. Il s ensuit que f + g est mesurable, ainsi que fg, ou encore f/(g 2 + 1), etc.. 11

12 Le théorème des classes monotones Une classe monotone sur un ensemble X est une famille M de sous-ensembles de X stable par réunions et intersections de suites monotones. Cela signifie que si A n M est une suite croissante ou décroissante, la réunion et l intersection appartiennent aussi à M. Evidemment toute tribu est une classe monotone. Or on a le résultat suivant 16 Théorème des classes monotones, ou de récurrence borélienne : Soit A une algèbre de Boole sur un ensemble X. Soit M une classe monotone contenant A. Alors M contient aussi la tribu engendrée par A. Démonstration : On se contentera d indications, car la démonstration élémentaire classique est extrêmement fastidieuse, et nuit plutôt à la compréhension. Notons A la famille d ensembles ainsi définie : { A = B X / } il existe une suite A n A telle que B = Lim A n n (suite non nécessairement monotone). On voit immédiatement que A est une algèbre de Boole et que A A M. On obtient par récurrence une suite croissante d algèbres de Boole A A A M Malheuseument, il n y a aucune raison pour que A (ω) = n A(n) soit une tribu. On continue donc A (ω) A (ω+1) M. Cela s appelle un raisonnement par récurrence transfinie, sur lequel nous n insisterons pas. Le résultat est que l on finit tout de même par tomber sur une algèbre de Boole B telle que A B = B M. L égalité B = B signifie que B est une tribu qui contient la tribu engendrée par A. 17 Remarques : a) cela fournit en fait exactement la tribu engendrée par A. b) un peu de réflexion montre que la classe monotone M ne sert qu à faire beau. Exemple : soient µ et ν deux mesures bornées sur [0, 1] qui coïncident sur les fonctions continues. Cela signifie que f dµ = f dν pour toute fonction continue f. Alors µ(b) = ν(b) pour tout ensemble borélien B. En effet, soit A l algèbre de Boole constituée des ensembles A dont l indicatrice est limite d une suite de fonctions continues : 1 A = Lim n f n. Le théorème de convergence dominée implique µ(a) = ν(a), de sorte que les deux mesures coïncident sur A. En répétant le raisonnement tranfiniment, on voit qu elles coïncident sur A, A, etc.. Elles coïncident finalement sur la tribu engendrée par A, c est-à-dire la tribu borélienne. 12

13 Le théorème de Fubini Soient (X, F) et (Y, G) deux espaces mesurables. On définit une algèbre de Boole sur Z = X Y de la manière suivante : Disons qu un sous-ensemble de Z est un rectangle mesurable s il est de la forme R = A B où A F et B G. On a alors 18 Lemme : Les réunions finies de rectangles mesurables disjoints forment une algèbre de Boole A. Démonstration : D abord Ø A. Ensuite, on a la formule ensembliste R i,j = i m j n f J i m R i,f(i) où f parcourt l ensemble fini J des applications de {1, 2,..., n} dans {1, 2,..., m}. Si les R i,j sont des rectangles disjoints, les ensembles R f = i m R i,f(i) sont des rectangles mesurables disjoints, de sorte que le membre de droite (et donc aussi celui de gauche) appartient à A. Ainsi A est stable par intersections finies. Le complémentaire R c d un rectangle mesurable est la réunion de deux rectangles mesurables disjoints, donc appartient à A. Finalement, le complémentaire d un élément de A appartient à A, et A est une algèbre de Boole. 19 Remarque : en particulier, toute réunion finie de rectangles mesurables non nécessairement disjoints, est un élément de A. 20 Définition : on appelle tribu produit F G la tribu engendrée par l algèbre de Boole A. C est donc aussi la classe monotone engendrée par A. 21 Théorème de Fubini, première partie : soit µ une mesure bornée sur la tribu F. Pour toute fonction f(x, y) 0 mesurable par rapport à la tribu produit, la fonction x f(x, y) est F-mesurable (y étant fixé). De plus G(y) = f(x, y)dµ(x) est une fonction G-mesurable. Démonstration : grâce au théorème de convergence monotone, on peut se limiter au cas où f est une indicatrice d élément de F G. Notons M la famille des M F G pour lesquels toutes les propriétés ont lieu. Evidemment M contient les éléments de A. Soit M n une suite d éléments de M qui converge vers un ensemble M. Il est clair que M est à sections mesurables, et que les fonctions correspondantes G n (y) convergent vers G(y) par le théorème de convergence dominée (mesure bornée). Ainsi G est G-mesurable. Alors M contient la tribu engendrée par A, donc M = F G. 13

14 22 Théorème de Fubini, deuxième partie : soient µ une mesure bornée sur la tribu F, et ν une mesure bornée sur la tribu G. Pour toute fonction F G- mesurable f(x, y) 0, on a dµ(x) f(x, y)dν(y) = dν(y) f(x, y)dµ(x) Démonstration : on se limite là aussi au cas où f est une indicatrice. En raisonnant comme ci-dessus, on est ramené à vérifier la chose pour l indicatrice d un rectangle mesurable R = A B : la valeur commune est µ(a)ν(b). 23 Théorème de Fubini, troisième partie : sous les mêmes hypothèses, il existe une unique mesure σ sur la tribu F G telle que f(x, y)dσ(x, y) = dµ(x) f(x, y)dν(y) = dν(y) f(x, y)dµ(x) La mesure σ s appelle le produit de µ et ν, et se note souvent µ ν. C est la seule mesure telle que σ(a B) = µ(a)ν(b). Démonstration : soit σ(b) la valeur commune obtenue lorsque f est l indicatrice de B F G. Le théorème de convergence monotone montre que σ est une mesure. L unicité est évidente. 24 Théorème de Fubini, quatrième partie : toujours sous les mêmes hypothèses, un ensemble N F G est σ-négligeable si et seulement si µ-presque toute section N x = {y / (x, y) N} est ν-négligeable. De plus, si f(x, y) est une fonction réelle σ-intégrable, alors a) pour µ-presque tout x la fonction y f(x, y) est ν-intégrable b) la fonction F (x) valant 0 lorsque f(x, y) dν(y) = + et valant f(x, y)dν(y) ailleurs, est µ-intégrable. De plus F (x)dµ(x) = f(x, y)dσ(x, y) Démonstration : elle résulte immédiatement des formules du cas f 0. Exemple ( ) dérivation sous le signe : on reprend la fonction d Euler Γ(x) = 0 t x 1 e t dt qui est finie et continue pour x > 0. Posons a priori F (x) = 0 t x 1 Log t e t dt 14

15 La majoration pour 0 < a x b < + et t > 0 t x 1 Log t e t H(t) = [t a 1 + t b 1 ] Log t e t montre que la fonction de deux variables (t, x) est intégrable sur ]0, + [ [a, b]. On applique donc le théorème de Fubini b a F (x)dx = b e t dt t x 1 Log tdx = a e t dt[t b 1 t a 1 ] = Γ(b) Γ(a) On voit que Γ est une primitive de F. Comme F est continue (théorème de convergence dominée), Γ est dérivable, et Γ = F. Noter que le raisonnement se répète indéfiniment, donc Γ est de classe C et Γ (n) (x) = 0 t x 1 (Log t) n e t dt Complément : le théorème de Fubini s étend au cas des mesures µ et ν non nécessairement bornées, mais σ-finies. Rappelons que µ est σ-finie si l espace est réunion dénombrable d ensembles intégrables. Il revient au même de supposer l existence d une fonction f(x) > 0 et intégrable. 15

16 L espace réel L 2 On a vu plus haut que pour tout espace mesurable (X, F) et toute mesure µ sur F, l ensemble L 1 (µ) des fonctions réelles F-mesurables et µ-intégrables formaient un sous-espace vectoriel de IR X. On désigne maintenant par L 2 (µ) (ou plus précisément L 2 (X, F, µ)) l ensemble des fonctions réelles F-mesurables f dont le carré f 2 est intégrable. 25 Remarque : on peut aussi considérer des fonctions complexes (et c est très important). Pour la commodité, on se limitera cependant ici aux fonctions réelles. 26 Proposition : L 2 est un sous-espace vectoriel de IR X. Démonstration : cela provient de la simple majoration (f + g) 2 2(f 2 + g 2 ). 27 Théorème (Cauchy-Schwarz) : si f et g sont de carrés intégrables, la fonction f g est intégrable, et fg dµ f 2 dµ g 2 dµ Démonstration : on a 2 fg f 2 + g 2 d où la première assertion. L inégalité à démontrer est évidente si f = 0 presque partout. Sinon, on pose pour λ IR Q(λ) = (λf + g) 2 dµ = λ 2 f 2 dµ + 2λ fg dµ + g 2 dµ Ce trinôme en λ est toujours 0, de sorte que son discriminant est négatif ( = 2 fg dµ) f 2 dµ g 2 dµ 0 28 Proposition (précision) : il y a égalité si et seulement si les deux fonctions sont proportionnelles (i.e. colinéaires). Démonstration : c est clair si f = 0 presque partout. Sinon, le discriminant s annule, de sorte que le trinôme a une racine (double) λ 0 pour laquelle on a Q(λ 0 ) = 0, c est-à-dire λ 0 f + g = 0 presque partout. 29 Théorème (Minkowski) : l expression f = f 2 dµ 16

17 est une (semi-)norme sur L 2, c est-à-dire a) f + g f + g pour toutes f, g L 2 (inégalité triangulaire) b) λf = λ f pour λ IR, f L 2 (homogénéité) c) f = 0 si et seulement si f = 0 presque partout Démonstration : pour voir le a), on élève au carré, et l on est ramené à l inégalité de Cauchy-Schwarz. 30 Remarque : Noter que le c) ne dit pas que f = 0, mais seulement que sa classe f modulo l égalité presque partout est nulle. C est pourquoi la rigueur exige que l on passe au quotient L 2 = L 2 /N, ensemble des classes d équivalence. En fait on fera couramment l abus de langage consistant à dire fonction au lieu de classe de fonctions. Ainsi l espace L 2 est un espace métrique pour la distance d(f, g) = f g. D où la notion de suite convergente : une suite f n converge vers f dans l espace L 2 si la norme f n f tend vers 0. On dit aussi que f n converge en moyenne quadratique. Rappelons qu une suite de Cauchy dans un espace métrique est une suite f n telle que les distances d(f n, f m ) tendent vers 0 quand n et m tendent vers l infini : ε > 0, il existe N tel que d(f n, f m ) ε pour tous n, m N Il est clair que toute suite convergente est une suite de Cauchy, la réciproque est vraie pour L 2, mais ce n est pas évident. Attention : le fait que f n f m tende vers 0 ne signifie pas que f n f m tende vers 0 presque partout (voir plus bas). 31 Théorème de Fisher-Riesz : dans L 2, toute suite de Cauchy est convergente. Démonstration : soit donc f n une suite de Cauchy. On utilise un lemme de topologie selon lequel il suffit de montrer que cette suite f n a une valeur d adhérence, c està-dire possède une sous-suite convergente (voir cours de topologie). Pour cela on note par récurrence N 0 = 1, et N k le plus petit entier strictement plus grand que N k 1 à partir duquel on a f n f m 2 k pour n, m N k. Posons g k = f Nk+1 f Nk G k = g 1 + g g k, G = k 1 g k = Sup G k k On a G k k 1 2 k < +, G 2 dµ = Sup G k 2 k [ 2 k] 2 < + k 1 17

18 On en déduit que G est finie presque partout, de sorte que la série des g k est absolument convergente presque partout. Posons F (x) = k 1 g k (x) si la série converge absolument, 0 sinon On constate que F appartient à L 2. De plus f Nk = f N0 + g 1 + g g k 1 converge presque partout vers f = f N0 +F. La suite f Nk f 2 tend vers 0 presque partout et est dominée par 4G 2 qui est intégrable, de sorte que son intégrale tend vers 0. Ainsi f Nk f tend vers 0, la suite f Nk converge vers f dans L 2, et la suite de Cauchy initiale f n converge (vers f). 32 Remarque : La suite f Nk a des propriétés assez fortes : non seulement elle converge en moyenne quadratique, mais elle converge aussi presque partout, et est dominée par une fonction de carré intégrable (à savoir G). Produit scalaire, projection orthogonale. On définit le produit scalaire de f et g f, g = fg dµ On a les propriétés a) f, g = g, f (symétrie) b) λf + g, h = λ f, h + g, h (linéarité) c) f, f 0 (positivité) d) f, f = 0 si et seulement si f = 0 presque partout (positivité stricte) On remarquera que vu la symétrie, le produit scalaire est aussi linéaire par rapport à sa seconde variable : il est donc bilinéaire. Deux fonctions f et g sont orthogonales si leur produit scalaire est nul, soit f, g = Théorème de la médiane, ou du parallélogramme : pour toutes f, g L 2 on a f + g 2 + f g 2 = 2( f 2 + g 2 ) Démonstration : triviale. 18

19 34 Théorème de Pythagore : f + g 2 = f 2 + g 2 si et seulement si f et g sont orthogonales. Démonstration : triviale. 35 Théorème de la projection orthogonale : Soit F un sous-espace vectoriel fermé de L 2. Pour toute f L 2, il existe u F unique tel que f u = Min{ f u / u F } = distance(f, F ) De plus u est l unique élément de F tel que f u soit orthogonale à F. Démonstration : Une suite u n F est minimisante si f u n tend vers la distance d de f à F. Une telle suite existe. On a alors 2f u n u m 2 + u n u m 2 = 2( f u n 2 + f + u m 2 ) On a 2f u n u m 2 4d 2 puisque le point (u n + u m )/2 appartient à F. Par conséquent u n u m 2 2( f u n 2 + f + u m 2 ) 4d 2 Quand n, m, le membre de droite tend vers 0, de sorte que u n est une suite de Cauchy. On pose alors u = Lim n u n. On a f u = Lim n f u n = d. Le point u est unique, car si v a la même propriété, on a u v 2 2( f u 2 + f + v 2 ) 4d 2 = 0 On calcule f u, g pour g F : pour tout λ IR et g 0, le trinôme Q(λ) = f u λg 2 f u 2 est positif, son discriminant f u, g 2 est 0, donc nul, et f u est orthogonal à g. Enfin, si w F est tel que f w soit orthogonale à F, on a f w, w u = 0 = f u, w u w u, w u = 0 w = u Le vecteur u F aisi défini s appelle la projection orthogonale de f sur F. L opérateur f u = T f est linéaire, et l on a toujours T f f. Noter que T 2 = T, de sorte que T est un projecteur. Enfin T est hermitien, c està-dire T f, g = f, T g pour tous f, g L 2. 19

20 Espérance conditionnelle On parle ici de probabilités. On doit d abord préciser le langage. On considère donc une mesure P sur un espace mesurable (Ω, B), qui est une mesure de probabilités ou plus simplement une probabilité, c est-à-dire une mesure telle que P (Ω) = 1. Un élément de la tribu B s appelle un événement, et une fonction B-mesurable s appelle une variable aléatoire (en abrégé une v.a.). Si X est une v.a. intégrable, son intégrale s appelle aussi son espérance, et se note IE(X) = X(ω)dP (ω) = X dp Soit F une sous-tribu de B, c est-à-dire une tribu sur Ω telle que F B. Evidemment (Ω, F) est aussi un espace mesurable, et la restriction de P à (Ω, F) est une probabilité. L espace L 1 (Ω, F, P ) est un sous-espace vectoriel de L 1 (Ω, B, P ). Il en est de même pour les espaces L 2, ainsi L 2 (Ω, F, P ) L 2 (Ω, B, P ) et c est un sous-espace fermé. En effet, il est complet (i.e. les suites de Cauchy sont convergentes), et selon un lemme de topologie, tout sous-espace complet d un espace métrique est fermé. Il ne s agit en fait que d espaces semi-métriques (seuls les L 2 sont métriques). Pour l instant cela n a aucune importance, et cela évite quelques hypothèses parasites supplémentaires (du genre F contient les éléments négligeables de B, etc.. ). Soit X L 2 (B) = L 2 (Ω, B, P ). Considérons la projection orthogonale Y de X sur L 2 (F). Evidemment Y est F-mesurable. De plus X Y est orthogonale à toute v.a. Z L 2 (F), soit IE(ZX) = IE(ZY ) pour toute Z L 2 (F) En particulier IE(1 A X) = IE(1 A Y ), soit X dp = A A Y dp pour tout A F Cette dernière propriété caractérise la v.a. Y L 2 (F) (les v.a. F-étagées sont denses dans L 2 (F)). La v.a. Y s appelle espérance conditionnelle de X relativement à la tribu F. On note Y = IE F (X) = IE(X / F) 20

21 Propriétés de l espérance conditionnelle Notons T X = IE(X / F). On définit ainsi un opérateur (application) linéaire de L 2 (B) dans L 2 (F) L 2 (B). On a 36 Théorème : On a a) T 2 = T b) T est hermitien, c est-à-dire X, T Y = T X, Y pour toutes X, Y L 2 (B) c) T f f d) T 1 = 1 e) X 0 implique T X 0 (presque sûrement) Démonstration : les propriétés a), b), c) sont celles des projections orthogonales. Le d) résulte du fait que 1 L 2 (F). Reste à prouver le e) : soit A = {T X < 0} F, on a 0 IE(1 A X) = IE(1 A T X) 0 de sorte que T X = 0 presque sûrement sur A, et A est négligeable. Les propriétés d) et e) signifient que T est un opérateur markovien. Soit X L 2 (B). On a et IE(T X) = 1, T X = T 1, X = 1, X = IE(X) IE( T X ) IE(T X ) = IE( X ) On en déduit que T est prolongeable en opérateur continu de L 1 (B) dans L 1 (F). Exemple : on prend F = {Ø, X}. Montrer que IE(X / F) est la constante IE(X). Exercice 1 : soit T un opérateur de L 2 (B) ayant les propriétés b), d) et e). Montrer qu il existe une sous-tribu F B telle que T X = IE(X / F) presque sûrement pour toute X L 2 (B). Indication : on dit que A B est invariant si T (1 A ) = 1 A presque sûrement. Montrer que les ensembles invariants forment une sous-tribu F de B. Exercice 2 : Soient Ω le carré [0, 1] 2, B sa tribu borélienne, P la mesure de Lebesgue de dimension 2. Si X est une v.a. appartenant à L 2, on pose T X(ω) = 1 0 X(ω, ϖ)dϖ Montrer que T X = IE(X / F) presque sûrement, où F est une sous-tribu de B à préciser. 21

22 Théorème de Riesz, mesure de Lebesgue Soit X un espace métrique compact. On fait les hypothèses suivantes a) α est une forme sous-linéaire croissante sur l espace des fonctions bornées. b) si g n est une suite croissante de fonctions bornées convergeant vers une fonction bornée g, alors α(g n ) converge vers α(g). c) la restriction de α à C(X) est linéaire. On pose β(g) = α( g). On a toujours β(g) α(g). On dira qu une fonction est régulière si β(g) = α(g). Noter que les fonctions continues sont régulières. 37 Lemme de Fatou : soit g n une suite convergeant vers g, dominée. Alors α(g) LimInf n α(g n) Démonstration : identique à celle du lemme classique. 38 Corollaire : soit g n une suite dominée de fonctions régulières, convergeant vers g. Alors g est régulière, et α(g n ) converge vers α(g). Démonstration : on raisonne comme pour le théorème classique, et l on constate que g est régulière. 39 Théorème : les fonctions boréliennes (bornées) sont régulières. Il existe une unique mesure m sur la tribu borélienne et telle que β(g) = α(g) = g dm pour toute fonction borélienne bornée. Démonstration : en effet les fonctions boréliennes forment la classe monotone engendrée par C(X). 40 Remarques : a) on voit que C(X) n intervient que pour obtenir les fonctions boréliennes. On pourrait donc le remplacer par l espace des fonctions étagées sur une algèbre de Boole. b) les ensembles réguliers ne forment pas une tribu a priori. C est cependant le cas sous les hypothèses du théorème suivant. 41 Théorème de Riesz : soient X un espace métrique compact, et α une forme linéaire croissante sur C(X). Il existe une unique mesure m sur la tribu borélienne telle que pour toute ϕ C(X) on ait α(ϕ) = ϕdm 22

23 Démonstration : on fait le prolongement de Lebesgue : si f est s.c.i. (bornée ou non), on pose α(f) = sup { α(ϕ) / ϕ C(X), ϕ f }. Si g est bornée on pose α(g) = Inf { α(f) / f g, f s.c.i. }. Il est clair que α ainsi définie est sous-linéaire croissante. Or, le point b) se vérifie facilement si les g n sont s.c.i. On obtient en particulier α(f + g) = α(f) + α(g) pour des fonctions s.c.i. La seule difficulté réside dans le cas général. 42 Lemme de Beppo-Levi : soit g n une suite croissante, et soit f n une suite de fonctions s.c.i. telle que f n g n et α(f n ) α(g n ) + ε2 n. Alors la suite f n = Sup{f 1 nf 2,..., f n } satisfait à α(f n ) α(g n ) + ε(1 2 n ). Démonstration : on procède par récurrence : on a f n+1 = Sup(f n, f n+1 ). Posons f n+1 = Inf(f n, f n+1 ). On a f n+1 +f n+1 = f n +f n+1 α(f n+1)+α(f n+1) 2α(g n )+ε(1 2 n +2 n 1 ) d où le résultat puisque f n+1 g n. Pour le point b), on remplace la suite f n par la suite f n qui est croissante, soit f = Sup n f n, on a g f et On fait alors ε 0. α(g) α(f) = Sup n α(f n) Sup α(g n ) + ε n Il reste à prouver la formule : elle est vraie pour l extension de α aux indicatrices d ouverts, donc aussi pour ϕ continue. 43 Remarque : une fonction bornée g est régulière si et seulement s il existe deux fonctions boréliennes f et h telles que f g h et α(h g) = 0. On en déduit que les ensembles réguliers forment une tribu (remarquer que si g est régulière, g + = Sup(g, 0) l est aussi). Les fonctions régulières ne sont autres que les fonctions m-mesurables (et bornées). Application à la mesure de Lebesgue On prend X = [0, 1]. On pose α(f) = 1 f(x)dx (intégrale de Riemann) pour 0 f C(X), et l on applique le théorème de Riesz. 23

24 Théorème de Lusin Soient X un espace métrique, µ une mesure bornée sur la tribu borélienne de X. 44 Proposition : pour tout ensemble borélien B et tout ε > 0, il existe un fermé F et un ouvert G tels que F B G et tels que µ(g F ) < ε. Démonstration : comme B est régulier, il existe une suite croissante de fonctions g n 1 B s.c.s. telles que µ(g n ) converge vers µ(b), de sorte que g n converge presque partout vers 1 B. Posons F n = {g n 1/2}. Les F n forment une suite croissante de fermés, qui converge presque partout vers B. On a ainsi µ(b F n ) < ε/2 pour n assez grand. Appliquant cela au complémentaire de B, on trouve l ouvert G cherché. 45 Théorème de Lusin : soit f : X Y où Y est un espace métrique séparable. Si f est borélienne, il existe pour tout ε > 0 un fermé F tel que µ(x F ) < ε, et tel que la restriction de f à F soit continue. Démonstration : soit Y n une base d ouverts de Y. Les ensembles B n = {f Y n } sont boréliens, d où des fermés H n B n et des ouverts G n B n tels que µ(g n H n ) < ε2 n. Soit F le fermé complémentaire de l ouvert n (G n H n ). On a µ(x F ) < n ε2 n = ε. On a de plus F H n = F B n = F G n, de sorte que les F {f Y n } sont à la fois ouverts et fermés relativement à F, et f est continue relativement à F. FIN 24