Filtrage stochastique non linéaire par la théorie de représentation des martingales

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Filtrage stochastique non linéaire par la théorie de représentation des martingales"

Transcription

1 Filtrage stochastique non linéaire par la théorie de représentation des martingales Adriana Climescu-Haulica Laboratoire de Modélisation et Calcul Institut d Informatique et Mathématiques Appliquées de Grenoble 51, rue des Mathématiques, 3841-Grenoble cedex 9 France Résumé A partir de l étude d une équation de filtrage associée à un bruit modélisé par une infinité des mouvements browniens généralisés, on montre qu une condition suffisante pour l existence d une forme explicite de l estimateur du signal au sens des moindres carrés est l équivalence des mesures induites par le signal observé et le bruit. On montre que l estimateur admet une représentation en fonction de la dérivée de Radon-Nikodym des deux mesures. En utilisant un théorème de représentation des martingales et l orthogonalité des polynômes de Hermite par rapport à la mesure gaussienne, on construit son approximation en moyenne quadratique. On obtient ainsi un algorithme d extraction du signal par un filtre non linéaire. Mots clés: filtrage stochastique, processus d innovation, martingales, polynômes de Hermite Abstract Based on the study of a filtering equation associated with a noise modelled by an infinity of generalized Brownian motions, it is shown that a sufficient condition for the existence of an explicit form for the least mean square estimator of the signal is the equivalence of the measures induced by the observation and the noise. It is shown that the estimator admits a representation depending on the Radon-Nikodym derivative of the two measures. Its approximation on quadratic mean is built by means of a martingales representation theorem and the orthogonality of Hermite polynomials with respect to the Gaussian measure. Hence, an algorithm of signal extraction by a non linear filter is done. Keywords: stochastic filtering, innovation process, martingales, Hermite polynomials 1 Introduction Un cas particulier de la théorie du filtrage non linéaire est celui où l observation, le bruit et le signal à estimer sont liés par une équation différentielle stochastique, soit Z ω, t) = Σ B dx) S ω, u) + B ω, t), t [, 1] 1

2 B = B 1, B 2,...) : Ω [, 1] IR est le processus stochastique modélisant le bruit, dont les composantes sont des mouvements browniens généralisés indépendants. Chaque B n, t), t [, 1], suit une loi normale N, β n t)), où β n est une fonction monotone non décroissante et continue. β n désigne aussi la mesure induite sur [, 1] par la fonction de même sigle. Σ B = diag β 1, β 2,...) représente la matrice de covariance de B. L observation est modélisée par le processus Z : Ω [, 1] IR, et le signal transmis par le processus S : Ω [, 1] IR. B, Z et S sont des processus définis sur Ω, A, P ), un espace de probabilité qui a été enrichi d une filtration notée A = {A t A, t [, 1]}. La particularité de l approche est qu on ne peut pas supposer, pour A, que les conditions habituelles sont satisfaites. 1 En généralisant un résultat classique de filtrage stochastique donné par Mémin 1974) pour le mouvement brownien standard, on peut montrer que E [S, t) σ t Z)] = ŜZ, ), t) P p.s. est l estimateur de S, t) au sens des moindres carrés et qu il satisfait une équation différentielle stochastique qui n est pas de type Itô, Z, t) = Σ B dx) Ŝ Z, ), u) + BZ, t), P p.s. 1) car Ŝ dépend du passé. Cette équation est appelée équation de filtrage, BZ, t) étant un processus d innovation. C est l existence d un tel processus qui fait l objet de l étude de l équation de filtrage. Dans la section suivante on montre qu une condition suffisante pour qu un tel processus existe est l existence de la fonction de vraisemblance entre la mesure induite par le signal reçu et celle induite par le bruit. A partir de ce résultat, on donne une procédure de construction d une approximation en moyenne quadratique pour Ŝ, en utilisant le lien entre la mesure gaussienne et les polynômes de Hermite. 2 La fondation analytique G désigne l ensemble des trajectoires des processus B et Z qui est soit C[, 1], le produit d une famille dénombrable de copies de C[, 1], muni de la distance min { 1, sup t [,1] c i 1t) c i 2t) } δc 1, c 2 ) =, i=1 2 i soit C [, 1]; l 2 ), l ensemble des fonctions continues c : [, 1] l 2 muni de la distance c 1, c 2 ) = sup t [,1] c 1 t) c 2 t) l2. G désigne l ensemble des boréliens de G. Soit H, H), 1 Les raisons sont analogues à celles invoquées par Von Weizsäker et G. Winkler 199) car les résultats à obtenir ici sont basés sur l obtention de vraisemblances. De plus, sur les espaces de trajectoires, les tribus naturelles ne sont pas, a priori, continues à droite. 2

3 l espace mesurable associé, selon le cas, soit à H = IR IN, soit à H = l 2. On note d H la distance naturelle de H. ev t : G H est l évaluation définie par ev t g) = g t) H. Si P X est la loi sur G induite par un processus X, on obtient, par rapport à cette loi, un processus { ev X t, t [, 1] }, à partir de la relation, valable pour des boréliens H i H, 1 i n Définition P X g G : ev X t i g) H i, 1 i n ) = P ω Ω : X ω, t i ) H i, 1 i n). Une solution faible de l équation 1) est un couple P W, W ) tel que P W soit une probabilité sur G, G), et W soit un mouvement brownien généralisé relativement à G, G, G, P W ), de variance Σ B, qui ait la propriété que, presque sûrement, relativement à P W, On définit ev P W g, t) = Σ B dx) f g, x) + W g, t). L 2 [ β ] = { f = f 1, f 2,...) : [, 1] IR, n=1 1 } fnx)β 2 n dx) <. Soit N PB G) la famille des ensembles de G qui sont négligeables relativement à P B. G P B t désigne alors la tribu engendrée par G t et N PB G). On dispose alors du lemme suivant. Lemme La filtration G P B est continue à droite. Démonstration: G est la filtration naturelle du processus d évaluation ev. Par rapport à P B, ce processus est un mouvement brownien, et donc fortement markovien, d après Von Weizsäker et G. Winkler 199). La continuité à droite de la filtration augmentée G P B est une conséquence de la proprieté de Markov. Proposition Soit Z un processus à trajectoires dans G, défini sur la base Ω, A, A, P ), tel que P Z et P B soient équivalentes. Il existe alors un processus progressivement mesurable Ŝ, défini sur la base ) G, G P B, G P B, P Z, et un mouvement brownien généralisé W Z, défini sur la base Ω, σ 1 Z), σ Z), P ), de covariance Σ B, tels que l on ait, presque sûrement, relativement à P, et Z, t) = Σ B dx) Ŝ Z, ), x) + W Z, t), 2) P B g G : Ŝ g, ) 2 L 2[ β ] < ) = P Z g G : Ŝ g, ) 2 L 2[ β ] < ) = 1. 3

4 Démonstration: La filtration G PB étant continue à droite, la martingale E PB [ dpz dp B ] G P B t a une modification M t continue à droite d après Von Weizsäker et G. Winkler 199). Le théorème de représentation des martingales d une filtration brownienne dans la version obtenue par l auteur 1999) assure alors que M g, t) = 1 + où h est un processus prévisible pour G P B, tel que h g, x), ev B g, dx), P B g G : h g, ) 2 L 2[β] < ) = 1. La notation, désigne l intégrale stochastique par rapport à une infinité de mouvements browniens généralisés. Cette représentation entraîne que M est un processus continu à droite, et presque sûrement continu, relativement à P B. Soit T g) = inf {t [, 1] : {M g, t) = } ou {M g, t ) = }}. M a, presque sûrement, relativement à P B des trajectoires sur [T, 1] qui sont nulles. Mais, à cause de l hypothèse d équivalence, M 1 >, presque sûrement, relativement à P B. On a donc que P B g G : inft [,1] M g, t) > ) = 1. L expression ln [M t ] a ainsi un sens, presque sûrement, relativement à P B. Une version adéquate de la formule d Itô permet alors d écrire soit On définit alors et on a que ln [M t ] = h g, x) M g, x), evp B g, dx) 1 2 I h g, ) 2 [,t], M g, ) L 2[β] h g, x) M g, t) = exp M g, x), evp B g, dx) I h g, ) [,t] M g, ). L 2[β] Ŝ g, ) 2 L 2[ β ] = i=1 1 Ŝ g, t) = h g, t) M g, t) h 2 ) i g, x) M 2 g, x) dβ ix) 1/ inf M 2 g, t) h g, ) 2 t [,1] L 2[ β ]. 4

5 On obtient ainsi l égalité P B g G : f g, ) 2 L 2[β] < ) = 1, et dans cette dernière relation, on peut remplacer P B par P Z, puisque ces mesures sont équivalentes. Cette propriété de P Z, et le fait d avoir E PB [M, 1)] = 1, assurent conformément à un résultat de la thèse 1999), qu il existe une solution faible unique de l équation Z, t) = On pose alors, sur la base G, G P B, G P B, P B ), Σ B dx) Ŝ Z, ), x) + B, t). P W dg) = M g, 1) P B dg), W g, x) = Σ B dx) Ŝ g, x) + evb g, t). Le théorème de Girsanov dit que W est, relativement à P W, un mouvement brownien généralisé, de covariance Σ B. M, 1) étant une version de la dérivée dp Z /dp B, P W = P Z. La démonstration est complète si l on pose W Z = W Z. Note: On peut montrer que si l hypothèse P Z P B est satisfaite, alors il existe un processus Ŝ et un mouvement brownien W Z verifiant l equation 2) et tel que P Z g G : Ŝ g, ) 2 L 2[β] < ) = 1. 3 Une approximation en moyenne quadratique Soit Q un sous ensemble dénombrable et dense de [, 1] qui contient s =. On désigne par Q l = {s = < s 1 < s 2 <... s l } le sous ensemble de Q contenant les premiers l +1 éléments et par F l la tribu engendrée par la famille {B n s i ) B n s j ), i, j = 1, 2,..., l, n IN }. Soit L 2 [F l, P ] l ensemble des processus F l -mesurables et de carré P-intégrable. Le théorème suivant donne une procédure de construction d une approximation en moyenne quadratique pour Ŝ, l estimateur du signal transmis. C est un algorithme d extraction du signal par un filtre non linéaire. On introduit la famille des polynômes de Hermite définis par où k IN, t [, T ] et z IR. Théorème H k t, z) = 1 ) ) z 2 k z 2 k! t)k exp 2t z exp, k 2t Sous les hypothèses de la Proposition précédente, le processus Ŝ est la limite en moyenne quadratique d une suite des processus Ŝl L 2 [F l, P ] définis par Ŝ l ω, t) = h ) lω, t) h 1 Mω, t) = l ω, t) Mω, t), h2 l ω, t) Mω, t),..., hn l ω, t) Mω, t),... 5

6 où pour t [s j 1, s j ) avec h n l ω, t) = a k,l φ n k,jω, t), k=k 1,k 2,...,k l ):maxi k i >)=j) φ n k,jω, t) = G n k,jh kj,n 1 β n t) β n s j 1 ), B n ω, t) B n ω, s j 1 )) i n H kj,i β i t) β i s j 1 ), B n ω, t) B n ω, s j 1 )), G n k,j étant des variables aléatoires définies par G n k,j = j 1 q=1 et a k,l des scalaires obtenus par H kq,n β n s q ) β n s q 1 ), B n, s q ) B n, s q 1 )) [ ] l l a k,l = E M, t) 1) H ki,n β n s i ) β n s i 1 ), B n, s i ) B n, s i 1 )). n=1 i=1 Démonstration: Par la Proposition précédente il suffit de montrer que la suite X l, t) = 1 + h l, u), B, du) converge en moyenne quadratique vers M, t) quand l. Cela découle du fait que pour l IN et s i [, 1], i = 1, 2,..., l fixés, la famille des variables aléatoires { l } l H ki,n β n s i ) β n s i 1 ), B n, s i ) B n, s i 1 )), k = k i ) 1 i l IN l n=1 i=1 forme un système orthogonal complet dans l espace L 2 [F l, P ]. Bibliographie [1] Climescu-Haulica, A. 1999) Calcul stochastique appliqué aux problèmes de détection des signaux aléatoires, thèse, Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne [2] Mémin, J. 1974) Sur quelques problèmes fondamentaux de la théorie du filtrage, thèse, Université de Rennes [3] Von Weizsäker, H. et Winkler, G. 199) Stochastic Integrals, Vieweg, Wiesbaden 6

Master Modélisation Statistique M2 Finance - chapitre 4 Mouvement Brownien et modèle de Black-Scholes

Master Modélisation Statistique M2 Finance - chapitre 4 Mouvement Brownien et modèle de Black-Scholes Master Modélisation Statistique M2 Finance - chapitre 4 Mouvement Brownien et modèle de Black-Scholes Clément Dombry, Laboratoire de Mathématiques de Besançon, Université de Franche-Comté. C.Dombry (Université

Plus en détail

Modèles structurels. Chapitre 4. 4.1 Modèle de Merton

Modèles structurels. Chapitre 4. 4.1 Modèle de Merton Chapitre 4 Modèles structurels 4.1 Modèle de Merton L idée principale de modèles structurels est basée sur l article fondateur de Merton [?], où un défaut est provoqué quand une entreprise n arrive pas

Plus en détail

Le modèle de Black et Scholes

Le modèle de Black et Scholes Le modèle de Black et Scholes Alexandre Popier février 21 1 Introduction : exemple très simple de modèle financier On considère un marché avec une seule action cotée, sur une période donnée T. Dans un

Plus en détail

Séminaire TEST. 1 Présentation du sujet. October 18th, 2013

Séminaire TEST. 1 Présentation du sujet. October 18th, 2013 Séminaire ES Andrés SÁNCHEZ PÉREZ October 8th, 03 Présentation du sujet Le problème de régression non-paramétrique se pose de la façon suivante : Supposons que l on dispose de n couples indépendantes de

Plus en détail

Modèles stochastiques et applications à la finance

Modèles stochastiques et applications à la finance 1 Université Pierre et Marie Curie Master M1 de Mathématiques, 2010-2011 Modèles stochastiques et applications à la finance Partiel 25 Février 2011, Durée 2 heures Exercice 1 (3 points) On considère une

Plus en détail

Probabilités. I- Expérience aléatoire, espace probabilisé : ShotGun. 1- Définitions :

Probabilités. I- Expérience aléatoire, espace probabilisé : ShotGun. 1- Définitions : Probabilités I- Expérience aléatoire, espace probabilisé : 1- Définitions : Ω : Ensemble dont les points w sont les résultats possibles de l expérience Des évènements A parties de Ω appartiennent à A une

Plus en détail

Intégrale stochastique

Intégrale stochastique Intégrale stochastique Plan L intégrale stochastique générale Intégrale de Wiener Exemples Processus d Itô Formule d Itô Formule de Black & Scholes Le processus B est un mouvement Brownien et { Ft B,t

Plus en détail

Continuité d une fonction de plusieurs variables

Continuité d une fonction de plusieurs variables Chapitre 2 Continuité d une fonction de plusieurs variables Maintenant qu on a défini la notion de limite pour des suites dans R n, la notion de continuité s étend sans problème à des fonctions de plusieurs

Plus en détail

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé 2012-2013 1 Petites questions 1 Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? Réponse : Non, car le complémentaire de ], 0[ n est pas ouvert.

Plus en détail

Équation de Langevin avec petites perturbations browniennes ou

Équation de Langevin avec petites perturbations browniennes ou Équation de Langevin avec petites perturbations browniennes ou alpha-stables Richard Eon sous la direction de Mihai Gradinaru Institut de Recherche Mathématique de Rennes Journées de probabilités 215,

Plus en détail

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés 2012-2013 1 Petites questions 1) Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? 2) Si F et G sont deux tribus, est-ce que F G est toujours une tribu?

Plus en détail

Master Modélisation Statistique M2 Finance - chapitre 3 Modèles financiers discrets

Master Modélisation Statistique M2 Finance - chapitre 3 Modèles financiers discrets Master Modélisation Statistique M2 Finance - chapitre 3 Modèles financiers discrets Clément Dombry, Laboratoire de Mathématiques de Besançon, Université de Franche-Comté. C.Dombry (Université de Franche-Comté)

Plus en détail

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion

Plus en détail

Tests non-paramétriques de non-effet et d adéquation pour des covariables fonctionnelles

Tests non-paramétriques de non-effet et d adéquation pour des covariables fonctionnelles Tests non-paramétriques de non-effet et d adéquation pour des covariables fonctionnelles Valentin Patilea 1 Cesar Sanchez-sellero 2 Matthieu Saumard 3 1 CREST-ENSAI et IRMAR 2 USC Espagne 3 IRMAR-INSA

Plus en détail

TD2 Fonctions mesurables Corrigé

TD2 Fonctions mesurables Corrigé Intégration et probabilités 2012-2013 TD2 Fonctions mesurables Corrigé 0 Exercice qui avait été préparé chez soi Exercice 1. Soit (Ω, F, µ) un espace mesuré tel que µ (Ω) = 1. Soient A, B P (Ω) deux sousensembles

Plus en détail

Théorie du chaos multiplicatif et application à l étude de la mesure MRM lognormale. 15 novembre 2010

Théorie du chaos multiplicatif et application à l étude de la mesure MRM lognormale. 15 novembre 2010 Théorie du chaos multiplicatif et application à l étude de la mesure MRM lognormale 15 novembre 2010 Table des matières 1 Rappel sur les Processus Gaussiens 2 Théorie du chaos multiplicatif gaussien de

Plus en détail

Texte Agrégation limitée par diffusion interne

Texte Agrégation limitée par diffusion interne Page n 1. Texte Agrégation limitée par diffusion interne 1 Le phénomène observé Un fût de déchets radioactifs est enterré secrètement dans le Cantal. Au bout de quelques années, il devient poreux et laisse

Plus en détail

Introduction à la modélisation financière en temps continue & Calcul Stochastique

Introduction à la modélisation financière en temps continue & Calcul Stochastique Introduction à la modélisation financière en temps continue & Calcul Stochastique Mireille Bossy INRIA pour le MASTER IMAFA à Polytech Nice Sophia Antipolis 16 novembre 213 2 Cours de maths financières

Plus en détail

Limites finies en un point

Limites finies en un point 8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,

Plus en détail

Image d un intervalle par une fonction continue

Image d un intervalle par une fonction continue DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction

Plus en détail

Outils d analyse fonctionnelle Cours 5 Théorie spectrale

Outils d analyse fonctionnelle Cours 5 Théorie spectrale Outils d analyse fonctionnelle Cours 5 Théorie spectrale 22 septembre 2015 Généralités Dans tout ce qui suit V désigne un espace de Hilbert réel muni d un produit scalaire x, y. Définition Soit A une application

Plus en détail

Le corps R des nombres réels

Le corps R des nombres réels Le corps R des nombres réels. Construction de R à l aide des suites de Cauchy de nombres rationnels On explique brièvement dans ce paragraphe comment construire le corps R des nombres réels à partir du

Plus en détail

Éléments spectraux d une fonction cyclostationnaire

Éléments spectraux d une fonction cyclostationnaire Éléments spectraux d une fonction cyclostationnaire Alain BOUDOU 1 & Sylvie VIGUIR-PLA 1 & 2 1 quipe de Stat. et Proba., Institut de Mathématiques, UMR5219 Université Paul Sabatier, 118 Route de Narbonne,

Plus en détail

Sommaire. Chapitre 1 Variables et vecteurs aléatoires... 5. Chapitre 2 Variables aléatoires à densité... 65

Sommaire. Chapitre 1 Variables et vecteurs aléatoires... 5. Chapitre 2 Variables aléatoires à densité... 65 Sommaire Chapitre 1 Variables et vecteurs aléatoires............... 5 A. Généralités sur les variables aléatoires réelles.................... 6 B. Séries doubles..................................... 9

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme

Plus en détail

Construction du Mouvement Brownien

Construction du Mouvement Brownien Chapitre 1 Construction du Mouvement Brownien 1 Un peu d histoire (voir [7] et [1]) Le nom de mouvement Brownien vient du botaniste Robert Brown. Brown n a pas découvert le mouvement brownien, car n importe

Plus en détail

Mouvement brownien et calcul stochastique

Mouvement brownien et calcul stochastique Université Pierre et Marie Curie 27-28 Master de Mathématiques Spécialité: Probabilités et Applications Mouvement brownien et calcul stochastique Jean Jacod Chapitre 1 Le mouvement brownien 1.1 Processus

Plus en détail

Remise à niveau en processus stochastiques

Remise à niveau en processus stochastiques M2IR Université Claude Bernard Lyon 1 Année universitaire 212-213 Remise à niveau en processus stochastiques F. Bienvenüe-Duheille Le but de ce poly est de vous mettre à niveau sur les processus stochastiques

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables

Plus en détail

Espaces vectoriels et applications

Espaces vectoriels et applications Espaces vectoriels et applications linéaires 1 Définitions On parle d espaces vectoriels sur le corps R ou sur le corps C. Les définitions sont les mêmes en substituant R à C ou vice versa. Définition

Plus en détail

Agrégation interne de Mathématiques. Session 2009. Deuxième épreuve écrite. (et CAERPA)

Agrégation interne de Mathématiques. Session 2009. Deuxième épreuve écrite. (et CAERPA) Agrégation interne de Mathématiques (et CAEPA Session 2009 Deuxième épreuve écrite 2 NOTATIONS ET PÉLIMINAIES On désigne par le corps des nombres réels et par C le corps des nombres complexes. Si f est

Plus en détail

1.1 Définitions... 2 1.2 Opérations élémentaires... 2 1.3 Systèmes échelonnés et triangulaires... 3

1.1 Définitions... 2 1.2 Opérations élémentaires... 2 1.3 Systèmes échelonnés et triangulaires... 3 Chapitre 5 Systèmes linéaires 1 Généralités sur les systèmes linéaires 2 11 Définitions 2 12 Opérations élémentaires 2 13 Systèmes échelonnés et triangulaires 3 2 Résolution des systèmes linéaires 3 21

Plus en détail

1.1 Prime d une option d achat dans le modèle de Cox, Ross et Rubinstein

1.1 Prime d une option d achat dans le modèle de Cox, Ross et Rubinstein 1 Examen 1.1 Prime d une option d achat dans le modèle de Cox, Ross et Rubinstein On considère une option à 90 jours sur un actif ne distribuant pas de dividende de nominal 100 francs, et dont le prix

Plus en détail

StatEnAction 2009/10/30 11:26 page 111 #127 CHAPITRE 10. Machines à sous

StatEnAction 2009/10/30 11:26 page 111 #127 CHAPITRE 10. Machines à sous StatEnAction 2009/0/30 :26 page #27 CHAPITRE 0 Machines à sous Résumé. On étudie un problème lié aux jeux de hasard. Il concerne les machines à sous et est appelé problème de prédiction de bandits à deux

Plus en détail

Chapitre 2 : Méthode de Monte-Carlo avec tirages indépendants, pour le calcul approché d une intégrale.

Chapitre 2 : Méthode de Monte-Carlo avec tirages indépendants, pour le calcul approché d une intégrale. Aix Marseille Université. Algorithmes Stochastiques. M MIS. Fabienne Castell... Chapitre : Méthode de Monte-Carlo avec tirages indépendants, pour le calcul approché d une intégrale. Le but de ce chapitre

Plus en détail

M A R T I N G A L E S

M A R T I N G A L E S EcoledesMinesdeSaint Etienne MARTINGALES SupportdeCours Janvier2009 OlivierRoustant 1 1. INTRODUCTION Une martingale est un processus aléatoire qui ne possède pas de partie prévisible relativement à l

Plus en détail

Chapitre IV Bases et dimension d un espace vectoriel

Chapitre IV Bases et dimension d un espace vectoriel Chapitre IV Bases et dimension d un espace vectoriel Objectif : Nous allons voir comment fabriquer des systèmes de coordonnées pour les vecteurs d un espace vectoriel général. Dans ce chapitre désigne

Plus en détail

Dérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema.

Dérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema. Chapitre 5 Dérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema. On s intéresse dans ce chapitre aux dérivées d ordre ou plus d une fonction de plusieurs variables. Comme pour une fonction d une

Plus en détail

ALEATOIRE - Les enjeux du cours de Probabilités en première année de l Ecole Polytechnique

ALEATOIRE - Les enjeux du cours de Probabilités en première année de l Ecole Polytechnique ALEATOIRE - Les enjeux du cours de Probabilités en première année de l Ecole Polytechnique Télécom ParisTech, 09 mai 2012 http://www.mathematiquesappliquees.polytechnique.edu/ accueil/programmes/cycle-polytechnicien/annee-1/

Plus en détail

Intégration et probabilités 2012-2013. TD3 Intégration, théorèmes de convergence Corrigé. 1 Petites questions. n hésitez pas à m envoyer un mail à

Intégration et probabilités 2012-2013. TD3 Intégration, théorèmes de convergence Corrigé. 1 Petites questions. n hésitez pas à m envoyer un mail à Intégration et probabilités 212-213 TD3 Intégration, théorèmes de convergence Corrigé xercice ayant été voué à être préparé xercice 1 (Mesure image). Soient (, A, µ) un espace mesuré, (F, B) un espace

Plus en détail

Master Modélisation Statistique M2 Finance - chapitre 1. Gestion optimale de portefeuille, l approche de Markowitz

Master Modélisation Statistique M2 Finance - chapitre 1. Gestion optimale de portefeuille, l approche de Markowitz Master Modélisation Statistique M2 Finance - chapitre 1 Gestion optimale de portefeuille, l approche de Markowitz Clément Dombry, Laboratoire de Mathématiques de Besançon, Université de Franche-Comté.

Plus en détail

Jeux à somme nulle : le cas fini

Jeux à somme nulle : le cas fini CHAPITRE 2 Jeux à somme nulle : le cas fini Les jeux à somme nulle sont les jeux à deux joueurs où la somme des fonctions de paiement est nulle. Dans ce type d interaction stratégique, les intérêts des

Plus en détail

Support du cours de Probabilités IUT d Orléans, Département d informatique

Support du cours de Probabilités IUT d Orléans, Département d informatique Support du cours de Probabilités IUT d Orléans, Département d informatique Pierre Andreoletti IUT d Orléans Laboratoire MAPMO (Bât. de Mathématiques UFR Sciences) - Bureau 126 email: pierre.andreoletti@univ-orleans.fr

Plus en détail

5. Options américaines Une option américaine peut être exercée à n importe quelle instant compris entre

5. Options américaines Une option américaine peut être exercée à n importe quelle instant compris entre 5. Options américaines Une option américaine peut être exercée à n importe quelle instant compris entre 0 et l échéance N. Définition 5.1. Une option américaine est définie par une suite (h n ) n=0..n,

Plus en détail

Résume du cours de Mécanique Analytique

Résume du cours de Mécanique Analytique Résume du cours de Mécanique Analytique jean-eloi.lombard@epfl.ch 22 janvier 2009 Table des matières 1 Équations de Lagrange 1 1.1 Calcul des variations....................... 3 1.2 Principe de moindre

Plus en détail

Espérance conditionnelle

Espérance conditionnelle Espérance conditionnelle Samy Tindel Nancy-Université Master 1 - Nancy Samy T. (IECN) M1 - Espérance conditionnelle Nancy-Université 1 / 58 Plan 1 Définition 2 Exemples 3 Propriétés de l espérance conditionnelle

Plus en détail

Introduction aux modèles financiers

Introduction aux modèles financiers Notes pour le module spécifique Introduction aux modèles financiers Ecole Centrale de Lyon Option Mathématiques 1 2 Introduction Quelques références Pour comprendre les marchés financiers, avoir un apreçu

Plus en détail

Méthodes avancées en décision

Méthodes avancées en décision Méthodes avancées en décision Support vector machines - Chapitre 2 - Principes MRE et MRS Principe MRE. Il s agit de minimiser la fonctionnelle de risque 1 P e (d) = y d(x;w, b) p(x, y) dxdy. 2 La densité

Plus en détail

PROCESSUS ALEATOIRES :

PROCESSUS ALEATOIRES : EcoledesMinesdeSaint Etienne PROCESSUSALEATOIRES: MARTINGALES,MOUVEMENTBROWNIEN,CALCULSTOCHASTIQUE Exercices Janvier2009 OlivierRoustant Processusaléatoires,calculstochastique:exercicesENSM SE2009 MOUVEMENTBROWNIEN

Plus en détail

Calculs approchés d un point fixe

Calculs approchés d un point fixe M11 ÉPREUVE COMMUNE DE TIPE 2013 - Partie D TITRE : Calculs approchés d un point fixe Temps de préparation :.. 2 h 15 minutes Temps de présentation devant les examinateurs :.10 minutes Dialogue avec les

Plus en détail

La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1

La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1 La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1 La licence Mathématiques et Economie-MASS de l Université des Sciences Sociales de Toulouse propose sur les trois

Plus en détail

Fouille de Données et Media Sociaux Cours 2 Master DAC Data Science UPMC - LIP6

Fouille de Données et Media Sociaux Cours 2 Master DAC Data Science UPMC - LIP6 Fouille de Données et Media Sociaux Cours 2 Master DAC Data Science UPMC - LIP6 Ludovic Denoyer 21 septembre 2015 Ludovic Denoyer () FDMS 21 septembre 2015 1 / 1 Contexte Observation La plupart des bonnes

Plus en détail

TS. 2012/2013. Lycée Prévert. Corrigé du contrôle n 3. Durée : 3 heures. Mardi 20/11/12

TS. 2012/2013. Lycée Prévert. Corrigé du contrôle n 3. Durée : 3 heures. Mardi 20/11/12 TS. 01/013. Lycée Prévert. Corrigé du contrôle n 3. Durée : 3 heures. Mardi 0/11/1 Exercice 1 : ( 6,5 pts) Première partie : Démonstration à rédiger { Démontrer que si ( ) et (v n ) sont deux suites telles

Plus en détail

1 Sujets donnés en option scientifique

1 Sujets donnés en option scientifique Les sujets suivants, posés aux candidats des options scientifique, économique, technologique et littéraire BL constituent la première version d un échantillon des sujets proposés lors des épreuves orales

Plus en détail

Mathématiques financières

Mathématiques financières Mathématiques financières Arnaud Triay Table des matières 1 Introduction Position du problème.1 Pricing des options........................................... Formalisme..............................................

Plus en détail

Rédigé par un élève de Terminale S à l'aide de ses livres de maths (Indice, Bordas), ses cours, toute sa peine, et son stress pour le bac! J.

Rédigé par un élève de Terminale S à l'aide de ses livres de maths (Indice, Bordas), ses cours, toute sa peine, et son stress pour le bac! J. Rédigé par un élève de Terminale S à l'aide de ses livres de maths (Indice, Bordas), ses cours, toute sa peine, et son stress pour le bac! J. FAIVRE s de cours exigibles au bac S en mathématiques Enseignement

Plus en détail

TD 4 : HEC 2001 épreuve II

TD 4 : HEC 2001 épreuve II TD 4 : HEC 200 épreuve II Dans tout le problème, n désigne un entier supérieur ou égal à 2 On dispose de n jetons numérotés de à n On tire, au hasard et sans remise, les jetons un à un La suite (a, a 2,,

Plus en détail

Cours de terminale S Suites numériques

Cours de terminale S Suites numériques Cours de terminale S Suites numériques V. B. et S. B. Lycée des EK 13 septembre 2014 Introduction Principe de récurrence Exemple En Mathématiques, un certain nombre de propriétés dépendent d un entier

Plus en détail

Processus aléatoires avec application en finance

Processus aléatoires avec application en finance Genève, le 16 juin 2007. Processus aléatoires avec application en finance La durée de l examen est de deux heures. N oubliez pas d indiquer votre nom et prénom sur chaque feuille. Toute documentation et

Plus en détail

CONCOURS D ENTREE A L ECOLE DE 2007 CONCOURS EXTERNE. Cinquième épreuve d admissibilité STATISTIQUE. (durée : cinq heures)

CONCOURS D ENTREE A L ECOLE DE 2007 CONCOURS EXTERNE. Cinquième épreuve d admissibilité STATISTIQUE. (durée : cinq heures) CONCOURS D ENTREE A L ECOLE DE 2007 CONCOURS EXTERNE Cinquième épreuve d admissibilité STATISTIQUE (durée : cinq heures) Une composition portant sur la statistique. SUJET Cette épreuve est composée d un

Plus en détail

Une caractérisation des lois de Wishart en dimension finie ou infinie

Une caractérisation des lois de Wishart en dimension finie ou infinie Une caractérisation des lois de Wishart en dimension finie ou infinie Gabriel Fraisse et Sylvie Viguier-Pla Université de Perpignan, IUT, Domaine d Auriac, Carcassonne Laboratoire de Statistique et Probabilités,

Plus en détail

1 La formule de Black et Scholes en t discret

1 La formule de Black et Scholes en t discret Université de Provence Préparation Agrégation Epreuve de Modélisation, Option Proba. Texte : La formule de Black Scholes en Finance Étienne Pardoux 1 La formule de Black et Scholes en t discret On suppose

Plus en détail

Quelques modèles financiers utilisant les EDSR et EDSPR avec grossissement de filtration

Quelques modèles financiers utilisant les EDSR et EDSPR avec grossissement de filtration Quelques modèles financiers utilisant les EDSR et EDSPR avec grossissement de filtration Anne EYRAUD-LOISEL ISFA, Université Lyon 1 Séminaire Lyon - Le Mans 3 Mai 2012, Le Mans 1 / 40 Outline 1 Problèmes

Plus en détail

I. Polynômes de Tchebychev

I. Polynômes de Tchebychev Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire

Plus en détail

ORDRE DE RÉACTION : MÉTHODES DE

ORDRE DE RÉACTION : MÉTHODES DE ORDRE DE RÉACTION : MÉTHODES DE RÉSOLUTION Table des matières 1 Méthodes expérimentales 2 1.1 Position du problème..................................... 2 1.2 Dégénérescence de l ordre...................................

Plus en détail

Chapitre 5: Opérateurs dans les espaces de Hilbert. Notions d opérateur adjoint

Chapitre 5: Opérateurs dans les espaces de Hilbert. Notions d opérateur adjoint Chapitre 5: Opérateurs dans les espaces de Hilbert. Notions d opérateur adjoint 18 mars 2008 1 Généralités sur les opérateurs 1.1 Définitions Soient H et H deux espaces de Hilbert sur C. Définition 1.1

Plus en détail

Licence de Sciences et Technologies. Fiche de cours 1 - Nombres réels.

Licence de Sciences et Technologies. Fiche de cours 1 - Nombres réels. Licence de Sciences et Technologies EM21 - Analyse Fiche de cours 1 - Nombres réels. On connaît les ensembles suivants, tous munis d une addition, d une multiplication, et d une relation d ordre compatibles

Plus en détail

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........

Plus en détail

Chapitre IV : Couples de variables aléatoires discrètes

Chapitre IV : Couples de variables aléatoires discrètes UNIVERSITÉ DE CERG Année 0-03 UFR Économie & Gestion Licence d Économie et Gestion MATH0 : Probabilités Chapitre IV : Couples de variables aléatoires discrètes Généralités Définition Soit (Ω, P(Ω), P)

Plus en détail

Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire

Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la Programmation Linéaire. 5 . Introduction Un programme linéaire s'écrit sous la forme suivante. MinZ(ou maxw) =

Plus en détail

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)

Plus en détail

Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues

Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues Département de Mathématiques École polytechnique Remise en forme mathématique 2013 Suite de Cauchy Soit (X, d) un espace métrique. Une suite

Plus en détail

M2 IAD UE MODE Notes de cours (3)

M2 IAD UE MODE Notes de cours (3) M2 IAD UE MODE Notes de cours (3) Jean-Yves Jaffray Patrice Perny 16 mars 2006 ATTITUDE PAR RAPPORT AU RISQUE 1 Attitude par rapport au risque Nousn avons pas encore fait d hypothèse sur la structure de

Plus en détail

Queue de la solution stationnaire d un modèle auto-régressif d ordre 1 à coefficients markoviens.

Queue de la solution stationnaire d un modèle auto-régressif d ordre 1 à coefficients markoviens. . Queue de la solution stationnaire d un modèle auto-régressif d ordre 1 à coefficients markoviens. Benoîte de Saporta Université de Nantes Université de Nantes - 9 juin 2005 p. 1/37 Plan de l exposé 1.

Plus en détail

Simulation de variables aléatoires

Simulation de variables aléatoires Simulation de variables aléatoires S. Robin INA PG, Biométrie Décembre 1997 Table des matières 1 Introduction Variables aléatoires discrètes 3.1 Pile ou face................................... 3. Loi de

Plus en détail

Probabilités 5. Simulation de variables aléatoires

Probabilités 5. Simulation de variables aléatoires Probabilités 5. Simulation de variables aléatoires Céline Lacaux École des Mines de Nancy IECL 27 avril 2015 1 / 25 Plan 1 Méthodes de Monte-Carlo 2 3 4 2 / 25 Estimation d intégrales Fiabilité d un système

Plus en détail

Cahier de textes Page 1 sur 9. Cahier de textes

Cahier de textes Page 1 sur 9. Cahier de textes Cahier de textes Page 1 sur 9 Cahier de textes Jeudi 04/09/2014 9h-12h et 13h30-16h30 : Cours sur la logique : - Conjonction, disjonction, implication, équivalence - Quelques formules. - Quantificateurs

Plus en détail

Notes de cours L1 MATH120. Hervé Le Dret

Notes de cours L1 MATH120. Hervé Le Dret Notes de cours L1 MATH120 Hervé Le Dret 18 octobre 2004 40 Chapitre 3 Vecteurs dans R m Dans ce chapitre, nous allons nous familiariser avec la notion de vecteur du point de vue algébrique. Nous reviendrons

Plus en détail

Calcul différentiel sur R n Première partie

Calcul différentiel sur R n Première partie Calcul différentiel sur R n Première partie Université De Metz 2006-2007 1 Définitions générales On note L(R n, R m ) l espace vectoriel des applications linéaires de R n dans R m. Définition 1.1 (différentiabilité

Plus en détail

Mathématiques pour l informatique. - Soutien - 1 Nombres complexes. 2 Suites. Exercice 1. (Nombres complexes) Soit le nombre complexe z = (2 + 2i) 7.

Mathématiques pour l informatique. - Soutien - 1 Nombres complexes. 2 Suites. Exercice 1. (Nombres complexes) Soit le nombre complexe z = (2 + 2i) 7. Mathématiques pour l informatique IMAC première année - Soutien - Nombres complexes Rappels. Un nombre complexe z admet plusieurs représentations : représentation vectorielle z = (a, b) où a, b R représentation

Plus en détail

À propos des matrices échelonnées

À propos des matrices échelonnées À propos des matrices échelonnées Antoine Ducros appendice au cours de Géométrie affine et euclidienne dispensé à l Université Paris 6 Année universitaire 2011-2012 Introduction Soit k un corps, soit E

Plus en détail

Résolution d équations non linéaires

Résolution d équations non linéaires Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique

Plus en détail

3. Conditionnement P (B)

3. Conditionnement P (B) Conditionnement 16 3. Conditionnement Dans cette section, nous allons rappeler un certain nombre de définitions et de propriétés liées au problème du conditionnement, c est à dire à la prise en compte

Plus en détail

Introduction à la simulation de Monte Carlo

Introduction à la simulation de Monte Carlo Introduction à la simulation de 6-601-09 Simulation Geneviève Gauthier HEC Montréal e 1 d une I Soit X 1, X,..., X n des variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées. Elles sont obtenues

Plus en détail

Chapitre 7. Statistique des échantillons gaussiens. 7.1 Projection de vecteurs gaussiens

Chapitre 7. Statistique des échantillons gaussiens. 7.1 Projection de vecteurs gaussiens Chapitre 7 Statistique des échantillons gaussiens Le théorème central limite met en évidence le rôle majeur tenu par la loi gaussienne en modélisation stochastique. De ce fait, les modèles statistiques

Plus en détail

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON MATHEMATIQUES I

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON MATHEMATIQUES I CHAMBRE DE COMMERCE ET D INDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE L ENSEIGNEMENT Direction des Admissions et concours ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON CONCOURS

Plus en détail

Master IMEA 1 Calcul Stochastique et Finance Feuille de T.D. n o 1

Master IMEA 1 Calcul Stochastique et Finance Feuille de T.D. n o 1 Master IMEA 1 Calcul Stochastique et Finance Feuille de T.D. n o 1 1. a. On considère un modèle de marché (B, S) à une étape. On suppose que S = 5 C et qu à la date t = 1 on a (S u 1 = 51, S d 1 = 48).

Plus en détail

Théorème de Rolle et égalité des accroissements finis. Applications

Théorème de Rolle et égalité des accroissements finis. Applications 0 Théorème de Rolle et égalité des accroissements finis. Applications 0. Le théorème de Rolle sur un espace vectoriel normé Pour ce paragraphe, on se donne un espace vectoriel normé (E, ). Le théorème

Plus en détail

Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles

Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles Denis Vekemans R n est muni de l une des trois normes usuelles. 1,. 2 ou.. x 1 = i i n Toutes les normes de R n sont équivalentes. x i ; x 2

Plus en détail

TRAVAUX DIRIGÉS DE l UE MNBif. Informatique 3A MÉTHODES NUMÉRIQUES DE BASE. 2015-2016, Automne. N. Débit & J. Bastien

TRAVAUX DIRIGÉS DE l UE MNBif. Informatique 3A MÉTHODES NUMÉRIQUES DE BASE. 2015-2016, Automne. N. Débit & J. Bastien TRAVAUX DIRIGÉS DE l UE MNBif Informatique 3A MÉTHODES NUMÉRIQUES DE BASE 2015-2016, Automne N. Débit & J. Bastien Document compilé le 13 novembre 2015 Liste des Travaux Dirigés Avant-propos iii Travaux

Plus en détail

Distributions bayésiennes nonparamétriques sur les matrices binaires triangulaires infinies : Applications aux modèles graphiques

Distributions bayésiennes nonparamétriques sur les matrices binaires triangulaires infinies : Applications aux modèles graphiques Distributions bayésiennes nonparamétriques sur les matrices binaires triangulaires infinies : Applications aux modèles graphiques Patrick Dallaire Université Laval Département d informatique et de génie

Plus en détail

Modélisation stochastique et analyse de données

Modélisation stochastique et analyse de données Modélisation stochastique et analyse de données Formation FIL - Année 1 Régression par la méthode des moindres carrés 2011/2012 Tony Bourdier Modélisation stochastique et analyse de données 1 / 25 Plan

Plus en détail

Résumé des communications des Intervenants

Résumé des communications des Intervenants Enseignements de la 1ere semaine (du 01 au 07 décembre 2014) I. Titre du cours : Introduction au calcul stochastique pour la finance Intervenante : Prof. M hamed EDDAHBI Dans le calcul différentiel dit

Plus en détail

Simulations des Grecques : Malliavin vs Différences finies

Simulations des Grecques : Malliavin vs Différences finies 0.1. LES GRECQUES 1 Simulations des Grecques : iavin vs Différences finies Christophe Chorro Ce petit document vise à illustrer de manière numérique les techniques présentées lors du mini cours sur le

Plus en détail

Agrégation externe de mathématiques, session 2013 Épreuve de modélisation, option B : Calcul Scientifique

Agrégation externe de mathématiques, session 2013 Épreuve de modélisation, option B : Calcul Scientifique Agrégation externe de mathématiques, session 2013 Épreuve de modélisation, option (Public2014-B1) Résumé : On présente un exemple de système de deux espèces en compétition dans un environnement périodique.

Plus en détail

de calibration Master 2: Calibration de modèles: présentation et simulation d

de calibration Master 2: Calibration de modèles: présentation et simulation d Master 2: Calibration de modèles: présentation et simulation de quelques problèmes de calibration Plan de la présentation 1. Présentation de quelques modèles à calibrer 1a. Reconstruction d une courbe

Plus en détail

Simulation d un système d assurance automobile

Simulation d un système d assurance automobile Simulation d un système d assurance automobile DESSOUT / PLESEL / DACHI Plan 1 Introduction... 2 Méthodes et outils utilisés... 2.1 Chaines de Markov... 2.2 Méthode de Monte Carlo... 2.3 Méthode de rejet...

Plus en détail

Méthodes de quadrature. Polytech Paris-UPMC. - p. 1/48

Méthodes de quadrature. Polytech Paris-UPMC. - p. 1/48 Méthodes de Polytech Paris-UPMC - p. 1/48 Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes - p. 2/48 Polynôme d interpolation

Plus en détail

COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE D UNE FILE D ATTENTE À UN SERVEUR

COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE D UNE FILE D ATTENTE À UN SERVEUR Université Paris VII. Préparation à l Agrégation. (François Delarue) COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE D UNE FILE D ATTENTE À UN SERVEUR Ce texte vise à l étude du temps d attente d un client à la caisse d un

Plus en détail

La fonction exponentielle

La fonction exponentielle DERNIÈRE IMPRESSION LE 2 novembre 204 à :07 La fonction exponentielle Table des matières La fonction exponentielle 2. Définition et théorèmes.......................... 2.2 Approche graphique de la fonction

Plus en détail