Miroirs sphériques et Lentilles sphériques dans l approximation de Gauss

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1 Miroirs sphériques et Lentilles sphériques dans l approximation de Gauss Table des matières 1 Etude du miroir sphérique Présentation du miroir Définition Propriétés du sommet et du centre Relation de conjugaison dans les conditions d approximation de Gauss Relation de conjugaison de Descartes avec origine au sommet Schématisation de Gauss Foyer objet et image - Notion de vergence Construction des rayons lumineux et des images pour le miroir sphérique dans l approximation de Gauss Image d un point sur l axe optique Image d un point sur l axe et construction d un rayon réfléchi pour un rayon incident quelconque Construction d un rayon réfléchi pour un rayon incident quelconque Autres formules de conjugaison et de grandissement Formules de conjugaison Définition et formules de grandissement Système afocal et retour sur le miroir plan Etudes des lentilles sphériques minces Définition et exemples Définition Approximation de la lentille sphérique mince et schématisation de Gauss Propriétés des lentilles minces - Approximation de Gauss Retour sur l approximation de Gauss - stigmatisme et aplanétisme approchés Propriétés du centre optique Foyer objet et image - Plans focaux Construction géométrique des rayons lumineux Image B d un point objet B hors de l axe optique Construction d un rayon quelconque et image d un point sur l axe Relation de conjugaison et de grandissement Formules de conjugaison Grandissement Association de lentilles accolées Compléments Etude du miroir sphérique 1.1 Présentation du miroir Définition Un miroir sphérique est une portion de surface sphérique réfléchissante, de centre C qui possède un axe de symétrie de révolution ( ) passant par C ; il coupe le miroir en un point S 1

2 appelé sommet du miroir ; ( ) est l axe optique du miroir. Pour repérer la position des différents couples de points objet-image (A,A ) le long de l axe optique, on définit arbitrairement une orientation le long de l axe optique (usuellement positivement dans le sens de propagation de la lumière incidente), ce qui permettra de définir des valeurs algébriques. On est aussi amené à définir une orientation et des valeurs algébriques perpendiculairement à l axe optique afin de préciser : la taille de l objet et de l image le sens de l objet et de l image On peut définir, de manière algébrique, le rayon de courbure du miroir : R = SC ; On distingue alors 2 types de miroir : Propriétés du sommet et du centre a)- le centre C Tout rayon incident passant par C arrive sur le miroir sous incidence normale. D après la loi de Descartes de la réflexion, il est réflechi confondu avec lui-même et cette propriété est rigoureusement valable quelque soit le rayon : le centre C du miroir est sa propre image par le miroir au sens du stigmatisme rigoureux. 2

3 b)- le sommet S D après la loi de Descartes sur la réflexion, tout rayon incident sur le miroir en S est réflechi symétriquement par rapport à l axe optique, en provenant de S, et ceci est rigoureusement valable quelque soit le rayon : le sommet S du miroir est sa propre image par le miroir au sens du stigmatisme rigoureux. 1.2 Relation de conjugaison dans les conditions d approximation de Gauss Relation de conjugaison de Descartes avec origine au sommet Démonstration 1 SA + 1 SA = 2 SC 3

4 1.2.2 Schématisation de Gauss Dans les conditions d approximation de Gauss, pour des rayons qui frappent le miroir au voisinage de l axe optique, on schématise le miroir par son plan tangent en S (Ceci revient à dilater l échelle verticale par rapport à l échelle horizontale ie à ne pas représenter la courbure du miroir). Attention, ce n est pas un miroir plan. De plus, les lois de Descartes de la réflexion ne sont pas vérifiables géométriquement sur le miroir pour deux points conjugués quelconque (A,A ) sauf S! Foyer objet et image - Notion de vergence a)- Foyer principal image F Par définition, F est l image du point objet situé A situé à l infini sur l axe optique donc on fait CA = soit : CF = CS 2 b)- Foyer principal objet F Par définition, F est le point objet antécédent du point image A situé à l infini sur l axe donc on fait CA = soit : CF = CS 2 = CF F et F sont donc confondus et situés au milieu du segment [CS] ; on parle indifféremment du foyer du miroir. 4

5 c)- Notion de distance focale et de vergence Par définition, on appelle distance focale du miroir : f = SF = SF = SC 2 On définit aussi la vergence du miroir : V = 1 f symbole est δ (ce sont en fait des m 1 ). ; l unité de vergence est le dioptrie dont le d)- Plan focal C est le plan de front passant par F. En particulier, tout point hors de l axe optique à l infini (proche de l axe tout de même d après la propriété d aplanétisme approché!) a son image dans le plan focal c est-à-dire 2 rayons parallèles entre eux incident sur le miroir sphérique, émergent après réflexion sur le miroir en se coupant dans le plan focal en un point appelé foyer secondaire. Réciproquement, d après le principe du retour inverse de la lumière, 2 rayons sur le miroir qui se coupent en un point du plan focal, émergent en 2 rayons parallèles. 1.3 Construction des rayons lumineux et des images pour le miroir sphérique dans l approximation de Gauss Image d un point sur l axe optique 5

6 1.3.2 Image d un point sur l axe et construction d un rayon réfléchi pour un rayon incident quelconque Construction d un rayon réfléchi pour un rayon incident quelconque 6

7 1.4 Autres formules de conjugaison et de grandissement On rappelle la formule de conjugaison de Descartes avec origine en S : Formules de conjugaison 1 SA + 1 SA = 2 SC Formule de conjugaison de Descartes avec origine en C Démonstration 1 CA + 1 CA = 2 CS Formule de conjugaison de Newton (origine au foyer F) Démonstration FA.FA = f 2 7

8 1.4.2 Définition et formules de grandissement On définit le grandissement par : γ = A B AB Si γ > 0 alors l image est dans le même sens que l objet et si γ < 0 l image est dans le sens contraire. Si γ > 1 alors l image est plus grande que l objet et si γ < 1 alors l image est plus petite que l objet. a)- grandissement avec origine en F 8

9 b)- grandissement avec origine en C c)- grandissement avec origine en S Système afocal et retour sur le miroir plan De façon générale, on dit qu un système afocal si le foyer image F est rejeté à l infini. En pratique, il faut vérifier que pour tout faisceau de rayons parallèles entre eux et à l axe optique, on obtient un faisceau émergent de rayons parallèles entre eux et à l axe optique On retrouve de façon immédiate le propriété du miroir sphérique en faisant SC 1 c est-à-dire 0. On obtient alors en remplaçant dans la relation de conjugaison : SC Pour le grandissement, on a : 1 SA + 1 SA = 0 c est-à-dire SA = SA γ = SA SA = 1 l image est donc inversée et de même taille. 9

10 2 Etudes des lentilles sphériques minces 2.1 Définition et exemples Définition Une lentille sphérique est un système centré résultant de l association de 2 dioptres sphériques ayant le même axe optique et caractérisés par leur centre et leur sommet respectifs (C 1,S 1 ) et (C 2,S 2 ). Exemples : Approximation de la lentille sphérique mince et schématisation de Gauss On note e = S 1 S 2 l épaisseur de la lentille. Une lentille sphérique est dite mince si elle respecte les conditions suivantes : e S 1 C 1 e S 2 C 2 e C 1 C 2 Dans ces conditions, on peut confondre les sommets S 1 et S 2 en un même point O appelé centre optique de la lentille. Dans le cadre de l approximation de Gauss, l épaisseur négligeable de la lentille nous conduit à la représenter par un système optique plan perpendiculaire à l axe optique passant par son centre optique O. 10

11 2.2 Propriétés des lentilles minces - Approximation de Gauss Retour sur l approximation de Gauss - stigmatisme et aplanétisme approchés Comme on l a déjà précisé dans le chapitre de généralités sur les systèmes centrés, on peut démontrer et ceci se vérifie très bien expérimentalement, que dans les conditions d approximation de Gauss (rayons paraxiaux), les lentilles sphériques minces vérifient les propriétés de stigmatisme et d aplanétisme approchés Propriétés du centre optique 2.3 Foyer objet et image - Plans focaux Foyer image : c est l image F d un point objet situé à l infini sur l axe. Foyer objet : c est le point objet F dont l image est situé à l infini sur l axe. On admet que F et F sont symétriques par rapport à la lentille sphérique mince c est-à-dire : OF = f = OF = f f est appelée distance focale objet et f distance focale image. On distingue alors 2 cas : lentille convergente : f > 0 lentille divergente : f < 0 11

12 2.4 Construction géométrique des rayons lumineux Image B d un point objet B hors de l axe optique Construction d un rayon quelconque et image d un point sur l axe 12

13 2.5 Relation de conjugaison et de grandissement Formules de conjugaison Formule de Newton Démonstration F A.FA = f 2 Formule de Descartes Démonstration 1 OA 1 OA = 1 f Grandissement 13

14 2.5.3 Association de lentilles accolées Association de lentilles non accolées 14