Chap. 3. Systèmes sphériques. Systèmes sphériques

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1 Chap. 3 Systèmes sphériques I. Dioptres sphériques :... I.. Définition et notations :... I.. Image d'un point :... I.3. Relation de conjugaison avec origine au sommet :... 3 I.4. Foyers d'un dioptre sphérique :... 5 I.5. Construction de l'image d'un objet transversal :... 6 I.6. Grandissement transverse :... 7 II. Miroirs sphériques :... 7 II.. Définition et notations :... 7 II.. Relation de conjugaison avec origine au sommet :... 8 II.3. Foyers d'un miroir sphérique :... 8 II.3. Construction de l'image d'un objet transversal :... 8 III. Les lentilles :... 9 III.. Les lentilles épaisses :... 9 III... Définition :... 9 III... Position des foyers :... 0 III..3. Application à une sphère transparente :... III.. Les lentilles minces :... III... Définition et caractéristiques :... III... Exemples de lentilles minces :... III..3. Relation de conjugaison avec origine au centre :... 3 III.4. Foyers d'une lentille mince :... 4 III.5. Construction d'une image :... 4 IV. Quelques applications des lentilles:... 5 IV.3.. Loupe de Coddington :... 5

2 Chap. 3 SYSTEMES SPHERIQUES Dioptres sphériques Miroirs sphériques Lentilles I. Dioptres sphériques : I.. Définition et notations : Un dioptre sphérique sépare deux milieux d'indice différents n et n, et possède un rayon de courbure R (Figure ). Remarquons que le dioptre plan est un dioptre sphérique dont le rayon de courbure est infini. C centre du dioptre S sommet du dioptre R rayon de courbure. R, compte tenu de sa définition, peut être positif ou négatif. (Cx) axe principal ou axe optique Figure I.. Image d'un point : Figure Soit un point A de l'axe principal. Pour construire l'image A' de A, prenons un rayon issu de A, frappant le dioptre en I (Figure ). Dans l'exemple donné, n < n. Si l'on considère un élément

3 3 infinitésimal du dioptre autour de I, cet élément peut être considéré comme plan. La loi de Descartes indique que le rayon réfracté se rapprochera de la normale. Le rayon réfracté semble provenir d'un point A' de l'axe (Cx). A' est l'image de A par le dioptre, puisqu'un rayon provenant de A et passant par S émerge sans être dévié. Notons que A' est plus proche de S que A. Figure 3 l'avant. Dans le cas présenté ci-dessus, n > n. L'image A' de A, toujours virtuelle, est repoussée vers I.3. Relation de conjugaison avec origine au sommet : A I B c a Figure 4 b C Dans ce paragraphe, nous allons déterminer une relation entre la position de l'objet et de l'image par rapport au point S. En préliminaire, nous allons démontrer une relation utile dans un triangle quelconque (Figure 4) : IC ( π Aˆ ) sin Aˆ sin b sin B ˆ IC a

4 4 donc a b sin Aˆ sin Bˆ De même, en appliquant cette méthode à l'angle Ĉ, nous obtenons la relation générale suivante : A I sin a b c sin Aˆ sin Bˆ sin Cˆ Dans le triangle (CIA ) (Figure 5) : A I ( π ω ) sinω sin i A I sin A C Dans le triangle (CIA ) : A I ( π ω ) sinω sini A C sinω A I A C A I sin i sin AC i Figure 5 de plus n sini n sini d'où : A I n A C A I n A C Cette relation, qui a été démontrée en utilisant les distances est à appliquer en fait sur les mesures algébriques :

5 5 n A I A C n A I A C Dans les conditions de Gauss, c'est à dire pour des angles incidents très inférieurs à, I est proche de S : n A S A C n A S CA CS + A C SA de même CA CS + SA ( CS + SA ) n ( CS SA ) n CA n CA n + SA SA SA SA SC SC n n SA SA SC n n SA n n SC SA soit, en divisant les deux membres par SC : n n n n SA SA SC Cette relation est appelée relation de conjugaison avec origine au sommet. I.4. Foyers d'un dioptre sphérique : Le foyer image F' d'un système optique quelconque est l'image d'un objet situé à l'infini. De la même manière, le foyer objet F est le lieu d'occupation d'un objet dont l'image est à l'infini. A à l'infini donc A en F'. La relation de conjugaison devient : n n n SF' SC d'où

6 6 n SF' n n SC A à l'infini donc A en F. La relation de conjugaison devient : n n n SF SC d'où n SF n n Il est clair que ces deux relations n'ont pas à être apprises par cœur, mais doivent être retrouvées à partir de la relation de conjugaison. SC I.5. Construction de l'image d'un objet transversal : Pour déterminer l'image d'un objet AB, il faut au moins deux rayons. Il existe, pour les dioptres sphériques, trois rayons particuliers : Un rayon qui passe par C n'est pas dévié. Un rayon qui passe par F (si F est en avant du dioptre) ou qui passerait par F (si F est en arrière du dioptre) ressort parallèlement à l'axe optique (Figures 6 et 7). Un rayon parallèle à l'axe optique ressort en convergeant vers F' (si F' est en arrière du dioptre) ou en divergeant, le rayon semblant provenir de F' (si F' est en avant du dioptre). Selon les valeurs des indices, ou la nature du dioptre (convexe ou concave), l'image peut être : réelle ou virtuelle. droite (γ > 0) ou renversée (γ < 0). agrandie ou réduite.

7 7 Figure 6 Figure 7 I.6. Grandissement transverse : Considérons les triangles (CAB) et (CA'B') de la figure 7 : γ A ' B' CA' AB CA II. Miroirs sphériques : II.. Définition et notations : Un miroir sphérique a une surface réfléchissante et, comme le dioptre sphérique, un rayon de courbure (Figure 8). Figure 8

8 8 II.. Relation de conjugaison avec origine au sommet : Contrairement au dioptre sphérique, un seul milieu intervient, d'indice n (Figure 8). Il n'est pas besoin de redémontrer la relation. Il suffit de remarquer que le miroir est un dioptre dont le deuxième milieu aurait pour indice n, le signe "moins" assurant le retour des rayons après réflexion. La relation établie au I.3. devient : SA + SA SC II.3. Foyers d'un miroir sphérique : Comme dans le I.4., il faut faire tendre et vers l'infini pour trouver la position des foyers objet F et image F'. Il vient (Figure 9) : SC SF SF' Comme le montre la relation ci-dessus, le résultat est beaucoup plus simple que dans le cas d'un dioptre sphérique. Figure 9 II.3. Construction de l'image d'un objet transversal : Le principe de construction est bien entendu le même que celui adopté pour le dioptre sphérique (Figure 0).

9 9 Figure 0 III. Les lentilles : III.. Les lentilles épaisses : III... Définition : Une lentille épaisse est formée par l'association de deux dioptres sphériques dont les sommets S et S sont distincts l un de l autre. Il n existe pas de relation particulière pour les lentilles épaisses, contrairement aux lentilles minces (cf III..). Il faut utiliser la relation de conjugaison pour les dioptres sphériques et l utiliser pour chacun des dioptres. La Figure montre un exemple de lentille épaisse, comportant un dioptre convexe, puis un dioptre concave, et d indice n. Les relations de conjugaison s écrivent : Figure n S A S A n S C n S A S A' n S C

10 0 III... Position des foyers : A partir de ces relations, la position des foyers objet et image de ces deux dioptres sont faciles à déterminer (Figure ). Figure La Figure 3 indique le tracé des rayons issus du foyer objet F du dioptre (). Les rayons ressortent parallèlement à l axe optique dans le milieu d indice n et convergent, à la sortie du dioptre (), au foyer image F de ce dioptre. Figure 3 Nous pouvons aussi définir les foyers F et F du système composé des deux dioptres. F est le point dont l image par le système est à l infini (Figure 4), alors que F est l image d un point situé à l infini (Figure 5). Figure 4

11 Figure 5 III..3. Application à une sphère transparente : Soit une sphère transparente d indice n,5, de centre C et de rayon de courbure S C CS 0 cm (Figure 6). S Figure 6 L application des relations de conjugaison donne : 0 cm, S F' S F 30 cm, et SF SF' 0 cm. F SF' Les Figures 7 et 8 montrent le tracé des rayons issus de F et venant de l infini, donc convergent vers F. Nous vérifions bien à travers ces figures que les foyers F et F sont bien à une distance des sommets deux fois plus petite que le rayon de la sphère. Figure 7

12 Figure 8 III.. Les lentilles minces : III... Définition et caractéristiques : Une lentille mince est formée par l'association de deux dioptres sphériques dont les sommets S et S sont pratiquement confondus en un même point O (Figure 9). Le point O est appelé centre de la lentille. L'axe passant par O, et est appelé axe principal de la lentille. Le plan perpendiculaire à cet axe est appelé plan de la lentille. Figure 9 III... Exemples de lentilles minces : La Figure 0 présente quelques types de lentilles minces, convergentes et divergentes. Remarquons qu'une lentille convergente a des bords minces, alors qu'une lentille divergente a des bords épais.

13 3 Figure 0 III..3. Relation de conjugaison avec origine au centre : Une lentille mince étant composée de deux dioptres, nous allons évidemment utiliser les relations de conjugaison pour les dioptres. Supposons que la lentille soit dans l'air, d'indice, et que la lentille soit composée d'un matériau d'indice N. Appelons A l'image de A par le er dioptre et A' l'image de A par le ème dioptre. N S C N S A S A N N S C S A SA' La lentille étant mince, les deux sommets sont proches de O. Les deux relations ci-dessus deviennent : N OC N OA OA N N OC OA OA' En éliminant le quotient faisant intervenir l'image intermédiaire, nous obtenons : N N OC OA OC OA' N N OC OC OA' OA

14 4 OA' OA ( N ) OC OC minces. Cette relation constitue la relation de conjugaison avec origine au centre pour les lentilles III.4. Foyers d'une lentille mince : Pour déterminer les foyers objet F et image F', il faut faire tendre respectivement l'objet et l'image vers l'infini. Nous obtenons : OF' OF ( N ) OC OC La relation de conjugaison peut donc se mettre sous la forme suivante : OA' OA OF' III.5. Construction d'une image : Figure a Figure b

15 5 Figure c La Figure ci-dessus schématise un exemple de construction d'images d'un objet réel ou virtuel dans le cas d'une lentille convergente. Lorsque l'objet est réel et en amont de F, l'image est réelle. Si l'objet réel est en aval de F, l'image est virtuelle (principe de la loupe). Si l'objet est virtuel, l'image est réelle. IV. Quelques applications des lentilles: IV.3.. Loupe de Coddington : La loupe (ou microscope) de Coddington est constituée d'une sphère au centre de laquelle est inséré un diaphragme afin d'avoir un stigmatisme approché et de l'utiliser en orthoscopie (Figure ). Figure

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