Exercice pour s'entraîner Étude d'un système optique embarqué sur un satellite. A. Construction de l'image obtenue

Transcription

1 Exercice pour sentraîner Étude dun système optique embarqué sur un satellite a télédétection par satellite est utilisée en météorologie, climatologie et cartographie. e problème s intéresse à l instrumentation optique embarquée sur un satellite pour l observation de la terre et plus particulièrement la prise de photographies numériques terrestres sur un capteur électronique photosensible depuis le satellite de télédétection. A. onstruction de limage obtenue Afin d étudier les images de la surface de la Terre par un dispositif optique, nous nous plaçons dans le cadre de l optique géométrique et de l approximation de Gauss. espace entre la Terre et le satellite sera considéré comme du vide pour le tracé des rayons lumineux.. omment qualifie-t-on les rayons lumineux utilisés dans l approximation de Gauss? Quelles sont leurs deux propriétés? e dispositif optique permettant la photographie est modélisé simplement par une lentille sphérique mince convergente de distance focale image f et un capteur.. ompléter le schéma de la figure de l annexe à rendre avec la copie en traçant avec soin la construction de l image d un objet réel PM situé sur l axe optique. aractériser l image P M obtenue : réelle ou virtuelle, agrandie ou rétrécie, de même sens ou inversée. Déterminer par le calcul la valeur algébrique P en fonction de f et calculer le grandissement dans ce cas. 3. objet PM se situe maintenant sur Terre à une distance de km du satellite. a distance focale image de la lentille est f = 5 m. 3.. Déterminer où se situe limage de PM dans ce cas. 3.. a taille des pixels du capteur est de μm. Quelle est la dimension du plus petit objet détectable sur Terre? 3.3. emprise sur le sol terrestre de l image réalisée est de 70 km. En déduire le nombre de pixels sur la largeur du capteur. 4. ompléter le schéma de la figure de l annexe à rendre avec la copie en traçant avec soin le prolongement des rayons lumineux provenant d un objet réel situé à l infini dont les rayons sont inclinés d un angle α par rapport à l axe optique.. Influence de la longueur donde Pour un milieu transparent comme le verre de la lentille mince utilisée, dans le domaine du visible, son indice de réfraction n varie avec la longueur d onde λ suivant la loi empirique de auchy : n( λ= A+ λ où A =,5 et = 3,8.03 nm. a distance focale image de la lentille est donnée en fonction de son indice n par la relation : f (λ=, étant une constante positive. n(λ Dans la suite, les notations adoptées sont synthétisées dans le tableau ci-après : 5. Montrer que l expression de la distance focale image associée au rayonnement jaune peut s écrire : f = A ( + ( A λ 6. A partir des données numériques approximées, montrer que ( A λ en calculant une valeur approchée. Simplifier alors lexpression précédente en utilisant le développement du type : (+ε α +αε, vrai quand ε omparer sans calcul numérique les distances focales image indiquant les positions des foyers images F R, F, F,, f, et le centre optique de la lentille.. Représenter sur votre copie un schéma 8. Qu est-ce que le stigmatisme? Peut-on parler de stigmatisme dans le cas présent? Quelle phénomène observe-t-on?. Défaut d observation longitudinal

2 aberration chromatique longitudinale A =F foyers images bleu et rouge. F R d une lentille est définie par la distance algébrique qui sépare les 9. Exprimer A en fonction de et f. En supposant que f =, monter que : A = f 0. n définit le pouvoir dispersif K d un verre par la relation : K = n n R n. Montrer que A, K et vérifient une relation simple. Application numérique : Déterminer A pour K =,4.0 - et =5 m. ommenter le résultat obtenu. aberration chromatique transversale A T du dispositif est définie comme le rayon de la plus petite tâche lumineuse produite par la superposition des faisceaux rouge et bleu provenant de rayons parallèle à l axe optique et passant par les extrémités de la lentille de diamètre D. ette définition est illustrée sur la figure 3 ci-contre : Figure 3. A partir d une étude géométrique de la figure 3, établir deux expressions de A T en fonction de D, distances algébriques entre le point H et les foyers images F R et F. et f.et des. Montrer que A T ( + f = D A. 3. n suppose en plus de lhypothèse de la question 9 ( f = f que f = f R+ f A T en fonction du pouvoir dispersif K et du diamètre D de la lentille. orrection des défauts. Déterminer lexpression de Afin de limiter ces aberrations, une lentille sphérique mince de centre optique en verre flint (verre plus dispersif que la lentille précédente est ajoutée. indice n du verre flint suit également la loi de auchy : n ( λ= A +, A et étant des constantes positives et A >. Sa distance focale image est donnée par la relation : f (λ= n (λ, étant une constante dont on cherche à déterminer le signe. ette deuxième lentille est accolée à la première lentille de centre optique. n suppose par la suite que les points et sont confondus. a distance focale image du système { + } formé par les deux lentilles accolées est notée 4. Montrer que pour une longueur donde donnée : = f + f. 5. Déterminer l expression de en fonction de A,,, A,, et λ. 6. Établir une relation entre,, et permettant de supprimer totalement les aberrations chromatiques transversales et longitudinales. 7. Quel est nécessairement le signe de? En déduire la nature convergente ou divergente de la lentille?. λ

3 Annexe problème Schéma f f bjet réel P Axe optique M Schéma bjet réel à linfini f α Axe optique 3

4 orrection onstruction de limage obtenue. Dans l approximation de Gauss, les rayons sont paraxiaux, c est-à-dire peu inclinés et peu écartés de l axe optique (axe de révolution de l instrument d optique. n obtient alors un stigmatisme et un aplanétisme approchés.. onstruction ci-contre, après avoir positionné F et F. image est réelle, renversée et de même taille que lobjet. Daprès la formule de Descartes: P P = donc f P = P + f = f +P P P donc P = f P f +P. Daprès le schéma : P= f donc P = f f f f a formule du grandissement est : γ= P M PM = P P = f = f. f f on en déduit : γ= f =. 3.. P = km ; Ainsi P >> f donc : l image est dans le plan focal image. 3.. Pour que points soient discernables sur le détecteur, ils doivent se trouver sur pixels différents. image la plus petite discernable mesure PM min = μm. n se sert du grandissement pour déterminer la taille de lobjet correspondant. γ = P M PM =P P AN : PM = = ( Donc PM min =P M min P P =7 m. a dimension du plus petit objet détectable sur la terre est de 7 m. _ 3.3. PM = 70 km, daprès la question précédente on en déduit quil faut 0000 pixels sur la largeur du capteur. _ 4. n prolonge d abord le rayon passant par qui n est pas dévié. es autres rayons incidents lui étant parallèles, les rayons émergents se croisent dans le plan focal image. D où la construction. Influence de la longueur donde 5. (λ = n(λ r n( λ =A+ λ doù f (λ = A+ = λ A + λ ( A = A ( + ( A λ 6. ( A λ (, ,0 4. n alors ( + ( A λ doù f (λ = ( A λ A ( ( A λ 7. D après le tableau, on a : λ <λ <λ R, donc : établie dans lan question précédente : > > f λ > λ > λ R et donc daprès la formule. n a obtient le schéma ci-contre : 8. Stigmatisme : image d un point est un point. a décomposition de la lumière par la lentille ne fait pas converger les rayons en un point unique. Il ny a pas stigmatisme dans le cas présent. n parle d aberrations chromatiques. image aura des contours irisés. 4 F F F R

5 9. A =F F R =F A f = f R f f doù Défaut d observation longitudinal + F R = f A = f. donc f = f R f or f = f ainsi f A 0. f (λ= n(λ doù n(λ= A =K f (λ + doù K =.AN A =,4.0 5=7.0 =7 cm f = f R f f doù K = A doù. Daprès Thalès D = A T H F R et D = A T f F H A T = D H F R et A T = D F f H doù. En additionnant les expressions précédentes on obtient: A T ( + f = D (H F R+F H = D F F R doù A T ( + f = D A. 3. A =K daprès la question 0, f = f R+ f doù A T = D 4 K. 4. Soit A limage conjuguée de A à travers le système optique. n a alors : a formule de conjugaison appliquée à donne : A A = f a formule de conjugaison appliquée à donne : En additionnant les relations on obtient : A = A f A A = f + f.doù = f + f. _ 5. = f + f = n + n A+ = λ + A + λ doù = A + A + λ ( +. _ 6. Pour supprimer les aberrations il faut soit indépendante de λ soit : + =0. 7. et daprès lénoncé sont positifs, il faut donc que <0. f = n divergente. la seconde lentille est donc 5