Introduction à la théorie des files d'attente. Claude Chaudet

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Introduction à la théorie des files d'attente. Claude Chaudet Claude.Chaudet@enst.fr"

Transcription

1 Introduction à la théorie des files d'attente Claude Chaudet

2 La théorie des files d'attente... Principe: modélisation mathématique de l accès à une ressource partagée Exemples réseaux / télécoms : tampon d un routeur, lignes téléphoniques Autres utilisations : réseaux routiers, caisses de supermarché,... Objectif: estimer les valeurs de certaines métriques... Temps d attente Taille ou niveau de remplissage de la file d attente Probabilité de rejet (système saturé,...) en fonction des paramètres du système Nombre de demandes / charge Vitesse de traitement Taille / organisation de la file... 2

3 Processus Modèle général général considéré Des clients arrivent dans un système Processus a priori aléatoire Les clients attendent (salle d'attente, tampon,...) Les clients sont traités (servis) par le système Durée a priori aléatoire Les clients sortent du système Arrivées Attente Service Sorties On s intéresse au comportement du système et à son influence sur le flux de clients (comment le flux d entrée est transformé en flux de sortie) 3

4 Exemple : élément d interconnexion réseau Un paquet peut arriver lorsque le processeur est occupé à en traiter un autre Combien de temps en moyenne va attendre chaque paquet? Quel espace mémoire prévoir pour un routeur 100 Gb/s avec un processeur capable de retransmettre un paquet en 1 ms en moyenne? - Quelle taille maximale de table peut-on autoriser pour ne pas trop retarder les paquets, en sachant que la recherche s effectue en O(log n)? Réseau A Table Routage IP Réseau B 4

5 Exemple : caisses de supermarché Dans un supermarché, on a plusieurs caisses. Est-il préférable de faire une ou plusieurs files d attente? -Quel critère (temps moyen d attente ; temps maximum d attente? ;...) Combien d employés sont nécessaires pour assurer un temps d attente inférieur à une valeur donnée? 5

6 Exemple : réseau téléphonique Combien de lignes sont nécessaires pour interconnecter N utilisateurs? Trop de lignes : coût élevé pour l opérateur Trop peu de lignes : qualité de service mauvaise (rejet trop fréquent) N N 6

7 Formalisation du problème Données du problème : Processus d'arrivées (distribution du temps inter-arrivées) On -paramètres (moyenne, variance,...) connus Processus de service (distribution du temps de service) -paramètres (moyenne, variance,...) connus cherche à caractériser le comportement de la file Nombre moyen de clients dans la file!!!! Q Temps moyen d'attente!!!!! W Temps moyen de séjour (total passé dans le système)! τ Probabilité de trouver une file pleine / vide lors d une arrivée arbitraire Processus de sortie en fonction du processus d'entrées et du comportement de la file 1/λ W τ 1 µ 1/λout 7

8 Les différents modèles : notations de Kendall On classe les files d'attente en catégories M Notation G d une classe : T/X/C/K/m/Z T : Distribution inter-arrivées X : Distribution de service C : Nombre de serveurs K : Longueur de file (incluant les serveurs ; optionnel, par défaut = + ) m : population (optionnel, par défaut = + ) Z : discipline de file (optionnel, par défaut = FIFO) Exemples M/M/1 ; M/M/C ; M/M/C/C M/G/1 ; G/M/1 D H Ek FIFO LIFO RANDOM T / X : exemples de valeurs Exponentiel (Markovien) Général (quelconque) Déterministe (constant) Hypergéométrique Erlang-k Z : exemples de valeurs file simple pile sélection aléatoire 8

9 9 Définitions et propriétés de base

10 Définition : intensité de trafic La notion de trafic représente l occupation d une ressource (serveur, lien de communication,...) Le trafic écoulé sur une ressource est le taux d occupation (ou probabilité d occupation) de ce serveur : a [0 ; 1] T a = i t i T t1 t2 tn En l honneur de l ingénieur danois Erlang (1917), l unité de trafic est un Erlang. Un Erlang représente un occupation à 100% du temps. Convention : sur un ensemble de N serveurs, le trafic varie entre 0 et N Erlang 10

11 Définitions : charge et stabilité d un système Charge d un système définie comme la proportion de temps du serveur utilisée : a = T 1 µ T = µ = S il n y a ni création ni destruction de clients dans le système, le système est dit stable si et seulement si : Les clients n arrivent pas plus rapidement que le système n est capable de les traiter ρ < 1 - la charge est inférieure (strictement) à 1 λ < μ dans le cas d une file simple ; λ < N.μ dans le cas d une file à N serveurs Dans le cas d une file stable, λ = λout λ λ clients arrivent par seconde 1/μ est la durée moyenne de service T le temps d observation 1 µ 11 15

12 Hypothèses La Formule de Little : Le système est stable Ni destruction ni création de clients dans le système formule de Little : Q = τ. λ Q = nombre moyen de clients dans le système τ = temps moyen de séjour λ = débit (entrant ou sortant) S applique indépendamment de la distribution λ Q τ 1 µ 12

13 13 Variables aléatoires exponentielles & processus de Poisson

14 Rappel : Variables aléatoires exponentielles Unique paramètre : λ Moyenne = 1/λ Fonction de répartition: FX(x) $ $ = P [X x] $ $ = 1 - e -λx P [X > x] $ = e -λx Fonction de densité : fx(x)$ = dfx(x)/dx $ $ $ = λ.e -λx F X (x) f X (x) x! = 0.3! = 0.8! = 1! = 5! = 7! = 0.3! = 0.8! = 1! = 5! = x

15 Processus de Poisson Processus de comptage Probabilité d occurrence de k événements dans un intervalle de temps T : P [N T = k] = ( T )k k! P [ NT+dt = k+j NT = k] $ = λ.dt + o(dt)$$ si j = 1 $ $ $ $ $ = o(dt)$ $ si j > 1 $ $ $ $ $ = 1-λ.dt+o(dt)$ si j < 1 L'occurrence de plus d'un événement dans un temps infinitésimal est négligeable. Temps entre deux arrivées : 1 - e -λt e T 15

16 Processus de poisson - propriétés Les temps Inter-arrivées (Xi = Ai+1 - Ai) suivent une loi exponentielle t A1B1 A2 B2 A3 B3 A4 A5 La superposition de deux processus de Poisson de paramètres λ1 et λ2 est un processus de Poisson de paramètre λ1 + λ2 16

17 Les v.a. exponentielles & processus de Poisson dans la théorie des files d attente Propriété fondamentale : sans mémoire P [X > x+x 0 X > x0] = P [X > x] - Inutile de connaître l historique pour évaluer les performances à un instant arbitraire Propriété PASTA (Poisson Arrivals See Time Averages) - Dans le cas d arrivées exponentielles, la probabilité qu un client trouve N clients dans la file est égale à la probabilité (globale) que la file contienne N -Indépendant du client, du moment d arrivée etc. Ne dépend que d un paramètre Il suffit de mesurer la moyenne des temps inter-arrivées pour avoir caractérisé la loi Adapté aux systèmes recevant une forte charge Une somme de n processus quelconques converge vers un processus de Poisson quand n 17

18 La file M/M/1 Arrivées : Processus de Poisson (Paramètre λ) λ µ Temps de service : exponentiel (Paramètre µ) Un seul serveur File FIFO de longueur infinie 18

19 Analyse : chaîne de Markov Représentation du nombre de clients dans le système sous forme d une chaîne de Markov Possible car processus de Poisson / v.a. exponentielle λ 0 1 λ 2 μ μ μ μ C est un processus de naissance et de mort Propriété : c est un processus réversible À l'équilibre, pour n'importe quel état i > 0 : $ λ.p(i-1) + μ.p(i+1) = λ.p(i) + μ.p(i) $ λ.p(0) = μ.p(1) Donc : - P(i) = ρ i.p(0) = ρ i.(1 - ρ) - P(0) calculé grâce à P(i) = 1 puis en utilisant la somme des termes d une série géométrique λ λ 19

20 Principaux résultats Charge de la file ρ = λ/μ Système stable si et seulement si ρ < 1 λ < μ Nombre moyen de clients dans le système : Espérance du nombre de clients : 100 Q = µ = 1 Temps de séjour moyen : On utilise PASTA : = 1 1 µ + 1 µ Number of clients Temps d attente non linéaire! ! 20

21 File M/M/N/N µ Arrivées : Processus de Poisson (Paramètre λ) λ µ µ µ Temps de service : exponentiel (Paramètre µ) N serveurs identiques Pas de file d attente (système saturé => client rejeté) Système toujours stable 21

22 File M/M/N/N (Erlang-B) Seulement N clients sont admis dans le système Chaîne de Markov à N états N k=0 k k! P [n = 0] = 1 P [n = 0] = λ 0 1 N N 1 μ k λ 2.μ λ N.μ Plus d expression simple pour P(0) k=0 k! P [n = i] = N i i! k 22 k=0 k!

23 File M/M/N/N (Erlang-B) Probabilité de perte : B = P[n = N] 1.4 N = 1.2 N! 1 N k B 0.8 N = 2 N = 3 N = 5 N = 7 N = 10 k=0 k! ! Première loi d Erlang : E1,N(ρ) Utilisation d'abaques, de tables ou d un programme pour déterminer le nombre de ressources à mettre en place pour satisfaire une probabilité de rejet bornée

24 File M/M/N λ µ µ µ µ Arrivées : Processus de Poisson (Paramètre λ) Temps de service : exponentiel (Paramètre µ) N serveurs identiques File FIFO de longueur infinie 24

25 File M/M/N (Erlang-C) λ λ λ λ λ 0 1 N N+1 μ 2.μ Equations d équilibre : Pour k N: P [n = k] =(k + 1) µ P [n = k + 1] N.μ N.μ N.μ Solution: Pour k N: Pour k N: Pour k N: P [n = k] =N µ P [n = k + 1] k P [n = k] = P [n = 0] k! k N P [n = k] = P [n = N] (k N)! 25

26 File M/M/N (Erlang-C) Probabilité d attendre : + D = P [n N]! = k=0 k P [n = N] N k!!! = N N P [n = N] N D = P [n N] = C est la Seconde loi d Erlang : E2,N(ρ) 26 N N! N! + 1 N N 1 k=0 k k!

27 File M/M/N (Erlang-C) Probabilité d'attente en fonction du nombre de serveurs et de la charge : N = 2 N = 3 N = 5 N = 7 N = 10 D A!

28 File M/M/N (Erlang-C) Nombre moyen de clients en attente : + Q = k P [n = N + k] k=0 Q N = 2 N = 3 N = 5 N = 7 N = 10 = = + k=0 k N 1 N k P [n = N] N k 2 P [n = N] N = 2 N = 3 N = 5 N = 7 N = 10! Q = 28 N D Q ! / N

29 Temps File M/M/N (Erlang-C) moyen d'attente (dans la file) : Appliquer la formule de Little à la file (sans considérer les serveurs): Q = W. λ W = Q = (N ) D En ajoutant un temps de service, on obtient le temps de séjour : = W + 1 µ 29

30 30 Réseaux de files exponentielles

31 Réseaux de files d attente Représentation d un choix, d une répétition λ p (1 - p) μ 1 μ 2 λ λ 1 μ p (1 - p) Nécessaire pour la description des systèmes complexes Réseaux routiers, réseaux de télécoms λ λ 1 p 0,1 μ 1 μ 2 λ 3 μ 3 p 0,2 p 2,4 λ 2 λ 4 μ 4 λ out p 2,5 λ 5 μ 5 31

32 Un point problématique... p Arrivées dans le système λ λ 1 μ Processus de Poisson, paramètre λ Arrivées dans la file Superposition de - Un processus de Poisson (paramètre λ) - Un autre processus extrait d un processus de Poisson pour lequel chaque événement survient avec une probabilité p Le processus d arrivée dans la file est non-poissonien (1 - p) 32

33 Réseaux Types de réseaux fermés Aucun lien avec l extérieur Population constante de K clients - On cherche à caractériser le comportement du système Analysés avec la méthode de Gordon and Newell & Lavenberg - Analyse récursive Réseaux ouverts Les clients proviennent de l extérieur et sortent du système - Il existe un chemin de chaque file d entrée vers une file de sortie Analysés grâce au Théorème de Jackson 33

34 Sous Le théorème de Jacskon les hypothèses suivantes Réseau ouvert, files à serveur unique Temps de services exponentiels et indépendants Processus global d arrivée poissonien Système stable (i.e. toutes les files sont stables) Alors, les variables représentant le nombre de clients dans chaque file sont indépendantes : Chaque 34 P(Q 1=k1 Q2=k2... QM=kM) = M i=1 P(Q i = k i ) file se comporte comme si ses arrivées étaient poissoniennes P(Q i=ki) = (1 - ρi).ρi ki

35 35 Conclusion

36 La théorie des files d attente Formalisme permettant de décrire les performances d'un système à partir de paramètres observables Méthodes bien définies dans de nombreux cas Possibilité d interconnecter plusieurs files d'attente pour former des réseaux de files d'attente => modélisation de systèmes complexes Il faut être précautionneux sur les hypothèses, un processus non- Poissonien ne peut pas être analysé avec une file M/M/... A retenir / savoir faire Généralités : comment modéliser un système, notion de charge File M/M/1 : formule exprimant le nombre de clients dans la file, comportement non linéaire Propriétés fondamentales : formule de Little, propriété PASTA Réseaux de files d attente : théorème de Jackson et applications 36

37 Pour aller plus loin Il existe de nombreux types de files d attente pertinents - M/G/1 - M/D/1 - etc. Demandent une caractérisation plus fine des processus (par ex. connaître la variance), parfois résultats partiels (bornes plutôt que valeurs exactes) Continuer dans les UE de l école RES 221 Dans la littérature récente Thomas Bonald & Mathieu Feuillet - Performance des réseaux et des systèmes informatiques 37

38 38 Exercice

39 Exercice Pendant le gala Télécom, les élèves doivent acheter leurs tickets boisson. Les personnes arrivent au comptoir selon une loi de Poisson de paramètre λ = 4 personnes par minute. Chaque personne demande un nombre de tickets suivant une loi exponentielle de moyenne 6 tickets. La vente d un ticket prend un temps fixe de 2 secondes. Questions Quelle est la loi du temps de service? Quel est le nombre moyen de clients dans le système? Quelle est la moyenne du temps de séjour? La probabilité d avoir une file vide? 39

40 Exercice Supposons que les responsables du gala ont décidé de mettre en place deux files d attente. Un étudiant souhaitant acheter ses tickets va choisir une file d attente avec une probabilité p = 0.5 ; mêmes questions que précédemment. Maintenant on a une seule file d attente mais avec deux serveurs (M/M/2). Mêmes questions que précédemment En échange de quelques billets pour un concert, les responsables ont fait venir un serveur professionnel qui est capable de vendre un ticket en 1 seconde. Si on se replace dans le cas initial (1 seule file), mêmes questions. Comparez les différentes approches. Conclusions? 40

14. Introduction aux files d attente

14. Introduction aux files d attente 14. Introduction aux files d attente MTH2302D S. Le Digabel, École Polytechnique de Montréal H2015 (v2) MTH2302D: Files d attente 1/24 Plan 1. Introduction 2. Modèle M/M/1 3. Modèle M/M/1/K MTH2302D: Files

Plus en détail

Chapitre 2 Maîtrise des flux. - Chapitre 2 - Maîtrise des flux

Chapitre 2 Maîtrise des flux. - Chapitre 2 - Maîtrise des flux - - Facteurs agissant sur les flux Les modèles pour les SP Les réseaux de files d attente 1 Facteurs agissant sur les flux Au niveau physique : L implantation Le nombre de machines Automatisation (robots,

Plus en détail

12/06/2012 INTRODUCTION

12/06/2012 INTRODUCTION Université Abdelmalek Essàadi Ecole Supérieure Normale - Martil - Réalisée par : - Noura ZEKKARI - Laila KARIM INTRODUCTION Une file d attente est le résultat d un système lorsque la demande pour un bien

Plus en détail

Modèles à Événements Discrets. Réseaux de Petri Stochastiques

Modèles à Événements Discrets. Réseaux de Petri Stochastiques Modèles à Événements Discrets Réseaux de Petri Stochastiques Table des matières 1 Chaînes de Markov Définition formelle Idée générale Discrete Time Markov Chains Continuous Time Markov Chains Propriétés

Plus en détail

COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE D UNE FILE D ATTENTE À UN SERVEUR

COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE D UNE FILE D ATTENTE À UN SERVEUR Université Paris VII. Préparation à l Agrégation. (François Delarue) COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE D UNE FILE D ATTENTE À UN SERVEUR Ce texte vise à l étude du temps d attente d un client à la caisse d un

Plus en détail

LA THÉORIE DES FILES D ATTENTE

LA THÉORIE DES FILES D ATTENTE LA THÉORIE DES FILES D ATTENTE Origine de la théorie de la fille d attente Cette théorie est une approche mathématique permettant d analyser les files d attente. Elle est basée sur l étude des équipements

Plus en détail

Exercices de Files d Attentes

Exercices de Files d Attentes Exercices de Files d Attentes Monique Becker André-Luc Beylot Alexandre Delye de Clauzade de Mazieux 2006-2007 v.2 ii Table des matières 1 Exercices généraux 1 1.1 Modèle du dentiste....................................

Plus en détail

Cahier de Mathématiques Appliquées n o 14. Files d attente. B. Ycart

Cahier de Mathématiques Appliquées n o 14. Files d attente. B. Ycart 69 Cahier de Mathématiques Appliquées n o 14 Files d attente B. Ycart La théorie des files d attente a de nombreuses applications, en particulier dans les réseaux de communication et les réseaux informatiques.

Plus en détail

CONCOURS D ENTREE A L ECOLE DE 2007 CONCOURS EXTERNE. Cinquième épreuve d admissibilité STATISTIQUE. (durée : cinq heures)

CONCOURS D ENTREE A L ECOLE DE 2007 CONCOURS EXTERNE. Cinquième épreuve d admissibilité STATISTIQUE. (durée : cinq heures) CONCOURS D ENTREE A L ECOLE DE 2007 CONCOURS EXTERNE Cinquième épreuve d admissibilité STATISTIQUE (durée : cinq heures) Une composition portant sur la statistique. SUJET Cette épreuve est composée d un

Plus en détail

Simulation d un système d assurance automobile

Simulation d un système d assurance automobile Simulation d un système d assurance automobile DESSOUT / PLESEL / DACHI Plan 1 Introduction... 2 Méthodes et outils utilisés... 2.1 Chaines de Markov... 2.2 Méthode de Monte Carlo... 2.3 Méthode de rejet...

Plus en détail

1 Partie mail (Jean-Luc Richier) environ 4 points

1 Partie mail (Jean-Luc Richier) environ 4 points Durée : 2 heures. Tous documents autorisés. Une partie des points tient compte de la clarté et de la présentation des réponses. Le barème est purement indicatif. Chaque partie devra être rédigée sur une

Plus en détail

Processus aléatoires avec application en finance

Processus aléatoires avec application en finance Genève, le 16 juin 2007. Processus aléatoires avec application en finance La durée de l examen est de deux heures. N oubliez pas d indiquer votre nom et prénom sur chaque feuille. Toute documentation et

Plus en détail

Modélisation et Simulation

Modélisation et Simulation Cours de modélisation et simulation p. 1/54 Modélisation et Simulation G. Bontempi Département d Informatique Boulevard de Triomphe - CP 212 http://www.ulb.ac.be/di Cours de modélisation et simulation

Plus en détail

6. Quelques lois continues

6. Quelques lois continues 6. Quelques lois continues MTH2302D S. Le Digabel, École Polytechnique de Montréal H2016 (v1) MTH2302D: Lois continues 1/30 Plan 1. Loi uniforme 2. Loi exponentielle 3. Lois gamma / Weibull / bêta MTH2302D:

Plus en détail

Modélisation aléatoire en fiabilité des logiciels

Modélisation aléatoire en fiabilité des logiciels collection Méthodes stochastiques appliquées dirigée par Nikolaos Limnios et Jacques Janssen La sûreté de fonctionnement des systèmes informatiques est aujourd hui un enjeu économique et sociétal majeur.

Plus en détail

3.8 Introduction aux files d attente

3.8 Introduction aux files d attente 3.8 Introduction aux files d attente 70 3.8 Introduction aux files d attente On va étudier un modèle très général de problème de gestion : stocks, temps de service, travail partagé...pour cela on considère

Plus en détail

Modélisation aléatoire en fiabilité des logiciels

Modélisation aléatoire en fiabilité des logiciels collection Méthodes stochastiques appliquées dirigée par Nikolaos Limnios et Jacques Janssen La sûreté de fonctionnement des systèmes informatiques est aujourd hui un enjeu économique et sociétal majeur.

Plus en détail

Introduction. La gestion des qualités de services dans Internet. La garantie de QoS. Exemple

Introduction. La gestion des qualités de services dans Internet. La garantie de QoS. Exemple Introduction Aujourd hui les applications (en particulier multimédia) nécessitent des qualités de service de natures très différentes La gestion des qualités de services dans Internet Exemples: Transfert

Plus en détail

Livraison de colis pour des clients du e-commerce : modèles de Wardrop, et Logit simple ou imbriqué

Livraison de colis pour des clients du e-commerce : modèles de Wardrop, et Logit simple ou imbriqué Séminaire du LGI Centrale Paris Livraison de colis pour des clients du e-commerce : modèles de Wardrop, et Logit simple ou imbriqué Y. Hayel 1, D. Quadri 2, T. Jimenez 1, L. Brotcorne 3, B. Tousni 3 LGI,

Plus en détail

INTRODUCTION À LA THÉORIE DE STABILITÉ DES SYSTÈMES CONSERVATIFS

INTRODUCTION À LA THÉORIE DE STABILITÉ DES SYSTÈMES CONSERVATIFS INTRODUCTION À LA THÉORIE DE STABILITÉ DES SYSTÈMES CONSERVATIFS David Ryckelynck Centre des Matériaux, Mines ParisTech David.Ryckelynck@mines-paristech.fr Bibliographie : Stabilité et mécanique non linéaire,

Plus en détail

Fiche de révision sur les lois continues

Fiche de révision sur les lois continues Exercice 1 Voir la correction Le laboratoire de physique d un lycée dispose d un parc d oscilloscopes identiques. La durée de vie en années d un oscilloscope est une variable aléatoire notée X qui suit

Plus en détail

Modèle classique Extensions Modèle multi-branches. Théorie de la ruine. Esterina Masiello (ISFA)

Modèle classique Extensions Modèle multi-branches. Théorie de la ruine. Esterina Masiello (ISFA) Esterina Masiello Institut de Science Financière et d Assurances Université Lyon 1 Premières Journées Actuarielles de Strasbourg 6-7 octobre 2010 En résumé... Modèle classique de la théorie de la ruine

Plus en détail

PROBABILITES ET STATISTIQUE I&II

PROBABILITES ET STATISTIQUE I&II PROBABILITES ET STATISTIQUE I&II TABLE DES MATIERES CHAPITRE I - COMBINATOIRE ELEMENTAIRE I.1. Rappel des notations de la théorie des ensemble I.1.a. Ensembles et sous-ensembles I.1.b. Diagrammes (dits

Plus en détail

DEFINITION et PROPRIETES des PRINCIPALES LOIS de PROBABILITES

DEFINITION et PROPRIETES des PRINCIPALES LOIS de PROBABILITES Université Paris1, Licence 00-003, Mme Pradel : Principales lois de Probabilité 1 DEFINITION et PROPRIETES des PRINCIPALES LOIS de PROBABILITES Notations Si la variable aléatoire X suit la loi L, onnoterax

Plus en détail

9. Distributions d échantillonnage

9. Distributions d échantillonnage 9. Distributions d échantillonnage MTH2302D S. Le Digabel, École Polytechnique de Montréal H2015 (v3) MTH2302D: distributions d échantillonnage 1/46 Plan 1. Échantillons aléatoires 2. Statistiques et distributions

Plus en détail

Module 7: Chaînes de Markov à temps continu

Module 7: Chaînes de Markov à temps continu Module 7: Chaînes de Markov à temps continu Patrick Thiran 1 Introduction aux chaînes de Markov à temps continu 1.1 (Première) définition Ce module est consacré aux processus à temps continu {X(t), t R

Plus en détail

Internet et Multimédia Exercices: flux multimédia

Internet et Multimédia Exercices: flux multimédia Internet et Multimédia Exercices: flux multimédia P. Bakowski bako@ieee.org Applications et flux multi-média média applications transport P. Bakowski 2 Applications et flux multi-média média applications

Plus en détail

Slalom spécial dans l'aléa du trafic

Slalom spécial dans l'aléa du trafic Slalom spécial dans l'aléa du trafic T. Bonald Orange Labs FIP 2008 sorties de piste 1 "Avec 2 fois plus de trafic, chaque utilisateur obtient 2 fois moins de." "En servant en priorité les mobiles proches,

Plus en détail

Cours de mathématiques pour la Terminale S

Cours de mathématiques pour la Terminale S Cours de mathématiques pour la Terminale S Savoir-Faire par chapitre Florent Girod 1 Année scolaire 2015 / 2016 1. Externat Notre Dame - Grenoble Table des matières 1) Suites numériques.................................

Plus en détail

Support du cours de Probabilités IUT d Orléans, Département d informatique

Support du cours de Probabilités IUT d Orléans, Département d informatique Support du cours de Probabilités IUT d Orléans, Département d informatique Pierre Andreoletti IUT d Orléans Laboratoire MAPMO (Bât. de Mathématiques UFR Sciences) - Bureau 126 email: pierre.andreoletti@univ-orleans.fr

Plus en détail

Cours 8: Algorithmes online

Cours 8: Algorithmes online Cours 8: Algorithmes online Offline / Online, compétitivité Bin packing, lien avec algo d approx Cache paging, adversaire, borne inférieure Accès de liste, méthode du potentiel Les k serveurs, adversaires

Plus en détail

ACTUARIAT 1, ACT 2121, AUTOMNE 2013 #8

ACTUARIAT 1, ACT 2121, AUTOMNE 2013 #8 ACTUARIAT 1, ACT 2121, AUTOMNE 2013 #8 ARTHUR CHARPENTIER 1 Un contrat d assurance paie un maximum de 1 et comprend un déductible de 1 (c est-à-dire, perte de 0 à 1 elle ne rembourse rien, perte de 1 à

Plus en détail

Probabilités 5. Simulation de variables aléatoires

Probabilités 5. Simulation de variables aléatoires Probabilités 5. Simulation de variables aléatoires Céline Lacaux École des Mines de Nancy IECL 27 avril 2015 1 / 25 Plan 1 Méthodes de Monte-Carlo 2 3 4 2 / 25 Estimation d intégrales Fiabilité d un système

Plus en détail

Lois de probabilité à densité Loi normale

Lois de probabilité à densité Loi normale DERNIÈRE IMPRESSIN LE 31 mars 2015 à 14:11 Lois de probabilité à densité Loi normale Table des matières 1 Lois à densité 2 1.1 Introduction................................ 2 1.2 Densité de probabilité

Plus en détail

Master IAD Module PS. Reconnaissance de la parole (suite) Modèles de Markov et bases de données. Gaël RICHARD Février 2008

Master IAD Module PS. Reconnaissance de la parole (suite) Modèles de Markov et bases de données. Gaël RICHARD Février 2008 Master IAD Module PS Reconnaissance de la parole (suite) Modèles de Markov et bases de données Gaël RICHARD Février 2008 1 Reconnaissance de la parole Introduction Approches pour la reconnaissance vocale

Plus en détail

Chapitre 6 : Génération aléatoire

Chapitre 6 : Génération aléatoire Chapitre 6 : Génération aléatoire Alexandre Blondin Massé Laboratoire d informatique formelle Université du Québec à Chicoutimi 12 février 2013 Cours 8STT105 Département d informatique et mathématique

Plus en détail

Chapitre 3 : INFERENCE

Chapitre 3 : INFERENCE Chapitre 3 : INFERENCE 3.1 L ÉCHANTILLONNAGE 3.1.1 Introduction 3.1.2 L échantillonnage aléatoire 3.1.3 Estimation ponctuelle 3.1.4 Distributions d échantillonnage 3.1.5 Intervalles de probabilité L échantillonnage

Plus en détail

Modélisation coalescente pour la détection précoce d un cancer

Modélisation coalescente pour la détection précoce d un cancer Modélisation coalescente pour la détection précoce d un cancer Mathieu Emily 27 Novembre 2007 Bioinformatics Research Center - Université d Aarhus Danemark Mathieu Emily Coalescence et cancer 1 Introduction

Plus en détail

Problème de contrôle optimal pour une chaîne de Markov

Problème de contrôle optimal pour une chaîne de Markov Problème de contrôle optimal pour une chaîne de Markov cours ENSTA MA206 Il s agit de résoudre un problème d arrêt optimal pour une chaîne de Markov à temps discret. Soit X n une chaîne de Markov à valeurs

Plus en détail

Algorithmique et Simulation

Algorithmique et Simulation Licence3 SV Université Nice Sophia Antipolis April 8, 2013 Plan Simulation à Événements Discrets 1 Simulation à Événements Discrets Schéma général Simulation à Événements Discrets objet de l étude (réel

Plus en détail

Exercices théoriques

Exercices théoriques École normale supérieure 2008-2009 Département d informatique Algorithmique et Programmation TD n 9 : Programmation Linéaire Avec Solutions Exercices théoriques Rappel : Dual d un programme linéaire cf.

Plus en détail

Modèles stochastiques et applications à la finance

Modèles stochastiques et applications à la finance 1 Université Pierre et Marie Curie Master M1 de Mathématiques, 2010-2011 Modèles stochastiques et applications à la finance Partiel 25 Février 2011, Durée 2 heures Exercice 1 (3 points) On considère une

Plus en détail

Examen d accès - 1 Octobre 2009

Examen d accès - 1 Octobre 2009 Examen d accès - 1 Octobre 2009 Aucun document autorisé - Calculatrice fournie par le centre d examen Ce examen est un questionnaire à choix multiples constitué de 50 questions. Plusieurs réponses sont

Plus en détail

Simulation de variables aléatoires

Simulation de variables aléatoires Simulation de variables aléatoires S. Robin INA PG, Biométrie Décembre 1997 Table des matières 1 Introduction Variables aléatoires discrètes 3.1 Pile ou face................................... 3. Loi de

Plus en détail

A propos du calcul des rentabilités des actions et des rentabilités moyennes

A propos du calcul des rentabilités des actions et des rentabilités moyennes A propos du calcul des rentabilités des actions et des rentabilités moyennes On peut calculer les rentabilités de différentes façons, sous différentes hypothèses. Cette note n a d autre prétention que

Plus en détail

Méthodes de Monte-Carlo Simulation de grandeurs aléatoires

Méthodes de Monte-Carlo Simulation de grandeurs aléatoires Méthodes de Monte-Carlo Simulation de grandeurs aléatoires Master Modélisation et Simulation / ENSTA TD 1 2012-2013 Les méthodes dites de Monte-Carlo consistent en des simulations expérimentales de problèmes

Plus en détail

Master IMEA 1 Calcul Stochastique et Finance Feuille de T.D. n o 1

Master IMEA 1 Calcul Stochastique et Finance Feuille de T.D. n o 1 Master IMEA 1 Calcul Stochastique et Finance Feuille de T.D. n o 1 1. a. On considère un modèle de marché (B, S) à une étape. On suppose que S = 5 C et qu à la date t = 1 on a (S u 1 = 51, S d 1 = 48).

Plus en détail

Organisation du parcours M2 IR Les unités d enseignements (UE) affichées dans la partie tronc commun sont toutes obligatoires, ainsi que le stage et

Organisation du parcours M2 IR Les unités d enseignements (UE) affichées dans la partie tronc commun sont toutes obligatoires, ainsi que le stage et Organisation du parcours M2 IR Les unités d enseignements (UE) affichées dans la partie tronc commun sont toutes obligatoires, ainsi que le stage et l'anglais. L'étudiant a le choix entre deux filières

Plus en détail

Baccalauréat ES Nouvelle-Calédonie 2 mars 2015

Baccalauréat ES Nouvelle-Calédonie 2 mars 2015 Baccalauréat ES Nouvelle-Calédonie mars 015 A. P. M. E. P. EXERCICE 1 Commun à tous les candidats On considère la fonction f définie pour tout réel x de l intervalle [1,5 ; 6] par : f (x)=(5x 3)e x. On

Plus en détail

Cours 1: lois discrétes classiques en probabilités

Cours 1: lois discrétes classiques en probabilités Cours 1: lois discrétes classiques en probabilités Laboratoire de Mathématiques de Toulouse Université Paul Sabatier-IUT GEA Ponsan Module: Stat inférentielles Définition Quelques exemples loi d une v.a

Plus en détail

Université René Descartes Faculté de Pharmacie - Master Professionnel Dimension Économique des Produits de Santé 14 décembre 2005

Université René Descartes Faculté de Pharmacie - Master Professionnel Dimension Économique des Produits de Santé 14 décembre 2005 Université René Descartes Faculté de Pharmacie - Master Professionnel Dimension Économique des Produits de Santé 14 décembre 2005 Prise en Compte de l Incertitude dans l Évaluation des Technologies de

Plus en détail

Séminaire de Statistique

Séminaire de Statistique Master 1 - Economie & Management Séminaire de Statistique Support (2) Variables aléatoires & Lois de probabilité R. Abdesselam - 2013/2014 Faculté de Sciences Economiques et de Gestion Université Lumière

Plus en détail

CONCOURS GÉNÉRAL DES LYCÉES SESSION DE 2009 COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES. (Classe terminale S)

CONCOURS GÉNÉRAL DES LYCÉES SESSION DE 2009 COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES. (Classe terminale S) MA 09 CONCOURS GÉNÉRAL DES LYCÉES SESSION DE 009 COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES (Classe terminale S) DURÉE : 5 heures La calculatrice de poche est autorisée, conformément à la réglementation. La clarté et

Plus en détail

Ordonnancement des processus. Didier Verna. didier@lrde.epita.fr http://www.lrde.epita.fr/ didier. Systèmes d Exploitation. Didier Verna EPITA

Ordonnancement des processus. Didier Verna. didier@lrde.epita.fr http://www.lrde.epita.fr/ didier. Systèmes d Exploitation. Didier Verna EPITA 1/16 Ordonnancement des processus didier@lrde.epita.fr http://www.lrde.epita.fr/ didier 2/16 Table des matières 1 Ordonnancement et réquisition d ordonnancement 2 d ordonnancement Premier arrivé premier

Plus en détail

Approche hybride De la correction des erreurs à la sélection de variables

Approche hybride De la correction des erreurs à la sélection de variables Approche hybride De la correction des erreurs à la sélection de variables G.M. Saulnier 1, W. Castaing 2 1 Laboratoire EDYTEM (UMR 5204, CNRS, Université de Savoie) 2 TENEVIA (http://www.tenevia.com) Projet

Plus en détail

Exercices sur les lois de probabilités continues

Exercices sur les lois de probabilités continues Terminale S Exercices sur les lois de probabilités continues Exercice n 1 : X est la variable aléatoire de la loi continue et uniforme sur [0 ; 1]. Donner la probabilité des événements suivants : a. b.

Plus en détail

Cours de spécialité mathématiques en Terminale ES

Cours de spécialité mathématiques en Terminale ES Cours de spécialité mathématiques en Terminale ES O. Lader 2014/2015 Lycée Jean Vilar Spé math terminale ES 2014/2015 1 / 51 Systèmes linéaires Deux exemples de systèmes linéaires à deux équations et deux

Plus en détail

Le programme de mathématiques Classes de première STI2D STL

Le programme de mathématiques Classes de première STI2D STL Journée de l inspection 15 avril 2011 - Lycée F. BUISSON 18 avril 2011 - Lycée J. ALGOUD 21 avril 2011 - Lycée L. ARMAND Le programme de mathématiques Classes de première STI2D STL Déroulement de la journée

Plus en détail

STATISTIQUES A UNE VARIABLE EXERCICES CORRIGES

STATISTIQUES A UNE VARIABLE EXERCICES CORRIGES STATISTIQUES A UNE VARIALE EXERCICES CORRIGES Exercice n Les élèves d une classe ont obtenu les notes suivantes lors d un devoir : Note 4 5 8 0 4 5 8 0 Effectif 4 7 6 4 ) Déterminer l étendue et le mode

Plus en détail

Cours Systèmes d exploitation 1

Cours Systèmes d exploitation 1 Cours Systèmes d exploitation 1 Achraf Othman Support du cours : www.achrafothman.net 1 Plan du cours Chapitre 1 : Gestion des processus Chapitre 2 : Ordonnancement des processus Chapitre 3 : La communication

Plus en détail

BACCALAUREAT GENERAL MATHÉMATIQUES

BACCALAUREAT GENERAL MATHÉMATIQUES BACCALAUREAT GENERAL FEVRIER 2014 MATHÉMATIQUES SERIE : ES Durée de l épreuve : 3 heures Coefficient : 5 (ES), 4 (L) 7(spe ES) Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformement à la

Plus en détail

Travaux Dirigés de Probabilités - Statistiques, TD 4. Lois limites ; estimation.

Travaux Dirigés de Probabilités - Statistiques, TD 4. Lois limites ; estimation. Travaux Dirigés de Probabilités - Statistiques, TD 4 Lois limites ; estimation. Exercice 1. Trois machines, A, B, C fournissent respectivement 50%, 30%, 20% de la production d une usine. Les pourcentages

Plus en détail

TD 4 : HEC 2001 épreuve II

TD 4 : HEC 2001 épreuve II TD 4 : HEC 200 épreuve II Dans tout le problème, n désigne un entier supérieur ou égal à 2 On dispose de n jetons numérotés de à n On tire, au hasard et sans remise, les jetons un à un La suite (a, a 2,,

Plus en détail

Le corps R des nombres réels

Le corps R des nombres réels Le corps R des nombres réels. Construction de R à l aide des suites de Cauchy de nombres rationnels On explique brièvement dans ce paragraphe comment construire le corps R des nombres réels à partir du

Plus en détail

Actuariat I ACT2121. huitième séance. Arthur Charpentier. Automne 2012. charpentier.arthur@uqam.ca. http ://freakonometrics.blog.free.

Actuariat I ACT2121. huitième séance. Arthur Charpentier. Automne 2012. charpentier.arthur@uqam.ca. http ://freakonometrics.blog.free. Actuariat I ACT2121 huitième séance Arthur Charpentier charpentier.arthur@uqam.ca http ://freakonometrics.blog.free.fr/ Automne 2012 1 Exercice 1 Soit X une variable aléatoire continue de fonction de densité

Plus en détail

TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité 1

TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité 1 TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité I Loi uniforme sur ab ; ) Introduction Dans cette activité, on s intéresse à la modélisation du tirage au hasard d un nombre réel de l intervalle [0 ;], chacun

Plus en détail

Principes de Finance

Principes de Finance Principes de Finance 13. Théorie des options II Daniel Andrei Semestre de printemps 2011 Principes de Finance 13. Théorie des options II Printemps 2011 1 / 34 Plan I Stratégie de réplication dynamique

Plus en détail

Loi normale ou loi de Laplace-Gauss

Loi normale ou loi de Laplace-Gauss LivreSansTitre1.book Page 44 Mardi, 22. juin 2010 10:40 10 Loi normale ou loi de Laplace-Gauss I. Définition de la loi normale II. Tables de la loi normale centrée réduite S il y avait une seule loi de

Plus en détail

Master Modélisation Statistique M2 Finance - chapitre 1. Gestion optimale de portefeuille, l approche de Markowitz

Master Modélisation Statistique M2 Finance - chapitre 1. Gestion optimale de portefeuille, l approche de Markowitz Master Modélisation Statistique M2 Finance - chapitre 1 Gestion optimale de portefeuille, l approche de Markowitz Clément Dombry, Laboratoire de Mathématiques de Besançon, Université de Franche-Comté.

Plus en détail

Probabilités et Statistiques. Feuille 2 : variables aléatoires discrètes

Probabilités et Statistiques. Feuille 2 : variables aléatoires discrètes IUT HSE Probabilités et Statistiques Feuille : variables aléatoires discrètes 1 Exercices Dénombrements Exercice 1. On souhaite ranger sur une étagère 4 livres de mathématiques (distincts), 6 livres de

Plus en détail

Evaluation de performances

Evaluation de performances Evaluation de performances, LORIA Université de Lorraine / (song@loria.fr) Master Informatique, Spécialité SSR, UE Réseaux avancés, Support de cours pour la partie évaluation de performances - - Evaluation

Plus en détail

Épreuve de mathématiques Terminale ES 200 minutes

Épreuve de mathématiques Terminale ES 200 minutes Examen 2 Épreuve de mathématiques Terminale ES 200 minutes L usage de la calculatrice programmable est autorisé. La bonne présentation de la copie est de rigueur. Cet examen comporte 7 pages et 5 exercices.

Plus en détail

Exercices : Probabilités

Exercices : Probabilités Exercices : Probabilités Partie : Probabilités Exercice Dans un univers, on donne deux événements et incompatibles tels que =0, et =0,7. Calculer,, et. Exercice Un dé (à faces) est truqué de la façon suivante

Plus en détail

Télégestion et logiciels, des auxiliaires pour une gestion patrimoniale performante

Télégestion et logiciels, des auxiliaires pour une gestion patrimoniale performante Programme Rencontre Technique ASCOMADE Télégestion et logiciels, des auxiliaires pour une gestion patrimoniale performante Présentation du logiciel de modélisation EPANET 1 Présentation du Logiciel Rôle

Plus en détail

Chapitre 5 : Flot maximal dans un graphe

Chapitre 5 : Flot maximal dans un graphe Graphes et RO TELECOM Nancy A Chapitre 5 : Flot maximal dans un graphe J.-F. Scheid 1 Plan du chapitre I. Définitions 1 Graphe Graphe valué 3 Représentation d un graphe (matrice d incidence, matrice d

Plus en détail

POLY-PREPAS Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux

POLY-PREPAS Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux POLY-PREPAS Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux - Sections : L1 Santé - 1 Olivier CAUDRELIER oc.polyprepas@orange.fr Chapitre 1 : Equations aux dimensions 1. Equation aux dimensions a) Dimension

Plus en détail

Problèmes de fiabilité dépendant du temps

Problèmes de fiabilité dépendant du temps Problèmes de fiabilité dépendant du temps Bruno Sudret Dépt. Matériaux et Mécanique des Composants Pourquoi la dimension temporelle? Rappel Résistance g( RS, ) = R S Sollicitation g( Rt (), St (),) t =

Plus en détail

POLY-PREPAS ANNEE 2009/2010 Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux

POLY-PREPAS ANNEE 2009/2010 Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux POLY-PREPAS ANNEE 2009/2010 Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux - Section : i-prépa Audioprothésiste (annuel) - MATHEMATIQUES 8 : EQUATIONS DIFFERENTIELLES - COURS + ENONCE EXERCICE - Olivier

Plus en détail

TP1 Méthodes de Monte Carlo et techniques de réduction de variance, application au pricing d options

TP1 Méthodes de Monte Carlo et techniques de réduction de variance, application au pricing d options Université de Lorraine Modélisation Stochastique Master 2 IMOI 2014-2015 TP1 Méthodes de Monte Carlo et techniques de réduction de variance, application au pricing d options 1 Les options Le but de ce

Plus en détail

Probabilités Loi exponentielle Exercices corrigés

Probabilités Loi exponentielle Exercices corrigés Probabilités Loi exponentielle Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l exercice pour un accès direct) Exercice 1 : densité de probabilité Exercice 2 : loi exponentielle de paramètre

Plus en détail

Mathématiques et Applications 57. Modèles aléatoires. Applications aux sciences de l'ingénieur et du vivant

Mathématiques et Applications 57. Modèles aléatoires. Applications aux sciences de l'ingénieur et du vivant Mathématiques et Applications 57 Modèles aléatoires Applications aux sciences de l'ingénieur et du vivant Bearbeitet von Jean-François Delmas, Benjamin Jourdain 1. Auflage 2006. Taschenbuch. xxv, 431 S.

Plus en détail

Moments des variables aléatoires réelles

Moments des variables aléatoires réelles Chapter 6 Moments des variables aléatoires réelles Sommaire 6.1 Espérance des variables aléatoires réelles................................ 46 6.1.1 Définition et calcul........................................

Plus en détail

IFT6561. Simulation: aspects stochastiques

IFT6561. Simulation: aspects stochastiques IFT 6561 Simulation: aspects stochastiques DIRO Université de Montréal Automne 2013 Détails pratiques Professeur:, bureau 3367, Pav. A.-Aisenstadt. Courriel: bastin@iro.umontreal.ca Page web: http://www.iro.umontreal.ca/~bastin

Plus en détail

TS. 2012/2013. Lycée Prévert. Corrigé du contrôle n 3. Durée : 3 heures. Mardi 20/11/12

TS. 2012/2013. Lycée Prévert. Corrigé du contrôle n 3. Durée : 3 heures. Mardi 20/11/12 TS. 01/013. Lycée Prévert. Corrigé du contrôle n 3. Durée : 3 heures. Mardi 0/11/1 Exercice 1 : ( 6,5 pts) Première partie : Démonstration à rédiger { Démontrer que si ( ) et (v n ) sont deux suites telles

Plus en détail

Master Modélisation Statistique M2 Finance - chapitre 3 Modèles financiers discrets

Master Modélisation Statistique M2 Finance - chapitre 3 Modèles financiers discrets Master Modélisation Statistique M2 Finance - chapitre 3 Modèles financiers discrets Clément Dombry, Laboratoire de Mathématiques de Besançon, Université de Franche-Comté. C.Dombry (Université de Franche-Comté)

Plus en détail

Test de Poisson à 1 échantillon et à 2 échantillons

Test de Poisson à 1 échantillon et à 2 échantillons Test de Poisson à 1 échantillon et à 2 échantillons Sous-menus de Minitab 15 : Stat>Statistiques élémentaires>test de Poisson à 1 échantillon Stat>Statistiques élémentaires>test de Poisson à 2 échantillons

Plus en détail

Examen d accès - 28 Septembre 2012

Examen d accès - 28 Septembre 2012 Examen d accès - 28 Septembre 2012 Aucun document autorisé - Calculatrice fournie par le centre d examen Cet examen est un questionnaire à choix multiples constitué de 50 questions. Plusieurs réponses

Plus en détail

Feuille n 2 : Contrôle du flux de commandes

Feuille n 2 : Contrôle du flux de commandes Logiciels Scientifiques (Statistiques) Licence 2 Mathématiques Générales Feuille n 2 : Contrôle du flux de commandes Exercice 1. Vente de voiture Mathieu décide de s acheter une voiture neuve qui coûte

Plus en détail

Les méthodes d optimisation appliquées à la conception de convertisseurs électromécaniques. Elec 2311 : S7

Les méthodes d optimisation appliquées à la conception de convertisseurs électromécaniques. Elec 2311 : S7 Les méthodes d optimisation appliquées à la conception de convertisseurs électromécaniques Elec 2311 : S7 1 Plan du cours Qu est-ce l optimisation? Comment l optimisation s intègre dans la conception?

Plus en détail

Baccalauréat ES Nouvelle-Calédonie 2 mars 2015

Baccalauréat ES Nouvelle-Calédonie 2 mars 2015 Baccalauréat ES Nouvelle-Calédonie mars 015 A. P. M. E. P. EXERCICE 1 Commun à tous les candidats Soit f la fonction définie sur l intervalle [1,5 ; 6] par : f (x)=(5x )e x On note C la courbe représentative

Plus en détail

Couples de variables aléatoires discrètes

Couples de variables aléatoires discrètes Couples de variables aléatoires discrètes ECE Lycée Carnot mai Dans ce dernier chapitre de probabilités de l'année, nous allons introduire l'étude de couples de variables aléatoires, c'est-à-dire l'étude

Plus en détail

Table des matières. Préface... 11 Henri BAUDRAND. Introduction... 13

Table des matières. Préface... 11 Henri BAUDRAND. Introduction... 13 Table des matières Préface... 11 Henri BAUDRAND Introduction... 13 Chapitre 1. Fondements des réseaux satellitaires... 19 1.1. Introduction... 19 1.2. Orbites pour la satellisation... 20 1.2.1. Caractéristiques

Plus en détail

Les mathématiques appliquées de la finance

Les mathématiques appliquées de la finance Les mathématiques appliquées de la finance Utiliser le hasard pour annuler le risque Emmanuel Temam Université Paris 7 19 mars 2007 Emmanuel Temam (Université Paris 7) Les mathématiques appliquées de la

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme

Plus en détail

Équations récurrentes en finance

Équations récurrentes en finance Équations récurrentes en finance Daniel Justens Face à un problème concret, le mathématicien a plusieurs options. Il peut en donner une représentation très simplifiée et, dans ce cas, le problème se réduira

Plus en détail

Partie I : Automates et langages

Partie I : Automates et langages 2 Les calculatrices sont interdites. N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut

Plus en détail

Mth2302B - Intra Été 2011

Mth2302B - Intra Été 2011 École Polytechnique de Montréal page 1 Contrôle périodique Été 2011--------------------------------Corrigé--------------------------------------T.Hammouche Question 1 (12 points) Mth2302B - Intra Été 2011

Plus en détail

Étapes du développement et de l utilisation d un modèle de simulation

Étapes du développement et de l utilisation d un modèle de simulation Étapes du développement et de l utilisation d un modèle de simulation Étapes du développement et de l utilisation d un modèle de simulation Formulation du problème Cueillette et analyse de données Conception

Plus en détail

5 Méthodes algorithmiques

5 Méthodes algorithmiques Cours 5 5 Méthodes algorithmiques Le calcul effectif des lois a posteriori peut s avérer extrêmement difficile. En particulier, la prédictive nécessite des calculs d intégrales parfois multiples qui peuvent

Plus en détail