6 Tests du Khi-deux d indépendance et d homogénéité

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1 6 Tests du Khi-deux d idépedace et d homogééité Exercice 61 Test du Khi-deux d idépedace - Cotexte Deux variables qualitatives mesurées simultaémet sur ue populatio P : cadidats Variable X : «Résultat au test d aptitude», qualitative à l = 2 modalités Variable Y : «Résultat au test psychologique», qualitative à c = 2 modalités - Hypothèses : H 0 : les deux variables sot idépedates H 1 : les deux variables sot liées α = 1% - Observatios : O dispose d u échatillo de taille = 120 X \ Y itroverti extraverti total lige L i apte Effectifs observés ij : iapte total coloe C j = O calcule les effectifs théoriques L i C j X \ Y itroverti extraverti apte = 18 = iapte = 27 = ( - Statistique du test : Q 2 = Valeur observée de Q 2 : N ij L i C j L i C j ) 2 attedus sous H 0 : qobs 2 (14 18)2 (34 30)2 (31 27)2 (41 45)2 = = 2, Loi de Q 2 sous H 0 : O vérifie les coditios d applicatio du test : 30 et tous les effectifs théoriques sot supérieurs ou égaux à 5 Doc Q 2 approx χ2 à (l 1) (c 1) = 1 ddl - IA et RC pour Q 2 au risque α = 1% : O rejette H 0 pour les valeurs de Q 2 trop grades : RC à l extrémité droite du domaie de Q 2 IA = [0 ; 6, 635] où 6, 635 est le quatile d ordre 1 α = 0, 99 de la loi χ 2 à 1 ddl - Décisio : q 2 obs = 2, 37 IA, doc o coserve H 0 avec u risque d erreur β icou O e peut pas affirmer, au risque α = 1%, qu il existe u lie etre le type de persoalité et l aptitude au pilotage 25

2 Exercice 62 Test du Khi-deux d idépedace «Couleur des cheveux» (3 modalités) et «Couleur des yeux» (2 modalités) - Echatillo de taille = 528 Couleur des cheveux \Couleur des yeux bleus oirs clairs total lige L i châtais ou oirs 120, 91 91, 22 72, blods 103, 09 77, 78 62, total coloe C j = Valeur observée de la statistique du test : qobs 2 = 112, 36 - IA au risque α = 5 % : IA = [0 ; 5, 991] (loi χ 2 à 2 ddl) et qobs 2 Exercice 63 Test du Khi-deux d idépedace «Sexe» (2 modalités) et «Développemet de la maladie» (2 modalités) - Echatillo de taille = 700 Sexe \Développemet de la maladie oui o Total lige L i femme 28, , homme 21, , Total coloe C j = Valeur observée de la statistique du test : qobs 2 = 1, IA au risque α = 1 % : IA = [0 ; 6, 635] (loi χ 2 à 1 ddl) et qobs 2 IA Exercice 64 Test du Khi-deux d idépedace «Alimetatio» (3 modalités) et «Cacer» (2 modalités) - Echatillo de taille = 500 Alimetatio \Cacer cacer pas de cacer Total lige L i rapide 31, 25 93, végétariee 12, 50 37, traditioelle 81, , Total coloe C j = Valeur observée de la statistique du test : qobs 2 = 34, 4 - IA au risque α = 1 % : IA = [0 ; 9, 21] (loi χ 2 à 2 ddl) et qobs 2 26

3 Exercice 65 Test du Khi-deux d idépedace «Trouble» (2 modalités) et «Rattrapage» (2 modalités), chez les efats de derière aée - Echatillo de taille = 302 X\Y cours pas de cours Total lige L i ormaux 28, , déficit de l attetio 12, 63 80, Total coloe C j = Valeur observée de la statistique du test : qobs 2 = 5, IA au risque α = 5 % : IA = [0 ; 3, 841], (loi χ 2 à 1ddl) et qobs 2 Exercice 66 «Produit cosommé» (2 modalités) et «Crise cardiaque» (2 modalités) - Echatillo de taille = X\Y crise pas de crise Total lige L i aspirie 146, , placebo 146, , Total coloe C j = Valeur observée de la statistique du test : qobs 2 = 25, IA au risque α = 5 % : IA = [0 ; 3, 841] (loi χ 2 à 1ddl) et qobs 2 Exercice 67 Test du Khi-deux d homogééité Ue variable qualitative mesurée sur plusieurs populatios - Cotexte : { P1 : élèves du collège A c = 2 populatios : P 2 : élèves du collège B Variable X : «Participatio à u club sportif», qualitative à l = 2 modalités «oui» et «o» - Hypothèses : H 0 : les deux populatios sot homogèes (même taux de participatio) H 1 : les deux populatios e sot pas homogèes (taux de participatio différets) α = 1% - Observatios : O dispose de 2 échatillos idépedats prélevés das P 1 et P 2, de tailles respectives 1 = 50 et 2 = 60 Au total, o a tiré au sort = 110 idividus - Effectifs observés ij : 27

4 Participatio \ Echatillo collège A collège B total lige L i oui o total coloe C j = Effectifs théoriques L i C j : Participatio \ Echatillo collège A collège B oui 17, 27 20, 73 o 32, 73 39, 27 ( - Statistique du test : Q 2 = N ij L i C j L i C j Valeur observée de Q 2 : qobs 2 = 4, Loi de Q 2 sous H 0 : O vérifie les coditios d applicatio du test : 30 et tous les effectifs théoriques sot supérieurs ou égaux à 5 Doc Q 2 approx χ2 à (l 1) (c 1) = 1 ddl ) 2 - IA et RC pour Q 2 au risque α = 1% : O rejette H 0 pour les valeurs de Q 2 trop grades : RC à l extrémité droite du domaie de Q 2 IA = [0 ; 6, 635] où 6, 635 est le quatile d ordre 1 α = 0, 99 de la loi du χ 2 à 1 ddl - Décisio : q 2 obs = 4, 504 IA, doc o coserve H 0 avec u risque d erreur β icou Au iveau 1%, les résultats e sot pas sigificativemet différets das les deux collèges Exercice 68 Questio 1 Test du Khi-deux d homogééité «Résultat au test des gosies digitales»(2 modalités) das 3 populatios d efats : «Efats de 8 as», «Efats de 10 as», «Efats de 12 as» - 3 échatillos idépedats, de même taille 75 Total = 225 Résultat \Echatillos 8 as 10 as 12 as total lige L i réussite 40, 33 40, 33 40, échec 34, 67 34, 67 34, total coloe C j Valeur observée de la statistique du test : q 2 obs = 17, 2 - IA au risque α = 1 % : IA = [0 ; 9, 21], (loi χ 2 à 2 ddl) et q 2 obs Questio 2 Test sur ue proportio p : taux de réussite chez les efats de 8 as 28

5 - Hypothèses : H 0 : p = 0, 5 H 1 : p < 0, 5 uilatérale gauche α = 1 % - Observatios : = 75 ; f obs = 26 = 0, 347et z 0, 347 0, 5 75 obs = = 2, 65 0,5 0,5 75 Les coditios d applicatio du test sot vérifiées : = et 75 0, 5 = 75 (1 0, 5) 5 - IA pour F : IA = [0, 366 ; 1] et f obs - IA pour Z : IA = [ 2, 325 ; + [ et z obs - p-valeur α obs = P H0 (F 0, 347) = P H0 (Z 2, 65) 0, 4 % Exercice 69 «Résultat au test Droite-Gauche»(2 modalités) das 2 populatios : «Efats droitiers de 8 as», «Efats gauchers de 8 as» - 2 échatillos idépedats, de même taille 50 Total = 100 Résultat \Echatillos droitiers gauchers total lige L i réussite échec total coloe C j Valeur observée de la statistique du test : qobs 2 = 8, IA au risque α = 1 % : IA = [0 ; 6, 635], (loi χ 2 à 1 ddl) et qobs 2 29