Juin Partie I. 1- Partie gauche conservée. Equilibre en force : N = 0 T y + 0,05 = 0 T y = 0,05 MN

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1 Juin 21 Partie I 1- Partie gauche conservée Equilibre en force : N = T y +,5 = T y =,5 MN Equilibre en moment : M z,5 x = M z =,5 x Au final, au point B d abscisse x = 5m, N = T y =,5 MN M z =,25 MN. m 2- N = M z flexion simple autour de l axe Gz 3- Le calcul des contraintes normales est : σ = N S + M z y M y z I z I y N = M y = M z =,25 MN. m Et I z =,2,53 12 = 1 48 m4 En fibre supérieure : y sup = h 2 =,25 m σ sup =, En fibre inférieure : y inf = h 2 =,25 m σ sup =, ,25 = 3 MPa,25 = 3 MPa La répartition des contraintes normales en B est alors :

2 4- La feuille résumée donne le résultat suivant : La contrainte maximale en cisaillement vaut alors : τ max = 3,5 2,2,5 =,75 MPa 5- Lorsque τ =, σ² + 4τ² = σ Alors le critère mécanique devient : σ 3 MPa - Au niveau des fibres extrêmes, τ = et σ = 3 MPa, donc le critère mécanique est respecté. 7- Lorsque σ =, σ² + 4τ² = 2 τ Alors le critère mécanique devient :

3 8- Au niveau de G, les contraintes sont : σ = τ =,75 MPa 15 MPa donc le critère mécanique est respecté. 9- Pour les autres points de la section : et Ainsi, le critère de tresca vaut : 2 τ 3 MPa τ 15 MPa σ =, y = 12 y τ = 3,5 2,2,5 1 4 y²,5² =,75 12y² σ² + 4τ² = 12 y ² + 4,75 12y² ² = 57 y y² + 2,25 Et le critère mécanique est : 57 y y² + 2,25 3 MPa 57 y y² + 2, y y² 897,75 Or Donc,25 y,25 57 y y² 57, ,25² 57 y y² 897,75 Au final, le critère mécanique est respecté en tout point. 1- Le calcul des contraintes normales est : σ = N S + M z y M y z I z I y N = M y = M z =,25 MN. m Et I z =,283 m 4

4 En fibre supérieure : y sup =,15 m σ sup =,25,15 = 18 MPa,283 En fibre inférieure : y inf =,35 m σ inf =,25,35 = 42 MPa,283 La répartition des contraintes normales en B est alors : 11- Au niveau de la fibre inférieure, la contrainte normale vaut -42 MPa, donc le critère mécanique n est pas respecté. Il est donc interdit d utiliser cette section.

5 Partie II 1- Il s agit d un profil mince, donc e est négligeable devant b et h, ainsi les coordonnées de A sont : y A h 2 z A b 2 S = 2 e 2 b + h I y = eb² 3h + 2b I z = eh² b + h L antipolaire de A passe donc par les points : N 1 I eb² y 3h + 2b S z A 2 e 2 b + h b 2 b 3h + 2b 2 b + h N 2 I z S y A eh² b + h 2 e 2 b + h h 2 h b + h 2 b + h Les antipolaires de B, C et D sont obtenues par symétrie par rapport à G ou aux axes y et z, ainsi, le noyau central est :

6 2- Les coordonnées de A sont : y A = h 2 z A = b 2 S = b h I y = hb3 12 I z = bh3 12 L antipolaire de A passe donc par les points : N 1 I hb 3 y 12 S z A b h b 2 b

7 I z N 2 S y A bh 3 12 b h h 2 h Les antipolaires de B, C et D sont obtenues par symétrie par rapport à G ou aux axes y et z, ainsi, le noyau central est : Le noyau central du profil mince contient le noyau central de la section rectangulaire si : b 3h + 2b 2 b + h b h b + h 2 b + h h Vérification : h b + h 2 b + h b + h 2 b + h h 1 b + h 2 b + h 4b Cette relation est vérifiée.

8 b 3h + 2b 2 b + h 3h + 2b 2 b + h b 1 Cette relation est également vérifiée, donc 3h + 2b 2 b + h 2h le noyau central du profil mince contient le noyau central de la section rectangulaire 3- Le calcul des contraintes normales est : σ = N S + M z y M y z I z I y N = M y = M z =,25 MN. m Et I z = eh² b + h En fibre extrême : y extr ême =,25 m σ extrême = e min h² M z b + h y extr ême 3 MPa e min M z y h² extr ême = b + h 3 MPa = 5, m,5²,25,25 1,5 +,5 3 MPa e min 5,3 mm 4- Le calcul des contraintes normales est : σ = N S + M z y M y z I z I y N = M y = M z =,25 MN. m

9 Et I z = eh² b + h =.1 3,5² 1,5 +,5 =,2375 m 4 En fibre supérieure : y sup =,25 m σ sup =,25,25 2,3 MPa,2375 En fibre inférieure : y inf =,25 m σ inf =,25,25 2,3 MPa,2375 La répartition des contraintes normales en B est alors : 5- On effectue une coupure au niveau de la branche horizontale : Le moment statique de la surface Σ + vaut : S z Σ + = y GΣ + S Σ + = h 2 2 e z = h e z

10 τ A = par symétrie Or, τ M 2e τ A 2e = T y S z Σ + τ M = T y h z 2I z I z Donc τ M = I z,2375 m 4 T y,5 MN,5,5 z 5,2 z 2,2375 En posant B le point de l angle haut droit de la branche horizontale, z B =,75 m Donc : τ B 5,2,75 3,95 MPa On effectue une coupure au niveau de la branche verticale : Le moment statique de la surface Σ + vaut : S z Σ + = y GΣ + S Σ + = h 2 + y 2 e h 2 + y = e 2 y² h² 4

11 τ M e τ B 2e = T y S z Σ + τ M = T y 2 I z y² h² 4 I z + τ B 2 Donc I z,2375 m 4 T y,5 MN τ M =,5 2 y²,5² 4, ,95 2 τ M =,5,5 z 8,5 1,53 y² 2,2375 En posant B le point de l angle haut droit de la branche verticale, y B = -,25 m Donc : τ M 8,5 1,53,25 ² 7,9 MPa En posant C le point d ordonnée y C = m Il vient que : τ C = τ max 8,5 1,53 ² 8,5 MPa

12 Cas de charge P - La situation est : : e = m e L =,2 m A une abscisse x donnée, l équilibre de la section est modélisée par : Ainsi, l excentrement en fonction de x vaut : e x =,4 x L angle α peut être calculé par : tan α = e L L α 2,29 P n et P t sont les composantes de P selon les axes x et y et valent : P n =,5 cos 2,29 =,495 MN P t =,5 sin 2,29 =,2 MN Ce travail préliminaire réalisé, il reste à calculer l équilibre pour connaître le torseur induit de la précontrainte : Equilibre selon l axe x : N + P n = N = P n Equilibre selon l axe y : T y P t = T y = P t Equilibre du moment autour de l axe z : M z e(x) P n = M z = e(x) P n Puis la répartition des contraintes normales se calcule avec le torseur suivant : N =,495 MN M z =,4 x,495 =,2 MN. m

13 Et la répartition des contraintes tangentes se calcule avec l effort tranchant T y =,2 MN Ainsi les diagrammes de sollicitations sont : 7- Le calcul des contraintes normales est : σ = N S + M z y M y z I z I y Et N =,945 MN M y = M z =,13 MN. m I z = eh² b + h =. 1 3,5² S = 2 e 2b + h =,42 m² 1,5 +,5 =,2375 m 4 En fibre supérieure : y sup =,25 m σ sup =,945 +,13,25 3,2 MPa,42,2375 En fibre inférieure :

14 y inf =,25 m σ inf =,945 +,13,25 2,85 MPa,42,2375 La répartition des contraintes normales en B est alors : 8- Le calcul des contraintes normales est : σ = N S + M z y M y z I z I y N =,945 MN M y = M z = MN. m Et S = 2 e 2b + h =,42 m² En tout point : σ =,945 1,54 MPa,42 La répartition des contraintes normales en A est alors :

15 Cas de charge F+P 9- Section B F seul σ sup 2,3 MPa σ inf 2,3 MPa P seul σ sup 3,2 MPa σ inf 2,9 MPa F+P σ sup 2,3 3,2 = 3,9MPa σ inf 2,3 2,9 = 29,2 MPa Section A σ sup MPa σ inf MPa σ sup 1,5 MPa σ inf 1,5 MPa σ sup 1,5 MPa σ inf 1,5 MPa 1- Il y a un cisaillement identique pour les sections A et B F seul P seul F+P Sections A et B T y =,5 MN T y =,2 MN T y =,5,2 =,24 MN La répartition est identique à celle du cas de charge «F seule», mais les valeurs de contraintes suivent la règle de proportionnalité suivante : τ F+P τ F = T y(f+p) T y(f) τ F+P = T y(f+p) T y(f) τ F =,48 τ F

16 11- Les moments fléchissant selon les axes y et z, ainsi que l effort normal n est pas modifié par l excentrement. Ainsi, les contraintes normales ne sont pas modifiées. Concernant les contraintes de cisaillement, elles sont modifiées car l excentrement crée un moment de torsion égal à : Force excentrement =,5,75 =,375 MN. m Il s agit d un profil mince fermé donc : t i = M t e i 2Σ int : Et Σ int 1,5,5 =,75 m² e horizontale e verticale =,12 m =, m Donc sur la branche verticale : Donc sur la branche horizontale : t verticale = t horizontale =,375 = 4,17 MPa, 2,75,375 = 2,8 MPa,12 2,75 Il faut donc ajouter aux contraintes de cisaillement les contraintes suivantes :