BTS Mécanique et Automatismes Industriels. Fiabilité

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1 BTS Mécanique e Auomaismes Indusriels Fiabilié Lcée Louis Armand, Poiiers, Année scolaire 23 24

2 . Premières noions de fiabilié Fiabilié Dans ou ce paragraphe, nous nous inéressons à un disposiif choisi au hasard dans une populaion consiuée des disposiifs du même pe. On désigne par T la variable aléaoire qui, à ou disposiif choisi au hasard dans la populaion, associe son emps de bon foncionnemen ou sa durée de vie avan une défaillance. Pour simplifier, l origine des emps = es choisie lorsque le disposiif es mis en marche pour la première fois. Nore variable T es donc une variable aléaoire coninue à valeurs dans [; + [. Nous noerons f la densié de probabilié de la variable T.. - Foncion de défaillance Foncion de fiabilié On appelle foncion de défaillance la foncion F définie pour ou F() = P(T ) Le nombre F() représene la probabilié qu un disposiif choisi au hasard dans la populaion ai une défaillance avan l insan. F () = f(x) x Cee foncion nous amène naurellemen une foncion associée : la foncion de fiabilié R définie pour ou R() = F() Le nombre R() représene la probabilié qu un disposiif choisi au hasard dans la populaion n ai pas de défaillance avan l insan. = F () = R().2 - Taux d avarie insanané Sur la courbe représenaive de la foncion de défaillance F, on s inéresse à la pene de la angene pour un insan donné. (Cee pene es égale à F ().) On appelle aux d avarie insanané à l insan ce nombre, e on le noe (). On monre que l on a pour ou : () = f () R()

3 Remarques : Comme R() = F(), on monre facilemen que l on a égalemen : () = R () R() e () = f () F() Les relaions précédenes permeen donc de rouver () si l on connaî F() ou R(). Inversemen, si l on connaî (), on peu obenir R() (respecivemen F()) comme soluion de l équaion différenielle du premier ordre : R () R() = () (respecivemen F () F() = () ) On a alors R() = e (x) dx e F() = e (x) dx On consae expérimenalemen que, pour la plupar des maériels, la courbe représenaive du aux d avarie insanané () a la forme donnée par la figure ci-dessous. Elle es appelée courbe en baignoire e compore 3 paries disinces : pannes précoces vie uile usure = () O À gauche, la période de débu de foncionnemen, où le aux d avarie insanané décroî avec le emps, car les pannes précoces dues à des défaus de fabricaion ou de concepion son de moins en moins nombreuses. Au cenre, la période de maurié, ou vie uile, où le aux d avarie insanané rese à peu près consan ; pendan cee période, les pannes paraissen dues au hasard. À droie, la période d usure, où le aux d avarie insanané augmene avec le emps, car les pannes son dues à l usure croissane du maériel..3 - MTBF On appelle Moenne des Temps de Bon Foncionnemen (MTBF) l espérance mahémaique de la variable aléaoire T. On a donc MT BF = E(T ) = + f () d À l origine, le sigle MT BF provien de l expression Mean Time Beween Failures qui signifie emps moen enre deux défaillances..4 - Fiabilié d un ssème Pour un ssème consiués de n composans monés en série (le bon foncionnemen de chacun éan indépendan du bon foncionnemen des aures), on monre que l on a R(T) = R () R 2 () R n () 2

4 , Fiabilié où R, R 2,, R n son les foncions de fiabiliés respecives des n composans. (En effe, le ssème es défaillan dès qu un seul composan es défaillan.) Pour un ssème consiués de n composans monés en parallèles (le bon foncionnemen de chacun éan indépendan du bon foncionnemen des aures), on monre que l on a F(T ) = F () F 2 () F n () où F, F 2,, F n son les foncions de défaillances respecives des n composans. (En effe, le ssème es foncionnel dès qu un seul composan es foncionnel.) 2. Loi exponenielle 2. - Les foncions La loi exponenielle es la loi suivie par la variable aléaoire T lorsque le aux d avarie es consan. Auremen di, pour ou, on a où es une consane réelle sricemen posiive. () = Cee loi concerne ous les maériels pendan une durée de leur vie (vie uile) e les maériels élecroniques pendan presque oue leur vie. La foncion de fiabilié es définie pour ou R() = e La foncion de défaillance es définie pour ou F() = e La densié de probabilié de la variable aléaoire T es définie pour ou f () = e = f() F ( ) R( ) Si la variable aléaoire T sui une loi exponenielle de paramère, alors on aura ln R() = représenaion graphique de la courbe = R() sur un papier semi-logarihmique sera une droie. e la 3

5 = R() / MTBF Écar-pe On admera que, pour la loi exponenielle de paramère, on a E(T) = = MT BF On monre égalemen que : pour = = MT BF, on a R() 368. Enfin, on admera que l écar-pe de la variable aléaoire T es σ(t ) = = MT BF 3. Exercices Exercice : Fiabilié d un pe de composan On considère des composans d un cerain pe. On adme que la variable aléaoire T qui associe à ou composan iré au hasard sa durée de vie exprimée en jours sui la loi exponenielle définie par R() = e 2. Déerminer la probabilié que l un de ces composans ai une durée de vie supérieure à 2 jours. 2. Déerminer la MTBF e l écar-pe de T. 3. déerminer la valeur de pour laquelle p(t ) = 5. Exercice 2 : Déerminer le paramère d une loi exponenielle Une variable aléaoire T sui une loi exponenielle.. Déerminer le paramère de cee loi sachan que P(T 7) = Les valeurs prises par T éan des heures, déerminer la MTBF e l écar-pe de T. 3. Calculer P(T 3). Exercice 3 : Déerminaion graphique de MTBF pour une loi exponenielle On a mesuré pour 2 élémens du même pe la durée de vie, en heures, avan la première défaillance. Après calculs, on a obenu le ableau suivan : i R() en %

6 . Porer les poins ( i ; R( i )) sur le graphique ci-dessous On désigne par T la variable aléaoire qui, à ou disposiif choisi au hasard dans la populaion des disposiifs de même pe que celui éudié plus hau, associe sa durée de vie avan une défaillance. Pourquoi es-il légiime de supposer que T sui une loi exponenielle? 3. a) Tracer sur le graphique précéden une droie d ajusemen affines pour les poins marqués. b) Lire alors la MTBF de la variable aléaoire T. c) En déduire le paramère de la loi exponenielle. 4. Reprendre la quesion 3. en faisan cee fois-ci un ajusemen par la méhode des moindres carrés. Exercice 4 : Fiabilié de la pièce JB 7 Un echnicien supérieur en mainenance a éé chargé d éudier plus pariculièremen le cas de la pièce JB 7. Son hisorique lui perme de connaîre les durées de vie des pièces de ce pe déjà uilisées. Elles son consignées dans le ableau suivan : no d ordre durée de vie (en h) a) On noe R() la probabilié de survie du maériel à la dae. En uilisan une feuille de papier semilogarihmique, jusifier l approche de R() apr une loi exponenielle. b) Déerminer graphiquemen la MATBF d une pièce JB 7. Monrer que l on peu prendre pour valeur approchée du paramère de la loi exponenielle la valeur Déerminer par le calcul à quel insan la fiabilié d une pièce JB 7 es égale à 8%. Commen vérifier ce résula graphiquemen? 3. On envisage de placer deux pièces JB 7 en parallèle, c es à dire de elle sore que le ssème foncionne an que l une des deux pièces es en éa de foncionnemen. Éan donné qu à l insan la fiabilié d une pièce JB 7 es de 8%, déerminer, à ce insan, celle du ssème ainsi formé. (On adme que les deux pièces foncionnen de façon indépendane.) 4. Quelle aurai éé la fiabilié à l insan si, au lieu de placer les deux pièces en parallèle, on les avai placées en série, c es-à-dire de elle sore que le ssème soi défaillan dès que l une des deux pièces casse? (On admera encore l indépendance de foncionnemen des deux pièces.) 5

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