Étude d un algorithme pour l inversion des opérateurs linéaires proposé par Jean-Marie Souriau

Transcription

1 Étude d un algorithme pour l inversion des opérateurs linéaires proposé par Jean-Marie Souriau Recherche bibliographique pour la license du CNAM (L1) Adrien Gallouët 2008 L algorithme que je vais exposer ici permet de calculer l inverse d un opérateur linéaire régulier définit dans un espace vectoriel de dimension finie. Il a été proposé par Jean-Marie Souriau dans son livre Calcul linéaire 1 [1]. 1 Le personnage Jean-Marie Souriau est un mathématicien français assez original. En effet, pour lui les ensembles ne sont pas les objets fondamentaux des mathématiques! Ce qui peut choquer voir bloquer n importe quel étudiant d aujourd hui dans l étude de ses textes. Il définit les espaces vectoriels d une manière beaucoup plus simple que dans les livres classiques. Cela peut sembler inutile au premier abord, mais elle permet d éviter dans certain cas l utilisation de l induction transfinie, ce qui peut vraiment aider le jeune étudiant qui aime approfondir les choses. Il propose une nouvelle méthode pour l étude des propriétés spéctrales des opérateurs algébriques. Cette méthode permet entre autre d obtenir très facilement les théories classiques (trigonalisation, diagonalisation, décomposition de Dunford et réduction de Jordan). En partant des idées de Félix Klein, il définit dans son livre Géométrie et relativité [2] la notion d espace (espace vectoriel, espace topologique, etc) et de géométrie (géométrie euclidienne, géométrie symplectique, géométrie différentielle, géométrie algébrique, etc). Il peut ainsi généraliser la théorie des revêtements et la théorie de la variance dans un espace quelconque. Pour l instant je n ai parlé que de mathématiques, mais il est surtout connu pour ses contributions à la physique! Souriau est donc un inventeur, peut-être qu il est temps que l on se mette à boire du Fernet-Branca, car il attribue un grand nombre de ses découvertes à cette boisson. 1. Chapitre

2 2 La forme volume : un outil fondamental Dans un espace vectoriel E de dimension n on peut montrer que l espace vectoriel des n- formes 2 de E est de dimension 1. Si on choisit une base e 1,e 2,,e n de E on peut définir une n-forme particulière appelée forme volume 3 et notée vol qui vérifie 4 vol(e 1 )(e 2 ) (e n )=1 (1) Si on se donne un opérateur linéaire A de E dans E on peut alors montrer qu il existe toujours : Le nombre déterminant dea noté dét(a) tel que dét(a) vol(x 1 )(x 2 ) (x n ) = vol(ax 1 )(Ax 2 ) (Ax n ) (2) L opérateur linéaire adjoint dea noté adj(a) tel que vol(adj(a)x 1 )(x 2 ) (x n ) = vol(x 1 )(Ax 2 ) (Ax n ) (3) Le nombre trace dea noté tr(a) tel que tr(a) vol(x 1 )(x 2 ) (x n ) = vol(ax 1 )(x 2 ) (x n ) + vol(x 1 )(Ax 2 ) (x n ). + vol(x 1 )(x 2 ) (Ax n ) (4) On voit tout de suite que dét(a) 0si et seulement si vol(ae 1 )(Ae 2 ) (Ae n ) 0. Comme vol est un opérateur complètement antisymétrique, la famille de vecteur Ae 1, Ae 2,, Ae n est linéairement indépendante, on a donc dét(a) 0 A régulier (5) Si on remplace x 1 par Ax 1 dans la définition (3) de l opérateur adjoint, on trouve vol(adj(a)ax 1 )= vol(dét(a)x 1 ), comme vol est régulier et que x 1 est arbitraire on obtient finalement Si A est régulier on trouve la formule importante adj(a)a = dét(a) id (6) A 1 = adj(a) dét(a) (7) On voit alors que adj(a) correspond à la transposée de la comatrice de A Une p-forme est un opérateur p-linéaire complètement antisymétrique à valeur scalaire. 3. Car le volume du parallélépipède engendré par les vecteurs x 1,x 2,,x n est vol(x 1)(x 2) (x n). 4. J utilise ici la notation de Souriau pour les opérateurs multiples, elle est très pratique pour le calcul linéaire (et en particulier pour le calcul tensoriel). De plus, cette notation n est pas vraiment à définir car elle s interprète comme la chaine d opérateurs [[[vol(e 1)] (e 2)] ](e n). 5. Il est intéressant de noter que l on a pas besoin d avoir choisi un produit scalaire pour définir adj(a) alors que c est indispensable pour la formule classique. 2

3 3 Le polynôme caractéristique On cherche maintenant à inverser l opérateur λ id A. Pour que cela soit possible, on sait qu il nous faut dét(λ id A) 0. En utilisant la définition (2) du déterminant on trouve dét(λ id A) vol(x 1 )(x 2 ) (x n ) = vol(λx 1 Ax 1 )(λx 2 Ax 2 ) (λx n Ax n ) = λ n vol(x 1 )(x 2 ) (x n )+ (8) On voit alors que dét(λ id A) est un polynôme en λ de degré n, c est le polynôme caractéristique de A. L équation (6) donne dans notre cas adj(λ id A)[λ id A] = dét(λ id A) id (9) On voit alors que adj(λ id A) ne peut être qu un polynôme de degré n 1. On pose alors 6 dét(λ id A) =λ n + λ i k i et adj(λ id A) = En reprenant l équation (9) on obtient λ i B i (10) λ n id + λ i k i id = λ i [ ] B i λ id A = λ n B + λ i[ B i 1 B i A ] B 0 A (11) ce qui nous donne en identifiant les termes B = id B i 1 = B i A + k i id pour i =1,,n 1 0=B 0 A + k 0 id (12) Jusqu ici les résultats sont plutôt classiques, d ailleurs la dernière des égalités n est rien d autre que le théorème de Cayley-Hamilton 7. On peut aussi montrer à partir de là que tous les opérateurs linéaires qui commutent avec A commutent avec adj(a). 6. La définition alternée de la trace, nous permet de montrer facilement que k 1 = tr(adj( A)). k 0 = dét( A). 7. Il suffit de remonter jusqu à B = id pour obtenir A n + k A + + k 1A + k 0 id = 0. 3

4 4 L algorithme Pour obtenir l algorithme, on va commencer par déterminer les coefficients k i. Pour cela on part de l équation 8 ce qui nous donne donc λ i tr(b i )= tr(adj(λ id A)) = d dét(λ id A) (13) dλ n λ i 1 tr(b i 1 )=nλ + iλ i 1 k i (14) tr(b i 1 )=ik i pour i =1,,n 1 (15) En égalisant avec la trace des deux membres de (12) on trouve k i = tr(b ia) pour i =1,,n 1 (16) i n On obtient alors l algorithme en posant pour le bon ordre j = n 1 j = i B 0 = id B j+1 = B j A tr(b ja) j +1 id pour j =0,,n 2 (17) Je finis par un petit exemple de calcul pour montrer le coté pratique de la méthode. En effet, il suffit de savoir multiplier des matrices pour les inverser! La méthode est alors la suivante, on commence par écrire la matrice, puis on calcul sa trace que l on soustrait à la diagonale. On écrit le resultat en bas à gauche de la précédente, et on fait le produit avec la matrice à inverser que l on écrit juste à droite. Puis on recommence, on calcul la trace mais cette fois-ci on la divise par 2 puis par 3 et ainsi de suite jusqu à obtenir une matrice scalaire. Sur le papier, on obtient en prenant une matrice 3 3 : A = donc A 1 = Pour trouvrer cette équation, on part d une équation qui vient de l analyse δ[dét(m)] = tr(adj(m) δm) en posant M = λ id A et δ =d/dλ. 4

5 Références [1] Jean-Marie Souriau. Calcul linéaire. Tome I. Deuxième édition. "Euclide". Introduction aux Études Scientifiques. Presses Universitaires de France, Paris, [2] Jean-Marie Souriau, Géométrie et relativité. Enseignement des Sciences, VI. Hermann, Paris,