Chapitre 7 Etude Harmonique des Systèmes Asservis Elémentaires

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1 Cours Automatique Niveau : Unité d enseignement : Automatique ECUE n : Signaux et Systèmes Linéaires Chapitre 7 Etude Harmonique des Systèmes Asservis Elémentaires Nombre d heures/chapitre : h Cours intégré Système d évaluation : Continu OBJECTIFS DE L ENSEIGNEMENT : -Maîtriser les outils de transformation des signaux. -Savoir manipuler les techniques de représentation des systèmes. CONTENU THEORIQUE : Dans ce chapitre on s intéresse à étudier les réponses harmoniques d un système de er ordre et d un système de er ordre généralisé En explique l intérêt et la méthode de représentation de Bode pour un système de er ordre généralisé et d un système de second degré, tout en exploitant ses résultats dans des applications ciblés. ISET NABEUL CHELBI Hassen

2 Cours Automatique Niveau : Chapitre 7 Etude Harmonique des Systèmes Asservis Elémentaires. Introduction L étude harmonique d un système correspond à une représentation fréquentielle mettant en évidence le gain et la phase de la fonction F( lorsque ω varie. Il existe plusieurs représentations. Représentation sur le lieu de Bode. F( F F db log F( ϕ arctg( F( ) ϕ f ( ω) Diagramme de Bode - Gain (db) Fréquence (rad/s) Phase (deg) Frequency (rad/sec) Fig.7.: Allures de Bode pour un système de er ordre. Remarque ω varie en échelle logarithmique. Les lieux de Nyquist Ils repésentent dans le plan complexe la partie imaginaire en fonction de la partie réelle et qui évolue en fonction de ω. F ( jω ) x + jy ISET NABEUL CHELBI Hassen

3 Cours Automatique Niveau : Diagramme de Nyquist Axe imaginaie. -. w w croissant Axe réel Fig.7.: Allure de Nyquist pour un système de er ordre. yf(x) qui évolue en fonction de ω jusqu à. Les lieux de Blac : gradués et orientés en valeurs croissantes de ω avec φ(arg) en abscisse et FdB en ordonné. F db log F( ϕ arg( F( ) FdB Gain en boucle ouverte (db) - - w croissant log Phase ( ) -3-4 w Phase en boucle ouverte ( ) Fig.7.3: Allure de Nychols pour un système de er ordre. ISET NABEUL CHELBI Hassen

4 Cours Automatique Niveau :. Système de er ordre F( p) F ( jω ) +τ p + τjω F( Bode : + ( τω) ϕ arg( F( ) arctg( τω) F db log + ( τω) ϕ arctg( τω) F db log log( + ( τω) ) ϕ arctg( τω) / ω ω ω / τ ω F db log log 3 log( τω ) φ -π/4 -π/ Tab.7. log Phase (deg) gain en (db) /T Frequency (rad/sec) Fig.7.4: Diagramme de Bode pour un système de er ordre. Nyquist : F( p) +τ p F + τjω + j τω ( τω) + ( τω) ISET NABEUL CHELBI Hassen

5 Cours Automatique Niveau : X + ( τω) Y τωx τω Y + ( τω) Y ( τω X ) ( ) X X X X X + Y X ( X ) + Y ( ) c est un cercle : C ( A, ) avec A (,) ω ω ω / τ ω X / Y -/ Tab. 7. Diagramme de nyquist.5.4 Im.3. Axe imaginaire. -. woo / w Re w croissante / w/t Axe réel Fig.7.5: Allure de Nyquist pour un système de er ordre. Blac : F( p) F( +τ p + τjω F( + ( τω) ϕ arg( F( ) arctg( τω) F db log log( + ( τω) ) ϕ arctg( τω) / FdB f(φ) ISET NABEUL CHELBI Hassen

6 Cours Automatique Niveau : FdB Gain en boucle ouverte (db) - - w croissant log Phase ( ) -3-4 w Phase en boucle ouverte ( ) Fig.7.6: Allure de Blac pour un système de er ordre. 3. Système de er ordre généralisé ( + ατp) ( + jατω) F( p) F F F. F avec + τp + jτω F /( + jτω) F + jατω F( F. F ϕ arg( F( ) arg( F ) + arg( F ) FdB F db + FdB log F + log F ϕ ϕ + ϕ arctg( ατω) arctg( τω) ω ω ω / ατ ω F db 3 + φ π/4 π/ Tab.7. 3 ISET NABEUL CHELBI Hassen

7 Cours Automatique Niveau : 3.. Représentations de Bode pour un système de er ordre généralisé : α< : Fréquence (rad/sec) Fig.7.7: Diagramme de Bode ( syst. De er ordre généralisé α.). α> : Fréquence (rad/sec) Fig.7.8 : Diagramme de Bode ( syst. De er ordre généralisé α). ISET NABEUL CHELBI Hassen

8 Cours Automatique Niveau : 3. Application : Tracer les diagrammes de Bode, Nyquist et Blac pour les fonctions suivantes : F( p), F( p) + τp, F( p) τp et F( p). p τp Diagramme Bode (F(p)/p) Frequence (rad/sec) Fig Diagramme de Bode (F(p)+Tp; T.s) Frequency (rad/sec) Fig.7. ISET NABEUL CHELBI Hassen

9 Cours Automatique Niveau : Diagramme de Bode (F(p)-Tp; T.s) Fréquence (rad/sec) Fig.7. Diagramme de Bode (F(p)/(-Tp); T.s) Frequence (rad/sec) Fig.7. ISET NABEUL CHELBI Hassen

10 Cours Automatique Niveau : 4. Système de second degré ω H(p), p et p sont deux pôles, p + mω p + ω ω ω H(p) p p p p p( + )( + )p pp (- + )(- - p - p p p On pose : p - et p - τ τ H(p) p p ω (+ τ p)(+ τ p) + ) m> p mω + ω p mω ω m m - ω ( m + - < m -) < p. p ω m D(p) p + ω p + ω (p + ω ) p p ω m D(p) p + ω p p jω jω p. p ω <m< Δ ω ( m -) Deux pôles complexes conjugués. < p p mω + jω mω jω m m p. p ω K H(p) (+τ p)(+ τ p) K H( (+ τ (+ τ K H(. F. F (+ jτ ω) (+ jτ ω) FdB F db + FdB log F + log F ϕ ϕ + ϕ arctg( τ ω) arctg( τ ω) ISET NABEUL CHELBI Hassen

11 Cours Automatique Niveau : * Allures ω ω ω/ατ ω F db log log 3 - F db -3 - F db log log -6 - φ -π/4 -π/ φ -π/4 -π/ φ -π/ -π Tab. 4 5 Diagramme de Bode Fréquence (rad/sec) Fig.7.3 ISET NABEUL CHELBI Hassen

12 Cours Automatique Niveau : Gain en boucle ouverte (db) diagramme de Blac.5 db.5 db db 3 db 6 db db FdB - db log -3 db -6 db phase ( ) - db - db -4 db -6 db -8-8 db - - db - db Phase en boucle ouverte (deg) Fig.7.4 *** Diagrammes de Bode, Blac et Nyquist pour un système de ème pour m variables Diagramme de Bode Gain (db) Phase (deg) Fréquence (rd/s) Fig.7.5 ISET NABEUL CHELBI Hassen

13 Cours Automatique Niveau : 3 db Diagramme de Nyquist db - db Axe imaginaire - 4 db 6 db db db -6 db - db - db m.7 m.4-4 db ω ω - m Axe réel Fig.7.6 p p ( ) Gain en BO (db) ω Diagramme de Blac.5 db.5 db db 3 db 6 db db m. m.4 m.7 er ordre - ω db -3 db -6 db - db - db -4 db -6-6 db -8 db Phase en BO ( ) Fig.7.7 ISET NABEUL CHELBI Hassen

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