2. Sur le graphique précédent, identifier la courbe correspondant à la personne la plus corpulente. Justifier le choix effectué.

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1 Polyésie jui 016 EXERCICE 1 7 pois Commu à ous les cadidas Parie A Voici deux courbes C 1 e C qui doe pour deux persoes P 1 e P de corpuleces différees la coceraio C d alcool das le sag (aux d alcoolémie) e focio du emps après igesio de la même quaié d alcool. L isa = 0 correspod au mome où les deux idividus igère l alcool. C es exprimée e gramme par lire e e heure. Défiiio : La corpulece es le om scieifique correspoda au volume du corps 1. La focio C es défiie sur l iervalle [0 ; + [ e o oe C sa focio dérivée. À u isa posiif ou ul, la viesse d appariio d alcool das le sag es doée par C (). À quel isa cee viesse es-elle maximale? O di souve qu ue persoe de faible corpulece subi plus vie les effes de l alcool.. Sur le graphique précéde, ideifier la courbe correspoda à la persoe la plus corpulee. Jusifier le choix effecué.. Ue persoe à jeu absorbe de l alcool. O adme que la coceraio C d alcool das so sag peu êre modélisée par la focio f défiie sur [0 ; + [ par f () = A e où A es ue cosae posiive qui déped de la corpulece e de la quaié d alcool absorbée. a. O oe f la focio dérivée de la focio f. Déermier f (0). b. L affirmaio suivae es-elle vraie? «À quaié d alcool absorbée égale, plus A es grad, plus la persoe es corpulee.» Parie B - U cas pariculier Paul, éudia de 19 as de corpulece moyee e jeue coduceur, boi deux verres de rhum. La coceraio C d alcool das so sag es modélisée e focio du emps, exprimé e heure, par la focio f défiie sur [0 ; + [ par f () = e. 1. Éudier les variaios de la focio f sur l iervalle [0 ; + [.. À quel isa la coceraio d alcool das le sag de Paul es-elle maximale? Quelle es alors sa valeur? Arrodir à 10 près.. Rappeler la limie de e lorsque ed vers + e e déduire celle de f () e +. Ierpréer le résula das le coexe de l exercice. 4. Paul veu savoir au bou de combie de emps il peu predre sa voiure. O rappelle que la législaio auorise ue coceraio maximale d alcool das le sag de 0, g.l 1 pour u jeue coduceur. a. Démorer qu il exise deux ombres réels 1 e els que f ( 1 ) = f ( ) = 0,. b. Quelle durée miimale Paul doi-il aedre ava de pouvoir predre le vola e oue légalié? Doer le résula arrodi à la miue la plus proche. 5. La coceraio miimale d alcool déecable das le sag es esimée à 5 10 g.l 1. a. Jusifier qu il exise u isa T à parir duquel la coceraio d alcool das le sag es plus déecable. b. O doe l algorihme suiva où f es la focio défiie par f () = e. Iiialisaio : pred la valeur,5 p pred la valeur 0,5 C pred la valeur 0,1 Traieme : Ta que C > 5 10 faire : pred la valeur + p C pred la valeur f () Fi Ta que Sorie : Afficher Recopier e compléer le ableau de valeurs suiva e exécua ce algorihme. Arrodir les valeurs à 10 près. Iiialisaio Éape 1 Éape p 0,5,5 C 0,1 Que représee la valeur affichée par ce algorihme?

2 EXERCICE pois Commu à ous les cadidas Soi u la suie défiie par u 0 = e, pour ou eier aurel, par u + 1 = u +. O cosidère égaleme la suie v défiie, pour ou eier aurel, par v = u Voici u exrai de feuille de ableur : A B C 1 u v Quelles formules a--o écries das les cellules C e B e copiées vers le bas pour afficher les ermes des suies u e v?. Déermier, e jusifia, ue expressio de v e de u e focio de uiqueme. EXERCICE 5 pois Commu à ous les cadidas Parie A U asroome resposable d u club d asroomie a observé le ciel u soir d aoû 015 pour voir des éoiles filaes. Il a effecué des relevés du emps d aee ere deux appariios d éoiles filaes. Il a alors modélisé ce emps d aee, exprimé e miues, par ue variable aléaoire T qui sui ue loi expoeielle de paramère λ. E exploia les doées obeues, il a éabli que λ = 0,. Il prévoi d emmeer u groupe de ouveaux adhéres de so club lors du mois d aoû 016 pour observer des éoiles filaes. Il suppose qu il sera das des codiios d observaio aalogues à celles d aoû 015. L asroome veu s assurer que le groupe e s euiera pas e décide de faire quelques calculs de probabiliés do les résulas serviro à aimer la discussio. 1. Lorsque le groupe voi ue éoile filae, vérifier que la probabilié qu il aede mois de miues pour voir l éoile filae suivae es eviro 0,451.. Lorsque le groupe voi ue éoile filae, quelle durée miimale doi-il aedre pour voir la suivae avec ue probabilié supérieure à 0,95? Arrodir ce emps à la miue près.. L asroome a prévu ue sorie de deux heures. Esimer le ombre moye d observaios d éoiles filaes lors de cee sorie. Parie B Ce resposable adresse u quesioaire à ses adhéres pour mieux les coaîre. Il obie les iformaios suivaes : 64 % des persoes ierrogées so des ouveaux adhéres ; 7 % des persoes ierrogées so des acies adhéres qui possède u élescope persoel ; 65 % des ouveaux adhéres o pas de élescope persoel. 1. O choisi u adhére au hasard. Morer que la probabilié que ce adhére possède u élescope persoel es 0,494.. O choisi au hasard u adhére parmi ceux qui possède u élescope persoel. Quelle es la probabilié que ce soi u ouvel adhére? Arrodir à 10 près. Parie C Pour des raisos praiques, l asroome resposable du club souhaierai isaller u sie d observaio sur les haueurs d ue peie ville de 500 habias. Mais la polluio lumieuse due à l éclairage public ui à la qualié des observaios. Pour eer de covaicre la mairie de couper l éclairage ocure peda les uis d observaio, l asroome réalise u sodage aléaoire auprès de 100 habias e obie 54 avis favorables à la coupure de l éclairage ocure. L asroome fai l hypohèse que 50 % de la populaio du village es favorable à la coupure de l éclairage ocure. Le résula de ce sodage l amèe--il à chager d avis?

3 EXERCICE 4 5 pois Cadidas aya pas suivi l eseigeme de spécialié Pour chacue des ciq proposiios suivaes, idiquer si elle es vraie ou fausse e jusifier la répose choisie. Il es aribué u poi par répose exace correceme jusifiée. Ue répose o jusifiée es pas prise e compe. Ue absece de répose es pas péalisée. 1. Proposiio 1 : Das le pla complexe mui d u repère orhoormé, les pois A, B e C d affixes respecives z A = + i, z B = 1+ i e z C = 4 i e so pas aligés.. Proposiio : Il exise pas d eier aurel o ul el que [i (1+ i)] soi u réel sriceme posiif.. ABCDEFGH es u cube de côé 1. Le poi L es el que 1 EL = EF. Proposiio : La secio du cube par le pla (BDL) es u riagle. Proposiio 4 : Le riagle DBL es recagle e B. 4. O cosidère la focio f défiie sur l iervalle [ ; 5] e do o coaî le ableau de variaios doé ci-dessous : x 4 5 Variaios 1 de f 0 Proposiio 5 : 5 L iégrale f ( x ) d x es comprise ere 1,5 e 6. EXERCICE 4 5 pois Cadidas aya suivi l eseigeme de spécialié Pour chacue des ciq proposiios suivaes, idiquer si elle es vraie ou fausse e jusifier la répose choisie. Il es aribué u poi par répose exace correceme jusifiée. Ue répose o jusifiée es pas prise e compe. Ue absece de répose es pas péalisée. 1. Proposiio 1 Pour ou eier aurel, le chiffre des uiés de + es jamais égal à 4.. O cosidère la suie u défiie, pour 1, par u = 1 pgcd(0 ; ). Proposiio La suie (u ) es covergee.. Proposiio Pour oues marices A e B carrées de dimesio, o a A B = B A. 4. U mobile peu occuper deux posiios A e B. À chaque éape, il peu soi reser das la posiio das laquelle il se rouve, soi e chager. Pour ou eier aurel, o oe : A l évèeme «le mobile se rouve das la posiio a à l éape» e a sa probabilié. B l évèeme «le mobile se rouve das la posiio B à l éape» e b sa probabilié. a X la marice coloe. b 0,55 0, O adme que, pour ou eier aure, X + 1 = M X avec M = 0, 45 0,7. Proposiio 4 La probabilié PA 1 ) vau 0,45. Proposiio 5 a 0 Il exise u éa iiial X 0 = el que la probabilié d êre e B à l éape 1 es rois fois plus grade que celle d êre e A à l éape b 0 1, aureme di el que b 1 = a 1.

4 CORRECTION EXERCICE 1 7 pois Commu à ous les cadidas Parie A 1. C (a) es le coefficie direceur de la agee au poi d abscisse a à la courbe doc ce coefficie es maximal à l origie doc pour a = 0.. Sur le graphique, la agee à l origie à la courbe C 1 a u coefficie direceur supérieur à celui de la agee à l origie à C doc la courbe correspoda à la persoe la plus corpulee es C. u ( ) A u'( ) A. a. Soi doc f () = A e A e doc f (0) = A. v( ) e v'( ) e b. Ue persoe de faible corpulece subi plus vie les effes de l alcool doc plus la persoe es de faible corpulece plus f (0) es grad doc à quaié d alcool absorbée égale, plus A es grad, mois la persoe es corpulee, l affirmaio es fausse. Parie B - U cas pariculier Paul, éudia de 19 as de corpulece moyee e jeue coduceur, boi deux verres de rhum. La coceraio C d alcool das so sag es modélisée e focio du emps, exprimé e heure, par la focio f défiie sur [0 ; + [ par f () = e. 1. D après les résulas précédes, f () = e e = (1 ) e f () + Variaios de f 0 e 1 0. La coceraio d alcool das le sag de Paul es maximale pour = 1 soi au bou d ue heure. Cee coceraio es alors égale à 0,74 e 1. lim = + or e doc lim e 0 doc lim f () = 0. 1 e A la logue, la coceraio d alcool das le sag devie ulle. 4. Paul veu savoir au bou de combie de emps il peu predre sa voiure. O rappelle que la législaio auorise ue coceraio maximale d alcool das le sag de 0, g.l 1 pour u jeue coduceur. a. La focio f es défiie coiue sriceme croissae sur [0 ; 1], f (0) = 0 e f (1) = e 1 doc f (1) 0,74 f (0) 0, f (1) doc l équaio f () = 0, adme ue seule soluio 1 sur [0 ; 1]. La focio f es défiie coiue sriceme décroissae sur [1 ; + [, f (1) = e 1 doc f (1) 0,74 e lim f () = 0. lim f () 0, f (1) doc l équaio f () = 0, adme ue seule soluio sur [1 ; + [. Il exise doc deux ombres réels 1 e els que f ( 1 ) = f ( ) = 0,. b. E uilisa la focio TABL de la calcularice avec u pas de 1 (ue miue) : 60 0,1 1 0,117 doc soi ere 6 e 7 miues après avoir bu, le aux d alcoolémie de Paul dépasse 0,, il e peu pas coduire. f (,58) 0, f (,56) soi,56,58 ( es exprimé e heures) doc es compris ere 14 miues e 15 miues soi h 5 miues Paul doi aedre au mois h 5 miues ava de pouvoir predre le vola e oue légalié. 5. a. La focio f es défiie coiue sriceme décroissae sur [1 ; + [, f (1) = e 1 doc f (1) 0,74 e lim f () = 0. lim f () 5 10 f (1) doc l équaio f () = 5 10 adme ue seule soluio T sur [1 ; + [. La focio f es sriceme décroissae sur [1 ; + [, doc si T alors f () 5 10 Il exise u isa T à parir duquel la coceraio d alcool das le sag es plus déecable. b. La valeur affichée par ce algorihme représee le emps miimal à parir duquel le aux d alcoolémie es plus déecable.

5 Iiialisaio Éape 1 Éape p 0,5,5,75,75 C 0,1 0,18 0,18 Tes C > 5 10 Vrai Vrai Vrai EXERCICE pois Commu à ous les cadidas 1. E C, o a écri = B + * A^ + * A + 6 E B, o a écri = B + * A^ A. v + 1 = u ( + 1) + ( + 1) + 5 v + 1 = u v + 1 = u = (u ) or v = u doc v + 1 = v La suie (v ) es géomérique de raiso de premier erme v 0 = 7 doc v = q v 0 = 7 v = u doc u = v 5 doc u = 7 5 EXERCICE 5 pois Commu à ous les cadidas Parie A 1. T sui ue loi expoeielle de paramère λ doc P(T ) = e λ e P(T ) = 1 e λ. P(T ) = 1 e λ = 1 e 0,6 = 0,451. Lorsque le groupe voi ue éoile filae, quelle durée miimale doi-il aedre pour voir la suivae avec ue probabilié supérieure à 0,95? Arrodir ce emps à la miue près. P(T ) 0,95 1 e λ l 0,05 0,95 λ l 0,05 0, l 0,05 0, 1,4,98 doc o doi aedre au mois 15 miues. Le emps d aee moye ere deux appariios d éoiles filaes es 1 soi 10 miues E 10 miues, o a e moyee 10 éoiles filaes doc e deux heures le ombre moye d éoiles filaes lors de cee sorie es 10 1 éoiles filaes. 10 Parie B Soi les évéemes : T : «l adhére a u élescope persoel» ; N : «l adhére es u ouvel adhére» A : «l adhére es u acie adhére» 1. la probabilié que ce adhére possède u élescope persoel es P(N T) + P(A T) = 0,64 0,5 + 0,7 = 0,494. P( T N ) 0,4. P (T) = 0,494 e P(N T) = 0,4 doc PT ( N ) 0,45 P( N) 0,494 La probabilié que ce soi u ouvel adhére sacha qu il possède u élescope persoel es 0,45 Parie C = 100 doc 0, p = 0,5 doc p 5 e (1 p) 5 Les codiios so vérifiées pour pouvoir uiliser u iervalle de flucuaio. (1 ) (1 ) I = 1,96 p p p ; p 1,96 p p doc I = [0,40 ; 0,598] Das l échaillo uilisé, f = 0,54 doc f I doc le résula de ce sodage e fera pas chager d avis.

6 EXERCICE 4 5 pois Cadidas aya pas suivi l eseigeme de spécialié 1. Proposiio 1 : VRAIE CA a pour affixe + 7 i, e CB a pour affixe i doc les veceurs CA e CB o pour coordoées ( ; 7) e (1 ; 5) doc les veceurs CA e CB e so pas coliéaires, les pois A, B e C e so pas aligés.. Proposiio : FAUSSE [i (1+ i)] = i (1 + i) = i doc [ i (1 + i)] 4 = ( i) = 4 = 16, si = 4 alors [i (1+ i)] es u réel sriceme posiif.. ABCDEFGH es u cube de côé 1. Le poi L es el que 1 EL = EF. Proposiio : FAUSSE Le pla (BDL) coupe le pla (ABC) suiva la droie (BD) doc il coupe le pla (EFG) suiva ue droie parallèle passa par L La secio du cube par le pla (BDL) es u rapèze. Proposiio 4 : FAUSSE 1 EL = EF doc das le repère ( A ; AB, AD, AE ), L a pour coordoées 1 ; 0 ;1 doc 1 BL 1; 0 ;1 soi ; 0 ;1 BD 1;1; 0 doc BL. BD ( 1) les deux veceurs e so pas orhogoaux doc le riagle DBL es pas recagle e B. 4. O cosidère la focio f défiie sur l iervalle [ ; 5] e do o coaî le ableau de variaios doé ci-dessous : x 4 5 Variaios 1 de f 0 Proposiio 5 : FAUSSE E choisissa B (, ; 0, ), D(, ; 0, ) F(4, ; 1, ) la lige brisée ABCDEFG vérifie 5 l hypohèse e f ( x ) d x es approximaiveme l aire de EE G G doc es voisie de 1 doc es pas comprise ere 1,5 e 6.

7 EXERCICE 4 5 pois Cadidas aya suivi l eseigeme de spécialié 1. Proposiio 1 VRAIE Si le chiffre des uiés de + es égal à 4 alors il exise u eier aurel k el que + = 10 k + 4 soi + 4 modulo 10 es cogru modulo 10 à es cogru modulo 10 à es cogru modulo 10 à O a jamais + 4 modulo 10 doc le chiffre des uiés de + es jamais égal à 4.. Proposiio VRAIE 0 = 5 doc pgcd (0 ; ) {1 ; ; 4 ; 5} doc 1 pgcd (0 ; ) 5 doc 1 u lim lim 0 doc d après le héorème des gedarmes, lim u 0. La suie (u ) es covergee.. Proposiio FAUSSE e doc si A e B, o a pas A B = B A Proposiio 4 VRAIE 0,55 0, Pour ou eier aure, X + 1 = M X avec M = 0, 45 0,7 doc X + 1 = 0,55 0, a 0, 45 0,7 b 0,55 a 0, b X + 1 = 0,45 a 0, 7 b P (B + 1 ) = PA 1 ) P(A ) + PB 1 ) P(B ) = PA 1 ) a + PB 1 ) b par comparaiso : PA 1 ) = 0,45. Proposiio 5 FAUSSE b 1 = 0,55 a 0 + 0, b 0 e a 1 = 0,45 a 0 + 0,7 b 0 avec a 0 + b 0 = 1 e a 0 0 e b 0 0 b 1 = a 1 doc 0,55 a 0 + 0, b 0 = (0,45 a 0 + 0,7 b 0 ) soi 0,8 a 0 + 1,8 b 0 = 0 doc 0,8 a 0 = 1,8 b 0 a 0 0 e b 0 0 doc il es impossible d avoir 0,8 a 0 = 1,8 b 0 a 0 Il exise pas d éa iiial X 0 = el que la probabilié d êre e B à l éape 1 es rois fois plus grade que celle d êre e A à b 0 l éape 1.