One Pager Juillet 2013 Vol. 7 Num. 003 Copyright Laréq Espaces de Hilbert Jean Paul Kimbambu, Tsasa Vangu

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1 Espaces de Hilbert One Pager Juillet 2013 Vol. 7 Num. 003 Copyright Laréq Espaces de Hilbert Jean Paul Kimbambu, Tsasa Vangu «Ce n est pas que je suis si intelligent, c est que je reste plus longtemps avec les problèmes.» Albert Einstein ( ) Résumé Ce papier est une introduction à l étude des espaces de Hilbert qui, en généralisant la notion d espaces euclidiens, apparaissent comme un des fondements de l analyse fonctionnelle. On note que ces espaces trouvent plusieurs applications en macroéconomie et en économétrie en facilitant notamment, l étude de la cause et de l effet ou encore la démonstration du théorème de décomposition de Wold, input essentiel dans l étude de la modélisation VAR. Mots clé : Espaces euclidiens, Espaces de Banach, Espaces de Hilbert. Abstract This paper focuses on the study of Hilbert spaces that generalize the notion of Euclidean spaces. An understanding of these spaces is crucial in many applications in macroeconomics or econometrics, e.g., facilitating the study of cause and effect or proof of Wold decomposition theorem, essential input in the study of the VAR model. Introduction Au delà de son intérêt en analyse fonctionnelle, la notion d espaces de Hilbert trouve plusieurs applications dans la profession de l économiste. Notons tout d abord que les espaces de Hilbert constituent une extension de la notion d espaces euclidiens munis de leur produit scalaire usuel. En effet, un espace euclidien est défini comme tout espace vectoriel réel de dimension finie, muni d une forme bilinéaire systématique définie positive. Les propriétés que possèdent les espaces de Hilbert ainsi que les différents théorèmes qui en découlent, s avèrent particulièrement cruciaux dans l étude de la cause et de l effet en macroéconomie, notamment dans la dérivation et la démonstration du théorème de décomposition de Wold (1938), et donc dans la modélisation VAR. En effet, la modélisation VAR repose sur le théorème de Wold qui, pour le cas multivarié, stipule que sous certaines conditions de régularité, tout processus stationnaire de peut se décomposer en la somme d une composante régulière parfaitement prévisible et d une composante stochastique. Dès lors, une bonne appréhension de ces différentes conditions de régularité, ainsi que celle de ses implications nécessiterait une connaissance de la notion d espaces de Hilbert. Tout au long de ce papier, nous montrons, dans la section première, que les espaces de Hilbert sont une généralisation d espaces euclidiens. La section deuxième définit les espaces de Hilbert en rappelant respectivement les notions de produits scalaires, d espaces normés, de sous espaces denses, de la 15

2 norme d une application linéaire continue, de suite de Cauchy et de sous ensembles fermés, puis compacts. En bref, cette section montre que les espaces de Hilbert constituent un cas particulier des espaces de Banach. Dans la section troisième, nous abordons la notion de bases hilbertiennes. Par ailleurs, la présentation de cet arsenal de notions et concepts concernant les espaces de Hilbert sera complétée par d autres publications qui porteront sur la démonstration du théorème de Wold (1938) 1 et sur l analyse des modèles VAR. D Euclide à Hilbert 2 Considérons pour ce faire, le produit scalaire usuel sur tel que défini par : En transposant la relation fournie par l expression dans l espace vectoriel et en considérant des suites quelconques des réels telles que : il vient que : Cependant, remarquons que la formule ne peut fonctionner, puisque la série de terme général n est pas convergente de manière générale. Pour y faire face, dans un premier temps, on peut se limiter au sous espace de suites presque nulles, tel que : Dès lors, la somme telle qu exprimée dans sera toujours finie et par conséquent, la relation définit dans ce cas une forme bilinéaire symétrique définie positive sur Ainsi, la norme correspondant à cette nouvelle définition s écrit : 1 Tsasa (2013) propose une preuve du théorème de Wold, dans le cas univarié, sans mobiliser la notion d espaces de Hilbert. Une fois les résultats sur les espaces de Hilbert établis, une publication ultérieure procédera à la généralisation de ladite preuve au cas multivarié. 2 Euclide fut mathématicien de la Grèce antique (le récit sur sa vie demeure mythique jusqu à ce jour).et David Hilbert ( ), mathématicien allemand, est considéré comme un des grands mathématiciens de tout le temps. (*) Cette section nécessite un minimum de connaissances des espaces euclidiens (cf. Tsasa, 2013d) 16

3 Il nous reste donc à vérifier si l espace muni de la norme telle qu établie dans est complet. Pour ce faire, il nous suffit de considérer une suite de Cauchy et de voir si celle ci converge dans l espace 1. Soit une suite : - d éléments de telle que : - de Cauchy telle que : Il vient qu en général ne converge pas dans Cependant, si c était le cas, sa limite serait donnée par : avec Puisque ne converge pas dans l espace muni de la norme associé au produit scalaire tel que défini dans il suit donc que n est pas complet (Matata Tsasa, 2013, p. 75). Disposer d un espace muni d un produit scalaire qui ne soit pas complet n est pas techniquement confortable, car cela rend la construction d une projection orthogonale plus fastidieuse. Il est donc fondamental de compléter l espace tel que dérivé précédemment. Espaces de Hilbert Comme analysé dans Matata Tsasa (2013), la pertinence du recours aux espaces complets, notamment en macroéconomie, est que cette classe d espaces facilite notamment la preuve de la convergence d une suite sans nécessairement connaître sa limite, car il suffirait juste de s assurer qu elle est de Cauchy. Ainsi, cette caractéristique et cette propriété rendent plus aisée la démonstration de plusieurs théorèmes d analyse fonctionnelle appliqués en macroéconomie. 1 La notion de la Cauchy convergence est abordée dans Matata Tsasa (2013). 17

4 Espace de Banach Soit un espace vectoriel sur le corps où Une norme sur est une application : telle que : Une de conséquences de la dernière propriété est que : et donc : Lorsqu une norme est choisie sur l espace d une norme et noté : devient un espace normé, c est à dire un espace muni Soit une suite dans Alors, est convergente si : En admettant l unicité de la limite il suit que étant donné que : En parallèle, si l on considère une série telle que Alors est convergente dans si la suite des sommes partielles telle que : est convergente. En plus, est normalement convergente dans si la série numérique est convergente. Soit un sous espace vectoriel de Alors est dense si : Soient et deux espaces normés. Une application de dans est continue si l une des conditions équivalentes suivantes est vérifiée : (i) ; (ii) ; 18

5 Soit l ensemble des applications linéaires de dans muni des opérations de somme et produit par un scalaire telles que : Soit l ensemble des applications linéaires continues de dans Alors, est un sous espace vectoriel de La condition de continuité permettant de définir une norme sur l espace s écrit : où est la plus petite constante telle que est vérifiée. Ainsi, pour un espace vectoriel sur toute application linéaire continue de dans est une forme linéaire continue telle que est muni de la norme Et l espace des formes linéaires continues sur est nommé dual topologique de Soit une suite d un espace normé est une suite de Cauchy de si la condition suivante se vérifie : Soit une suite extraite de la suite de Cauchy. Si est convergente, alors la suite est aussi convergente. Une suite de Cauchy convergente n est pas nécessairement convergente dans mais elle l est toujours dans complet. Ainsi, un espace normé est complet si toute suite de Cauchy dans est convergente dans De même, est complet si et seulement si toute série normalement convergente dans est convergente dans Et un espace normé complet porte le nom d espace de Banach. Soit une partie ou un sous ensemble de Alors : (i) est un fermé si toute suite d éléments de convergente dans possède une limite dans ; (ii) est un compact si, à partir de toute suite d éléments de on peut extraire une sous suite qui converge dans Pour tout espace vectoriel normé de dimension finie, un sous ensemble de de est compact : (i) s il est fermé et (ii) s il est borné. Dans ce cas : In fine, lorsque compact. est de dimension infinie, un sous-ensemble fermé et borné n'est pas nécessairement 19

6 Produit scalaire Soit un espace vectoriel sur le corps où Un produit scalaire sur est une application : telle que, pour tout ; ; ; Note : pour et sont orthogonaux. Lorsque le produit scalaire est appelé produit hermitien. Et un espace vectoriel muni d un produit scalaire est nommé espace préhilbertien. In fine, la norme associée au produit scalaire est définie par l expression : Un espace vectoriel muni de la norme telle que définie dans est complet. Et dans ce cas, on dit que est un espace de Hilbert. Soit un espace de Hilbert. Alors : On déduit de cette inégalité (inégalité de Cauchy Schwarz) que l application linéaire continue dans pour tout est En plus : si et seulement si et sont colinéaires. Bases hilbertiennes A l effet de mieux approcher la notion de bases hilbertiennes, nous nous proposons, en plus d autres concepts, de mettre en évidence deux théorèmes jugés importants. Il s agit des théorèmes de la projection orthogonale et de représentation des formes linéaires. Théorème de la projection orthogonale Soit un sous espace vectoriel fermé d un espace de Hilbert Alors, pour tout il existe un unique élément où tel que est orthogonal à tout élément de Et cet élément vérifie : Et donc, est la projection orthogonale de sur : 20

7 Théorème de la projection orthogonale Soit un espace de Hilbert. Pour toute forme linéaire : il existe un unique élément où tel que : Adjoint Soit un espace de Hilbert. Soit une application linéaire continue d un espace de Hilbert dans lui même. Alors, pour tout l application telle que : est une forme linéaire continue sur Et donc, il existe un unique élément où tel que : L application : est linéaire continue de dans Cet opérateur linéaire de est nommé : adjoint de et noté Il vient, par conséquent, que pour tout dans pour tout dans pour tout dans : Lorsque : : est dit auto adjoint ou hermitien ; est inversible et que : est unitaire. Un sous espace vectoriel d un espace de Hilbert est dense dans si et seulement si le seul élément de orthogonal à tous les éléments de est Soit un espace de Hilbert et où une famille orthonormée de vecteurs de c est à dire : Alors est une base hilbertienne de si l espace de toutes les combinaisons linéaires finie des est dense dans Ou de manière équivalente, si le seul élément orthogonal à tous les est 21

8 Il vient que : - pour toute élément de s écrit de manière unique comme suit : Et donc : - pour tout s écrit également de manière unique : Et donc : Soient une famille orthonormée et une suite de scalaires. Alors, on a pour tous et : Et il suit que : est une série convergente dans si et seulement si la série : est convergente. Dans ce cas, l élément défini par est tel que : Il en est de même pour Il suffit de remplacer l opérateur : Projection sur un sous espace vectoriel fermé. Soient un sous espace vectoriel fermé de et une base hilbertienne de Alors, il vient que : 22

9 In fine, il convient de noter que ce papier nous a rapproché davantage de la publication qui doit être consacrée à une démonstration explicite du théorème de Wold (1938). Cependant et par ailleurs, il nous paraît utile de procéder tout d abord à l étude des polynômes matriciels, notion qui nous servira d input essentiel à l analyse du théorème de représentation de Granger. Cette option, estimons nous, faciliterait une présentation plus intuitive des notions de causalité et de cointégration qui sont intimement liées aux approches VAR et VECM. Bibliographie AIGNER Martin et Günter M. ZIEGLER, 1998, Raisonnements Divins : Quelques Démonstrations Mathématiques Particulièrement Elégantes, 2 ième édition Springer, Berlin, 270p. ASLANGUL Claude, 2011, Des Mathématiques pour les Sciences. Concepts, Méthodes et Techniques pour la modélisation (Cours et Exercices), édition De Boeck Université, 1252p. BOURBAKI Nicolas, 2006, Topologie Générale, Chapitre 1 à 4, Springer Verlag Berlin and Heidelberg GmbH & Co. K, Berlin, 376p. DEBEAUMARCHÉ Gérard, Francis DORRA et Max HOCHART, 2010, Mathématiques (Cours Complet avec Tests, Exercices et Problèmes Corrigés), avec la collaboration de Claire BONNEFONT, Gilles DEYRIS, Laurent GERMA, Jean François GUIFFES, Marie Emmanuelle JOINT, Michel LEPEZ, Philippe PATTE, David RUPPRECHT et Laurent T JOEN, édition Pearson, Paris, 741p. Laurent LAZZARINI et Jean Pierre MARCO, 2007, Mathématiques L1. Analyse (Cours Complet avec 1000 Tests et Exercices Corrigés), avec la collaboration de Hakim BOUMAZA, Robert BROUZET, Bernhard ELSNER, Laurent KACZMAREK, Denis PENNEQUIN, édition Pearson, Paris, 1073p. MARCO Jean Pierre, 2009, Mathématiques L3. Analyse (Cours complet avec 600 tests et Exercices corrigés), avec la collaboration de Hakim BOUMAZA, Benjamin COLLAS, Stéphane COLLION, Marie DELLINGER, Zoé FAGET, Laurent LAZZARINI et Florent SCHAFFHAUSER, édition Pearson, Paris, 932p. MATATA Dandy et Jean Paul TSASA, 2013,, One Pager Laréq (avril), vol. 5, num. 017, TSASA Jean Paul, 2013a, «Produit Scalaire, Norme et Orthogonalité : Préalables à la Résolution du Problème des Moindres Carrés», One Pager Laréq (mars), vol. 5, num. 017, TSASA Jean Paul, 2013b, «Projection Orthogonale : Décomposition Orthogonale et Meilleure Approximation», One Pager Laréq (mars), vol. 5, num. 018, TSASA Jean Paul, 2013c, «Dérivation du Problème général des Moindres Carrés», One Pager Laréq (mars), vol. 5, num. 019, TSASA Jean Paul, 2013d, «Espaces Euclidiens», One Pager Laréq (juillet), vol. 7, num. 019, VINZI V. Esposito, Wynne W. CHIN, Jörg HENSElER and Huiwen WANG (editors), 2010, Handbook of Pratical Least Squares. Concepts, Methods and Applications, Springer Handbooks of Computational Statistics, New York, 798p. 23