1 + t = t. a 6 n ln 1 + a. Suite a : On utilise une relation de Chasles (même terme mais sur des ensembles d indices distincts) ! 1 # 1. 1 k.

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1 PHEC Correctio feuille d exercices correctio de l exercice t. 8t R + ; + t 6 l( + t) 6 t : Pour cela, o itroduit les foctios f : t 7 l( + t) t et g : t 7 t l( + t) + t dé ies sur [0; +[ et o étudie leurs variatios respectives sur cet itervalle puis o e déduit le sige (si l o a de la chace) Ces deux foctios sot dérivables sur [0; +[ et l o a f 0 (t) g 0 (t) ( + t)0 + t ( + t) 0 + t (t) 0 ( + t) t( + t) 0 ( + t) + t + t t + t ( + t) + t ( + t) t ( + t) Par coséquet, les dérivées de ces deux foctios sot positives sur [0; +[ et les foctios f et g sot croissates sur cet itervalle. Etat doé que f(0) g(0) 0; o e déduit que les foctios f et g sot positives sur [0; +[; ce qui démotre l ecadremet demadé. 8 N a ; + a 6 l u 6 a : Puisque l o a l u l + a puis e utilisat l ecadremet précédet pour t a et e le multipliat par (qui est positif), o a a + a 6 l + a 6 a, a + a 6 l + a 6 a, a + a 6 l u 6 a a. Puisque l o a lim + + a a; le théorème d ecadremet peut être appliqué à l ecadremet de la questio précédete, ce qui motre que la suite (l u ) coverge vers a doc, e passat à l expoetielle, la suite (u ) coverge vers e a : correctio de l exercice Suite a : O utilise ue relatio de Chasles (même terme mais sur des esembles d idices disticts) " + X X # X a + a + X k k k + k + > 0 doc la suite a est strictemet croissate. Suite b : O utilise égalemet ue relatio de Chasles pour les sommes " + X b + b k + X + k + X k k ( + ) + + doc la suite b est strictemet décroissate Suite c : Ecore et toujours Chasles + X c + c l k ( + ) l( + ) k k k k k # k + k ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) < 0 X l k k l l( + ) + l [l z } { l( + )] {z} l( ) doc la suite c est décroissate. <0 X k k " X # l k + l( + ) ( + ) l( + ) correctio de l exercice 3. 8 > ; 0 6 u 6 : O procède par récurrece e posat (P ) : 0 6 u 6 Iitialisatio : Puisque u ; il est évidet que 0 6 u 0 6 doc (P ) est vraie. Hérédité : Supposos (P ) vraie et motros que (P + ) est vraie, c est-à-dire, supposos que 0 6 u 6 et motros que 0 6 u + 6 : ) ) 0 6 u 0 6 u k {z 6 ) 0 6 u + 6 } u + X l k + k /7 abdellah bechata

2 PHEC Correctio feuille d exercices ce qui démotre (P + ) et achève la récurrece. Mootoie de u : doc la suite u est décroissate. u + u u u u z} { u {z} 6 0. La suite u est décroissate et miorée par 0 doc elle coverge (et sa limite appartiet à [0; ]): 3. 8 > ; u ( ) : O procède par récurrece e posat : (P ) : u Iitialisatio : Puisque u et ( ) ; o e déduit que u ( ) ( ) doc (P ) est vraie. Hérédité : Supposos (P ) vraie et motros que (P + ) est vraie, c est-à-dire, supposos que u motros que u + + (( + ) ) + u + u ( ) ce qui démotre (P + ) et achève la récurrece. La suite u ted vers ( )( + ) ( ) + ( ) et (la limite du quotiet de deux polyômes est la limite du quotiet des termes domiats). correctio de l exercice 4. 8 N; u > : O procède par récurrece e posat (P ) : u >. Iitialisatio 0 : Puisque u 0 ; il est évidet que u 0 > doc (P 0 ) est vraie. Hérédité : Supposos (P ) vraie et motros que (P + ) est vraie, c est-à-dire, supposos que u > et motros que u + > : L iégalité suivate u + p u > p motre que u + > ; ce qui démotre (P + ) et achève la récurrece. Mootoie de la suite u : o étudie le sige de la di érece u u + (mais c est pour mieux voir l idetité remarquable mo efat :-)) u u + u ( p u ) u p u + ( p u ) > 0 ce qui motre que 8 N; u u + > 0, u > u + ; doc la sutie u est décroissate.. La suite u est décroissate et miorée par doc, d après le théorème de covergece mootoe des suites, elle coverge et l o ote L sa limite. La suite u état miorée par ; o e déduit que sa limite L est égalemet miorée par, doc elle est strictemet positive et la suite p u coverge vers p L. E outre, puisque pour tout etier aturel ; o a u + p u ; e passat à la limite, o obtiet Par coséquet, la suite u coverge vers : L p L, L p L + 0, ( p L ) 0, p L, L L correctio de l exercice. O procède par récurrece e posat (P ) : 0 6 u 6 : Iitialisatio 0 : Comme u 0, o a bie 0 6 u 0 6, ce qui motre (P 0 ): Hérédité : Supposos (P ) vraie et motros (P + ); c est-à-dire, supposos que 0 6 u 6 et motros que 0 6 u + 6 : E utilisat l hypothèse de récurrece (P ) aisi que des calculs sur les iégalités, o obtiet 0 6 u 6 ) 6 u ) p 6 p u + 6 p 4 ) 0 6 p 6 u + 6 ce qui démotre (P + ) et achève la récurrece. Soit L ue limite évetuelle de la suite u: Puisque 8 N; 0 6 u 6 ; o est assuré que 0 6 L 6 doc le réel L + est positif et la suite p u + coverge vers p L + : E cosidérat la relatio de récurrece dé issat la suite u et e passat à la limite, o obtiet L p L + ) L L +, L L 0, L f ; g Puisque L > 0; o e déduit que L et la seule limite évetuelle de la suite u est : /7 abdellah bechata

3 PHEC Correctio feuille d exercices Le réel x apparteat à [0; ]; il est positif, doc o peut élever au carré e coservat l équivalece p x + > x, x + > x, 0 > x x : Le triôme x x a pour racie et doc il est égatif etre ces deux racies, c est-à-dire qu il est égatif sur l itervalle [ ; ] doc sur l itervalle [0; ]: Puisque 8 N; u [0; ]; o peut remplacer x par u das l ecadremet précédet, ce qui ous doe p 8 N; u + > u, u + > u u + doc la suite u est croissate. 3. La suite u est croissate et majorée par ; doc elle coverge. Sa limite est alors, d après la questio, L (le raisoemet état valable car la suite u coverge bie désormais) correctio de l exercice 6. 8 > 0; u existe et u > 0 : O procède par récurrece e posat (P ) : u existe et u > 0. Iitialisatio 0 : Puisque l éocé a rme que u 0 > 0 doc (P 0 ) est vraie. Hérédité : Supposos (P ) vraie et motros que (P + ) est vraie, c est-à-dire, supposos que u > 0 et motros que u + > 0: Puisque u > 0; le réel u + est positf comme quotiet de deux réels positifs (les umérateurs et déomiateurs sot des sommes de réels positifs) ce qui démotre (P + ) et achève la récurrece. Mootoie de la suite u : o étudie le sige de la di érece u + u. u + u u + u u u u ( + u ) + u 3u u + u 6 0 Le réel u état positif, cette di érece est égative comme quotiet d u umérateur égatif et d u déomiateur positif. Par coséquet, la suite u est décroissate.. La suite u est décroissate et miorée par 0 doc, d après le théorème de covergece mootoe des suites, elle coverge. Si l o ote L sa limite, la suite u état positive, o est assuré que sa limite L est égalemet positive doc le quotiet u L + L est strictemet positif doc il est o ul. Par coséquet, la suite ted vers : E passat à la + u + L limite das l égalité u + u ; o e déduit que + u L L + L, L( + L) L, L + L L, L 3L 0, L( + 3L) 0, L Etat doé que la limite L est positive, o e déduit que L 0 et la suite (u ) coverge vers 0: 3 ; N; u + 6 u : O e procède pas par récurrece mais par u calcul direct (état doé qu il s agit de deux termes cosécutifs d ue même suite qui itervieet). 8 N; u + u u + u u u u ( + u ) 0u u 0u ( + u ) ( + u ) u ( + u ) 6 0 car le réel u est positif pour tout etier N doc l iégalité u + 6 u est vraie. 8 N; u 6 ( ) u 0 : O procède par récurrece (car il s agit d ue relatio etre la suite u et ue autre suite) e posat (P ) : u 6 ( ) u 0 : 0 Iitialisatio 0 : u 0 u 0 doc u 0 6 que (P 0 ) est vraie. 0 u 0 (l égalité impliquat l iégalité au ses large), ce qui motre Hérédité : Supposos (P ) vraie et motros (P + ); c est-à-dire, supposos que u 6 ( ) u 0 et motros que u + 6 ( )+ u 0 : E combiat l hypothèse de récurrece (P ) à l iégalité u + 6 u ; o obtiet u + 6 u 6 + u 0 u 0 3/7 abdellah bechata

4 PHEC Correctio feuille d exercices ce qui démotre (P + ) et achève la récurrece. Covergece de la suite u : La positivité de la suite u (questio ) combiée à la questio précédete ous motre que 8 N; 0 6 u 6 u 0 La suite géométrique u 0 coverge vers 0 car sa raiso appartiet à ] le théorème d ecadremet doc la suite u coverge vers 0: ; [; ce qui ous permet d appliquer correctio de l exercice 7. 8 > 0; u > : O procède par récurrece e posat (P ) : u >. Iitialisatio 0 : Puisque u 0 3; il est évidet que u 0 > doc (P 0 ) est vraie. Hérédité : Supposos (P ) vraie et motros que (P + ) est vraie, c est-à-dire, supposos que u > et motros que u + > : Pour justi er que le réel u + est supérieur (au ses large) à ; o étudie le sige de la di érece u + (car l applicatio direct des ecadremets e ous permet pas de coclure) u + u u u (u ) u u u + u (u ) u > 0 car le umérateur est clairemet positif et le déomiateur l est égalemet (u > > 0) doc u + > ; ce qui démotre (P + ) et achève la récurrece. Mootoie de la suite u : o étudie le sige de la di érece u + u. u + u u u doc la suite u est décroissate. u u u (u ) u u + u u u > 60 z} { z } { u ( u + ) 6 0 u. La suite u est décroissate et miorée par doc, d après le théorème de covergece mootoe des suites, la suite u coverge. Si l o ote L sa limite, o est assuré que L > (par mioratio de u ) et la suite u ted vers L qui e peut être ul (sio L, ce qui est cotradictoire). E passat à la limite das l égalité u + u, o obtiet L L L, L(L ) L, L L 0, L(L ) 0, L f0; g Puisque la limite L est écessairemet supérieure ou égale à ; o e déduit que L et la suite (u ) coverge vers : correctio de l exercice 8. 8 > 0; u > 3 : O procède par récurrece e posat (P ) : u > 3. Iitialisatio 0 : Puisque u 0 ; il est évidet que u 0 > 3 doc (P 0) est vraie. Hérédité : Supposos (P ) vraie et motros que (P + ) est vraie, c est-à-dire, supposos que u > et motros 3 que u + > 3 : Pour justi er l ecadremet du réel u +; o étudie le sige de la di érece u + (car l applicatio 3 direct des ecadremets e ous permet pas de coclure) u u + 3 u 3u + z } { 3 3 u (3u + ) 3u 3 u 3(3u + ) 3(3u + ) 3 3(3u + ) > 0 (u > 3 ) doc l égalité u + > 3 est vraie, ce qui démotre (P +) et achève la récurrece. x 8x > 3; 3x + 6 x + : Il su t d étudier le sige de la di érece 6 x x 3x + + 6(x) (3(3x + )x + (3x + )) 9x + 6x 9x 6x + 6 6(3x + ) 6(3x + ) 6(3x + ) (3x ) 6(3x + ) /7 abdellah bechata

5 PHEC Correctio feuille d exercices lorsque x > 0 doc quad x > 3. Pour ceux qui e voiet pas l idetité remarquable, il su t de calculer le discrimiat du triôme 9x + 6x : Celui-ci est ulle doc le triôme est toujours du sige de "a" 6 6 0:. 8 N; u + 6 u + 6 : Puisque pour tous les etiers ; le réel u est supérieur ou égale à 3 (questio ), o peut remplacer x par u das l iégalité de la questio, ce qui ous doeo e procède pas par récurrece mais par u calcul direct (état doé qu il s agit de deux termes cosécutifs d ue même suite qui itervieet). u 6 u 3u + + 6, u + 6 u + 6 u + 8 N; u : O procède par récurrece (car il s agit d ue relatio etre la suite u et ue autre 3 suite) e posat (P ) : u : Iitialisatio 0 : et u 0 doc u (l égalité impliquat 3 0 l iégalité au ses large), ce qui motre que (P 0 ) est vraie. Hérédité : Supposos (P ) vraie et motros (P + ); c est-à-dire, supposos que u et motros 3 que u : E combiat l hypothèse de récurrece (P ) à l iégalité u + 6 u + ; o obtiet 6 u + 6 u ce qui démotre (P + ) et achève la récurrece E combiat les ecadremets issus des questios et, o obtiet l ecadremet suivat 8 N; 3 6 u Puisque lim u , le théorème d ecadremet ous motre que lim 3 u + 3 : correctio de l exercice 9. O procède par récurrece e posat (P ) : u > 0. Iitialisatio 0 : Puisque u 0 > 0; il est évidet que (P 0 ) est vraie. Hérédité : Supposos (P ) vraie et motros que (P + ) est vraie, c est-à-dire, supposos que u > 0 et motros que u + > 0: Puisque u > 0; o est assuré de l existece de u (doc de l existece de u + ) et de la stricte positivité de u : La somme de deux réels strictemet positifs est u réel strictemet positif doc u + est strictemet positif, ce qui démotre (P + ) et achève la récurrece. Puisque 8 N; u + u u > 0; o e déduit que la suite u est strictemet croissate.. 8 N; u > + u 0 : O pose (P ) : u > + u 0 Iitialisatio 0 : 0 + u 0 u 0 doc u 0 > 0 + u 0 (l égalité impliquat l iégalité au ses large), ce qui motre (P 0 ) Hérédité : Supposos que (P ) est vraie et motros que (P + ) est vraie, c est-à-dire, supposos que u > + u 0 et motros que u + > ( + ) + u 0: u + u + u u + + u > (P ) + u u > + + u 0 ( + ) + u 0 {z} ce qui démotre (P + ) et achève la récurrece. lim + u : L iégalité précédete combiée au fait que u soit positive ous motre que et comme 8 N; u > q + u 0 p lim + u + 0 +; le théorème d ecadremet motre que lim u +: + /7 abdellah bechata

6 PHEC Correctio feuille d exercices correctio de l exercice 0 Etudios pour commecer la mootoie de ces deux suites " # + X X X a + a k k + k ( + ) k0 k0 k0 b + b a + + ( + )[( + )] ( + ) + ( + ) ( + ) + ( + ) ( + ) X k0 k ( + ) > 0 a a + a + ( + ) ( + ) + ( + ) ( + ) 6 0 doc la suite a est croissate et la suite b est décroissate. Esuite, il est immédiat que lim (b a ) lim + + doc les suites a et b sot adjacetes doc elles coverget vers la même limite. Remarque : o peut motrer, par exemple e utilisat le calcul itégral, que la limite est le célèbre ombre e: 0 correctio de l exercice. O procède par récurrece e posat (P ) : 0 < u < v : Iitialisatio 0 : puisque u 0 a et v 0 b avec 0 < a < b; o e déduit que 0 < u 0 < v 0 doc (P 0 ) est vraie. Hérédité : Supposos que (P ) est vraie et motros que (P + ) est vraie, c est-à-dire, supposos que 0 < u < v et motros que 0 < u + < v + : Pour commecer, puisque u et v sot strictemet positifs, le réel u + existe et est strictemet positif (produit, somme et quotiet de strictemet positif est strictemet positif). Esuite, o a v + u + u + v u v (u + v ) 4u v u + v (u + v ) u u v + v (u + v ) (u v ) (u + v ) Par coséquet, la di érece v + u + est évidemmet positive mais égalemet o ul car les réels u et v sot disticts (u < v ) doc v + > u + ; ce qui démotre (P + ) et achève la récurrece.. Les mootoies souhaitées découlet des calculs suivats u + u u v u + v u u v u (u + v ) u + v u v u u + v v + v u + v v u v < 0 z} { u ( z } { v u ) > 0 u + v 3. v + u + 6 v u : La première majoratio découle de l égalité obteu à la questio v + u + (u v ) (u + v ) (v u ) (u + v ) v u u v u + v Puisque le umérateur v u est clairemet iférieur au déomiateur u + v ; le quotiet v u u + v est iférieur (au ses largeà à et comme il est positif, o e déduit que v + u + 6 v u v u 6 (v 0 u 0 ) : Esuite, o procède par récurrece e posat (P ) : v u 6 (v 0 u 0 ) 0 0 Iitialisatio 0 : (v 0 u 0 ) v 0 u 0 doc v 0 u 0 6 (v 0 u 0 ) (l égalité impliquat l iégalité au ses large) et (P 0 ) est vraie. Hérédité : Supposos (P ) vraie et motros (P + ); c est-à-dire, supposos que v u 6 (v 0 u 0 ) et motros + que v + u + 6 (v 0 u 0 ): E utilisat l iégalité v + u + 6 v u et l hypothèse (P ) ous doe v + u + 6 (v u ) 6 (v 0 u 0 ) + (v 0 u 0 ) 6/7 abdellah bechata

7 PHEC Correctio feuille d exercices ce qui démotre (P + ) et achève la récurrece. lim + (v u ) : L iégalité précédete combiée au fait que 8 N; u < v ous motre que 8 N; 0 < v u 6 (v 0 u 0 ) Puisque le réel appartiet à ] ; [; la suite géométrique (v 0 u 0 ) le théorème d ecadremet doc lim (v u ) La suite u est croissate, la suite v est décroissate et lim (v + qui impliquet qu elles coverget vers la même limite.. U calcul direct ous doe 8 N; u + v + u v u + v u v u + v doc la suite (u v ) est costate et cette costate est égale à u 0 v 0 ab; c est-à-dire ted vers 0; ce qui permet d appliquer u ) 0 doc les suites u et v sot adjacetes, ce 8 N; u v ab Si l o ote L la limite commue à u et v et e passat à la limite das l égalité précédete, o e déduit que L ab doc L p ab: Puisque les suites u et v sot positives, o e déduit que la limite L est égalemet positive doc L p ab: 7/7 abdellah bechata

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