DÉRIVÉES. lorsque h devient très proche de zéro?

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1 DÉRIVÉES I Nombre dérivé - Tangente Eercice 0 (voir réponses et correction) Un mobile M se déplace sur un ae gradué. On suppose que sa position sur cet ae à l'instant t ( t ³ 0) est donnée par son abscisse : p(t) = t + t. L'unité de longueur étant le mètre, l'unité de temps la seconde. ) Calculer p(0) ; p() ; p() ; p(3). ) Placer sur le dessin ci-dessous les positions de M au instants t = 0 ; t = ; t = ; t = 3. 3 ) Déterminer la distance parcourue lorsque t varie de à 3. Justifier que la vitesse moyenne du mobile sur l'intervalle [ ; 3] est donnée par Calculer la vitesse moyenne sur l'intervalle [ ; 3] et préciser l'unité. 4 ) Donner les vitesses moyennes du mobile sur les intervalles [ ; ] ; [ ;,5] ; [ ;,5] ; [ ;,] ; [ ;,0] Que peut-on conjecturer de la vitesse à l'instant t =? (vitesse instantanée) p(3) - p(). Eercice 0 (voir réponses et correction) ( voir animation ) Une usine fabrique un produit chimique. Le coût de production pour tonnes de produit est modélisé par C() = 0, - 0,3 + C() étant eprimé en milliers d'euros. ) a) Calculer le coût pour la production de 4 tonnes de produit. b) Calculer le coût pour la production de 0 tonnes de produit. c) Calculer le coût pour la production de 6 tonnes de produit. ) a) Calculer le nombre C(0) - C(4). Que représente ce nombre? b) Calculer le nombre C(0) - C(4). Que représente ce nombre? 6 c) Calculer le nombre C(6) - C(4). Que représente ce nombre? d) On considère un nombre réel h. Justifier que C(4 + h) = 0, h +,3 h + 3 En déduire que C(4 + h) - C(4) = 0, h +,3 h Que représente ce nombre? e) Que devient le nombre C(4 + h) - C(4) lorsque h devient très proche de zéro? h 3 ) a) En utilisant le logiciel GeoGebra, tracer la courbe (C) représentant la fonction C. b) Placer sur le graphique le point A d'abscisse 4 de la courbe (C). c) Placer sur le graphique un point M (différent de A) sur la courbe (C). d) Tracer la droite passant par A et M et la nommer d. e) Faire afficher sur le dessin le coefficient directeur de la droite d. On pourra écrire dans la barre de saisie : pente[d] f) En rapprochant le point M du point A, vérifier que le coefficient directeur de la droite d prend la valeur trouvée au )e). (Pour plus de précision, on pourra faire un zoom de la courbe à proimité du point A et choisir "Options" "Capture d'un point" "Désactivée) ère ES - L Dérivée page / 0

2 Définition ( voir animation ) Soit f une fonction définie sur un intervalle I, soit a I et soit h non nul tel que a + h I. On appelle tau d'accroissement de f entre a et a + h le nombre T(h) = f(a + h) - f(a) h Si A est le point de la courbe de f d'abscisse a et M le point de la courbe de f d'abscisse a + h, T(h) est le coefficient directeur de la droite (AM). Si le tau d'accroissement T(h) de f entre a et a + h tend vers un nombre réel quand h tend vers 0, ce nombre réel est appelé nombre dérivé de f en a et il est noté f'(a). On dira alors que f est dérivable en a. On pourra écrire f'(a) = lim T(h) h 0 c'est-à-dire f'(a) = lim f(a + h) - f(a) h 0 h f(a+h) f(a) A a A M M f(a+h)-f(a) h a+h Eemple Considérons le point A d'abscisse de la parabole représentant la fonction carré f() =. Si on considère un point M sur la courbe, proche du point A, l'abscisse de M peut s'écrire sous la forme + h (avec h "petit"). L'ordonnée du point M est alors ( + h). Le coefficient de la droite (AM) est : f( + h) - f() = ( + h) - = + h + h - = h( + h) = + h h h h h On peut remarquer que lorsque h tend vers 0, ce coefficient directeur tend vers. On a donc lim f( + h) - f() = h 0 h La fonction carré est donc dérivable en et f'() =. Si on agrandit la parabole représentant la fonction carré au niveau du point A d'abscisse, on pourra remarquer que la courbe est presque confondue avec la droite passant par A et de coefficient directeur. A A Eercice 03 (voir réponses et correction) ( voir animation ) On considère la fonction f définie par f() = - + ) Déterminer les coordonnées du point A d'abscisse de la courbe (C) représentant la fonction f. ) Calculer f( + h) et en déduire que f( + h) - f() = h + 3 h 3 ) Justifier que la fonction f est dérivable en et donner la valeur de f'(). 4 ) Démontrer que la droite d passant par A et de coefficient directeur 3 a pour équation y = ) En utilisant le logiciel GeoGebra, tracer la courbe (C), la droite d et placer le point A. En faisant un zoom centré sur A, vérifier que la courbe (C) et la droite d sont quasiment confondues au niveau du point A. Eercice 04 (voir réponses et correction) ( voir animation ) On considère la fonction inverse f définie par f() =. ) Déterminer les coordonnées du point A d'abscisse de la courbe (C) représentant la fonction f. ) Calculer f( + h) et en déduire que f( + h) - f() = - h + h 3 ) Justifier que la fonction f est dérivable en et donner la valeur de f'(). 4 ) Démontrer que la droite d passant par A et de coefficient directeur - a pour équation y = ) En utilisant le logiciel GeoGebra, tracer la courbe (C), la droite d et placer le point A. En faisant un zoom centré sur A, vérifier que la courbe (C) et la droite d sont quasiment confondues au niveau du point A. ère ES - L Dérivée page / 0

3 Eercice 05 (voir réponses et correction) Soit f définie sur IR par f() = -. Montrer que f est dérivable en et donner la valeur de f'(). Vérifier en utilisant une calculatrice ou un grapheur. Eercice 06 (voir réponses et correction) Soit f définie sur IR par f() = -. Montrer que f est dérivable en - et donner la valeur de f'(-). Définition - Propriété Soit f une fonction définie sur un intervalle I et dérivable en a I. Soit (C) la courbe représentative de f dans un repère orthogonal. La droite T passant par A(a ; f(a)) et de coefficient directeur f'(a) est appelée tangente à (C) en A. Cette tangente T a pour équation : y = f'(a) ( - a) + f(a). Cas particulier Si f'(a) = 0, T est parallèle à l'ae des abscisses (horizontale). f(a) a Eercice 07 (voir réponses et correction) On donne ci-contre la courbe représentative d'une fonction f et quelques-unes de ses tangentes. Donner en utilisant ce graphique les valeurs de : f(-4) f'(-4) f(-3) f'(-3) f(0) f'(0) f(3) f'(3) f(6) f'(6) Eercice 08 (voir réponses et correction) On donne ci-contre une partie de la courbe représentative d'une fonction f. Déterminer les coordonnées des points A et B de la courbe. Interpréter ces résultats en utilisant la fonction f O Tracer les tangentes à la courbe en A et en B en sachant que : f'(-3) = - ; f'(-) = Prolonger la courbe en sachant que : f() = 5 ; f(3) = - ; f'() = 0 et f'(3) = -8 A B ère ES - L Dérivée page 3 / 0

4 Eercice 09 (voir réponses et correction) Tracer la courbe d'une fonction f vérifiant f(-) = ; f(0) = ; f() = ; f(5) = f'(-) = - ; f'(0) = 0 ; f'() = ; f'(5) = -3 Eercice 0 (voir réponses et correction) ( voir animation ) Soit f définie sur IR par : f() = ) Tracer la courbe en utilisant GeoGebra. ) Placer sur la courbe le point A d'abscisse. Définir un curseur m allant de -0 à 0 par pas de 0,5 et tracer la droite d passant par A et de coefficient directeur m. On pourra pour cela écrire dans la barre de saisie la commande droite[a,a+(,m)] En faisant varier m, vérifier que m = - correspond à la tangente à la courbe au point A. 3 ) En utilisant la méthode précédente et en déplaçant le point A, compléter le tableau : abscisse du point 0 - coefficient directeur de la tangente f'() = m - 4 ) Dans la barre de saisie de GeoGebra écrire l'epression f'() Vérifier, dans la fenêtre d'algèbre, que l'epression de f'() est 3-4. Calculer f'() ; f'() ; f'(0) et f'(-) et vérifier les valeurs du tableau de la question précédente. II Fonction dérivée - Opérations Définition Si une fonction f est dérivable en tout d'un intervalle I, on dit que f est dérivable sur I. L'application qui à tout de I associe le nombre dérivé de f en est appelée fonction dérivée de f. La fonction dérivée de f est notée f'. Eemple Considérons la fonction carré f, définie sur IR par f() =. Soit a IR, on a f(a + h) - f(a) = (a + h) - a = a + ah + h - a = ah + h = h(a + h) = a + h. h h h h h Par conséquent lim f(a + h) - f(a) = lim a + h = a h 0 h h 0 On en déduit que, pour tout a IR, la fonction carré est dérivable en a et que f'(a) = a. La fonction carré est donc dérivable sur IR et sa fonction dérivée est la fonction f' définie par f'() =. Eercice (voir réponses et correction) Avec le logiciel Geogebra, entrer dans la barre de saisie l'epression f() = ^ (correspondant à la fonction carré) puis entrer l'epression f'() on voit apparaître dans la fenêtre d'algèbre l'epression f'() = (dérivée de la fonction carré) entrer dans la barre de saisie f() = ^3 (correspondant à la fonction cube) l'epression de f'() aura été mise à jour et on doit obtenir f'() = 3 En modifiant l'epression de f(), compléter alors la deuième ligne du tableau : f() = f() = 3 f() = 4 f() = 5 f() = 6 f() = 7 f'() = f'() = 3 Conjecturer l'epression de la dérivée de la fonction f définie par f() = 5 Conjecturer l'epression de la dérivée de la fonction f définie par f() = n avec n entier naturel non nul. ère ES - L Dérivée page 4 / 0

5 Eercice (voir réponses et correction) En reprenant le principe de l'eercice précédent, déterminer la fonction f' dérivée de f dans chacun des cas suivants : ) f() = ) f() = (avec GeoGebra s'écrit sqrt() ) 3 ) f() = ) f() = Dérivées des fonctions usuelles On donne ci-dessous les dérivées de fonctions rencontrées couramment. Fonction Dérivée Ensemble f() = k (k constante) f'() = 0 IR f() = f'() = IR f() = a + b f'() = a IR f() = f'() = IR f() = 3 f'() = 3 IR f() = f'() = - ]- ; 0[ ou ]0 ; + [ f() = f'() = ]0 ; + [ f() = n n IN n 0 f'() = n n- IR Remarques Si f' est elle-même dérivable, la dérivée de f' sera notée f", on l'appelle dérivée seconde de f. La fonction racine carrée n'est pas dérivable en 0. Sa courbe a, au point d'abscisse 0, une tangente qui est parallèle à l'ae Oy, c'est-à-dire une droite n'ayant pas de coefficient directeur. Propriété Si u et v sont des fonctions dérivables sur un intervalle I, alors la somme u + v est dérivable sur I et on a (u + v)' = u' + v' Eemple Soit f définie sur IR par f() = + On pose u() = et v() =. Les fonctions u et v sont dérivables sur IR et on a u'() = et v'() =, donc f est dérivable sur IR et f'() = + Eercice 3 (voir réponses et correction) Pour chacune des fonctions f, donner l'epression de sa dérivée f'. ) f() = + 5 ) f() = + 3 ) f() = - 4 ) f() = ) f() = ) f() = 3 + Eercice 4 (voir réponses et correction) Pour chacune des fonctions f, donner l'epression de sa dérivée f'. ) f() = ) f() = ) f() = ) f() = ) f() = ) f() = ère ES - L Dérivée page 5 / 0

6 Propriété Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, et k un réel (une constante), alors la fonction ku est dérivable sur I et on a ( ku )' = k u' Eemple Soit f définie sur IR par f() = 5 On pose u() = et k = 5, on a alors f() = k u(). La fonction u est dérivable sur IR et on a u'() =, alors f est dérivable sur IR et f'() = k u'() donc f'() = 5 c'est-à-dire f'() = 0 Eercice 5 (voir réponses et correction) ) f() = 3 ) f() = 3 ) f() = ) f() = Propriété Si u et v sont des fonctions dérivables sur un intervalle I, alors la fonction u v est dérivable sur I et on a (u v)' = u' v + u v' Eemples Soit f définie sur IR par f() = ( + )( - ) On pose u() = + et v() = - les fonctions u et v sont dérivables sur IR et on a u'() = + et v'() = - alors f est dérivable sur IR et f'() = u'() v() + u() v'() donc f'() = ( + )( - ) + ( + )(-) = = -3 + NB : On pourrait aussi écrire f() = ( + )( - ) = = et dériver en utilisant cette epression. Le résultat est bien entendu identique. Soit f définie sur [0 ; + [ par f() = On pose u() = et v() = les fonctions u et v sont dérivables sur ]0 ; + [ et on a u'() = et v'() = alors f est dérivable sur ]0 ; + [ et f'() = u'() v() + u() v'() donc f'() = + = + Sachant que = ( ), on peut simplifier l'epression de f'() f'() = + ( ) = + donc f'() = 3 NB : La fonction racine carrée n'étant pas dérivable en 0, on ne peut utiliser la formule que sur l'intervalle ouvert ]0 ; + [ Eercice 6 (voir réponses et correction) ) f() = ( - )(4 3 + ) ) f() = 3 ) f() = ) f() = (-3-5)( ) 5 ) f() = ) f() = ( + ) Eercice 7 (voir réponses et correction) ) f() = ) f() = 3 ) f() = ( + )( ) 4 ) f() = ( - - ) ère ES - L Dérivée page 6 / 0

7 Propriété Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I et si u ne s'annule pas sur I, alors la fonction u est dérivable sur I et on a ' = - u' u u Eemple Soit f définie par f() = +. f est définie sur IR (car + 0 pour tout réel ) On pose u() = +. La fonction u est dérivable sur IR et ne s'annule pas. On a u'() =. donc f est dérivable sur IR et f'() = - pour tout IR. ( + ) Eercice 8 (voir réponses et correction) ) f() = ; ) f() = + ; 3 ) f() = ; 4 ) f() = Eercice 9 (voir réponses et correction) ) f() = - 3 ; ) f() = ; 3 ) f() = ; 4 ) f() = + Propriété Si u et v sont des fonctions dérivables sur un intervalle I et si v ne s'annule pas sur I, alors la fonction u v est dérivable sur I et on a u ' = u' v - u v' v v Eemple Soit f définie sur IR par f() = On pose u() = et v() = +. Les fonctions u et v sont dérivables sur IR et v ne s'annule pas ( + ³ pour tout réel ). On a u'() = -3 et v'() =, alors f est dérivable sur IR et f'() = u'() v() - u() v'() (v()) donc f'() = ( + ) = -3( + ) - (-3 + 5)() ( + ) = ( + ) Remarque L'utilisation des propriétés permet de justifier que les fonction polynômes sont dérivables sur IR. On appelle fonction rationnelle toute fonction s'eprimant comme le quotient de deu polynômes. Les fonctions rationnelles sont dérivables sur tout intervalle de leur ensemble de définition. Eercice 0 (voir réponses et correction) ) f() = + ; ) f() = ; 3 ) f() = ; 4 ) f() = Eercice (voir réponses et correction) ) f() = 3-5 ; ) f() = + - ; 3 ) f() = ; 4 ) f() = ère ES - L Dérivée page 7 / 0

8 Eercice (voir réponses et correction) Calculer les dérivées des fonctions suivantes. f() = g() = p() = q() = + Eercice 3 (voir réponses et correction) Calculer les dérivées des fonctions suivantes. f() = 3 p() = ( - 3) g() = h() = + 4 r() = h() = q() = ( - 3) r() = ( + ) Eercice 4 (voir réponses et correction) ( voir animation ) Soit f définie par f() = + -. La courbe représentative de f a-t-elle des tangentes parallèles à la droite d'équation y = - +? Si oui en quels points? Vérifier en traçant la courbe de f avec une calculatrice ou un grapheur. III Application au variations d'une fonction Eemple Soit f une fonction croissante sur un intervalle [a ; b]. Pour tout réel dans l'intervalle [a ; b], f'() est le coefficient directeur de la tangente T à la courbe (C) de f au point d'abscisse. Une interprétation graphique montre que, la fonction f étant croissante, ce coefficient directeur est positif. (C) T Si f est croissante sur [a ; b] on a donc f'() ³ 0 pour tout [a ; b]. Pour une fonction décroissante, on aurait une dérivée négative. Propriété a b Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. Si f est constante sur I, alors f' est nulle sur I. Si f est croissante sur I, alors f' est positive ou nulle sur I. Si f est décroissante sur I, alors f' est négative ou nulle sur I. Propriété Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. Si f' est nulle sur I, alors f est constante sur I. Si f' est positive ou nulle sur I, alors f est croissante sur I. Si f' est strictement positive sur I, alors f est strictement croissante sur I. Si f' est négative ou nulle sur I, alors f est décroissante sur I. Si f' est strictement négative sur I, alors f est strictement décroissante sur I. Eercice 5 (voir réponses et correction) On considère la fonction f définie sur IR par : f() = ) f est une fonction trinôme du second degré. Justifier que f a un minimum et calculer ce minimum. ) Calculer f'() et en déduire le sens de variation de f. Retrouver le fait que f a un minimum. ère ES - L Dérivée page 8 / 0

9 Eemple : Tableau de variations Considérons la fonction f définie sur [0 ; 4] par : f() = On a f'() = 3-3 = 3-6 = 3( - ). f'() est un trinôme du second degré dont les racines sont 0 et. D'après la règle du signe du trinôme on a : f'() 0 pour ]0 ; [ et f'() ³ 0 pour ] ; 4] On en déduit que f est décroissante sur [0 ; ] et f est croissante sur [ ; 4]. On peut résumer les variations de f dans son tableau de variations : Dans ce tableau on fait figurer les valeurs particulières : f(0) = - f() = = -5 f(4) = = 5 On peut considérer ce tableau comme une représentation graphique schématisée de f. Courbe représentative Pour tracer la représentation graphique de la fonction f, on placera les points particuliers obtenus dans le tableau de variations. On fera apparaître les tangentes parallèles à (O) (Ce sont les tangentes au points dont l'abscisse est racine de la dérivée f'()). On cherchera éventuellement quelques points supplémentaires puis on tracera la courbe de façon "harmonieuse" et conformément au sens de variation annoncé dans le tableau de variations. Si les unités ne sont pas imposées, elles seront judicieusement choisies. On trace ci-contre la courbe représentant la fonction f définie sur [0 ; 4] par : f() = étudiée dans l'eemple précédent. Les points particuliers sont les points de coordonnées (0 ; -) ; ( ; -5) et (4 ; 5) La dérivée s'annule en 0 et. La courbe a donc des tangentes parallèles à (O) en ses points d'abscisses 0 et. On trace ces deu tangentes, puis on trace la courbe. 0 4 f'() f -5 Eercice 6 (voir réponses et correction) On considère la fonction f définie sur IR par : f() = Calculer f'() et en déduire le sens de variation de f. Donner le tableau de variation de f sur [-4 ; 3]. Tracer la courbe représentative de f sur [-4 ; 3]. Eercice 7 (voir réponses et correction) On considère la fonction f définie sur IR par f() = ) Calculer f'() et étudier son signe. ) Donner le tableau de variations de f pour [-5 ; 5]. 3 ) Représenter graphiquement f pour [-5 ; 5]. On se placera dans le plan rapporté à un repère orthonormal d'unité cm. 4 ) Donner, en utilisant le graphique, le nombre de solutions, dans [-5 ; 5], de l'équation f() =. ère ES - L Dérivée page 9 / 0

10 Eercice 8 (voir réponses et correction) On considère la fonction f définie sur [0 ; 9] par f() = ) Déterminer la dérivée de f et étudier son signe. ) Donner le tableau de variations de f. 3 ) Donner en utilisant ce tableau le nombre de solutions de l'équation f() = sur l'intervalle [0 ; 9]. Eercice 9 (voir réponses et correction) On considère la fonction f définie sur IR \{ -} par f() = a + b + 6 où a et b sont deu réels fiés. + Déterminer a et b en sachant que la courbe de f passe par le point A( ; ) et qu'elle a, en ce point, une tangente parallèle à l'ae des abscisses. Vérifier en traçant la courbe avec une calculatrice ou avec un ordinateur. Eercice 30 (voir réponses et correction) Une entreprise fabrique des aspirateurs. Chaque mois elle produit un nombre d'aspirateurs, étant un entier compris entre 000 et Le coût moyen de production d'un aspirateur, eprimé en euros, est donné en fonction de par : C M () = 0, ) Justifier que la dérivée de C M est donnée par (C M )'() = 0,003( )( ) En déduire le sens de variation de C M et donner son tableau de variation sur [000; 6000]. Quel est le maimum et le minimum de la fonction C M sur l'intervalle [000 ; 6000]. ) On appelle C() le coût total de fabrication de aspirateurs. Eprimer C() en fonction de lorsque [ 000 ; 6 000]. Déterminer le coût total de 000 aspirateurs, de 00 aspirateurs. Quelle est l'augmentation de coût entrainée par la fabrication du 00 ème aspirateur? 3 ) On appelle coût marginal au rang et on note C marg () la différence C( + ) - C(). Justifier que C marg () = 0, ,003 4 ) Calculer l'erreur que l'on commet en assimilant le coût marginal à la dérivée du coût total et montrer que cette erreur est faible. Eercice 3 (voir réponses et correction) Une entreprise produit des crayons de couleur en quantité journalière q (eprimée en milliers). Lorsque la quantité q est comprise entre 4 et 0, on admet que le coût de production journalier, eprimé en euros, est donné par : C(q) = q 3-48q L entreprise vend chaque millier de crayons 99 euros. ) En supposant que toute la production est vendue, déterminer la recette journalière en fonction de q. ) Montrer que le bénéfice journalier B(q), eprimé en euros, est donné par : B(q) = -q q avec q [4 ; 0]. 3 ) Calculer B'(q) où B' désigne la dérivée de la fonction B. 4 ) Étudier le signe de B'(q) sur l intervalle [4 ; 0]. Dresser le tableau de variations de la fonction B. 5 ) En déduire le nombre de milliers de crayons à produire quotidiennement pour obtenir un bénéfice maimal. Quel est alors ce bénéfice maimal? 6 ) Représenter graphiquement la fonction B. En utilisant ce graphique, déterminer le nombre de solutions de l'équation B(q) = 0 et donner des valeurs approchées de ces solutions. 7 ) Déterminer graphiquement les productions qui assurent à l'entreprise un bénéfice positif. ère ES - L Dérivée page 0 / 0