On considère le prisme droit ABCDEF dont la base est un triangle ABC rectangle en A, et dont la hauteur est [AD].

Transcription

1 Prismes 1 Prisme à base un triangle rectangle 1 Pavés droits 1 Le pavé droit 1 Le cube Pyramides pyramide dans pavé droit ctivité pyramide à base rectangulaire, d'arêtes égales. alques et résultats. 4 à base carrée 6*6*1,6 6 pyramide régulière à base carrée 7 4,*4,*, version 7 ône Prismes Prisme à base un triangle rectangle II E On considère le prisme droit E dont la base est un triangle rectangle en, et dont la hauteur est [].? 6, cm,? 6 cm et? 11, 6 cm. 1 Placer la légende sur le dessin. alculer la longueur. Quelle est la nature du quadrilatère E? essiner E en grandeur réelle. alculer la longueur de la diagonale [E]. Le triangle rectangle en, d après l énoncé de Pythagore :??? 6,? 6? 9, 69? 6? 75, 69? 75, 69?, 7 cm Le quadrilatère E est une face latérale du prisme, donc E est un rectangle, donc le triangle E est rectangle en. E est un rectangle donc? E? 11, 6 cm. Le triangle E est rectangle en, d après l énoncé de Pythagore : E?? E E? 75, 69? 11, 6 E? 75, 69? 14, 56 E? 10, 5 E? 10, 5? 14, 5 cm Pavés droits Le pavé droit

2 E G Le pavé droit (ou parallélépipède rectangle) EG a pour dimensions :? 1 mm ;? mm ; E? 1 mm 1 essiner la face. alculer la longueur de la diagonale. essiner le quadrilatère. alculer la longueur de la diagonale. alculer à 0.1 près l angle 1 la face est rectangle. (essiner ce rectangle). Le triangle est donc rectangle en, d après l énoncé de Pythagore :??? 1?? 441? 74? 15? 15? 5 mm Les arêtes et du pavé droit sont perpendiculaires aux faces et EG donc aux droites et de ces faces. Le quadrilatère a donc quatre angles droits, est un rectangle de côtés? 1 mm et? 5 mm (dessiner ce rectangle, on peut obtenir la longueur sans calcul sur le carré ) donc le triangle est rectangle en, d après l énoncé de Pythagore :??? 15? 1? 15? 144? 169? 169? 7 mm Le triangle est rectangle en, par définition: cos 5 7 à la calculatrice:? 1, 9? E Le cube G Le cube EG a pour arête 5cm. 1 essiner la face. alculer la longueur de la diagonale. essiner le quadrilatère. alculer la longueur de la diagonale. alculer à 0.1 près l angle 1 la face est un carré de côté 5cm. (essiner ce carré). Le triangle est donc rectangle en, d après l énoncé de Pythagore:??? 5? 5? 50? 50? 7, 07cm Les arêtes et du cube sont perpendiculaires aux faces et EG donc aux droites et de ces faces. Le quadrilatère a donc quatre angles droits, est un rectangle de côtés =5cm et? 50 (dessiner ce rectangle, on peut obtenir la longueur sans calcul sur le carré )

3 donc le triangle est rectangle en, d après l énoncé de Pythagore:??? 50? 5? 75? 75?, 66cm Le triangle est rectangle en, par définition: cos à la calculatrice:? 5,? Pyramides pyramide dans pavé droit G E On ne demande pas de reproduire la figure. EG est un parallélépipède rectangle.? cm = = 4 cm 1. Placer la légende sur le dessin. essiner les faces E et G. alculer les longueurs et. En déduire la nature du triangle.. a) On considère que la pyramide a pour base le triangle. Quelle est alors la hauteur de la pyramide? alculer l aire de la base. alculer le volume de la pyramide. b) essiner le triangle, compléter le patron de la pyramide. 1. Les faces du parallélépipède rectangle sont des rectangles, donc E est un rectangle, donc le triangle est rectangle en. après l énoncé de Pythagore:???? 4? 9? 16? 5? 5? 5cm Le rectangle a les mêmes dimensions que le rectangle G donc 5 cm. Le triangle est donc isocèle en.. a) La droite () est perpendiculaire aux droites () et () donc () est perpendiculaire à la base, donc () est la hauteur. aire de : ire de?? 4? 4 cm Volume de la pyramide :

4 aire??? cm b) (utiliser le compas pour placer le point ) ctivité pyramide à base rectangulaire, d'arêtes égales. alques et résultats. Pour réaliser cette activité, on pourra se contenter d une rédaction abrégée de certains calculs en les faisant figurer à côté des figures correspondantes. On donnera la valeur exacte des longueurs et aires, puis une valeur arrondie à 0,01 près. La pyramide S a pour base le rectangle de côtés =7cm et =4cm, de centre le point. La hauteur S de la pyramide mesure 5cm. K est le milieu de [] et L est le milieu de []. 1 essiner la base, placer les points, K et L, calculer L, K et. essiner une vue en perspective cavalière de la pyramide. alculer son volume. essiner le triangle S, calculer S, dire pourquoi S? S? S? S, dessiner le développement de la pyramide S. essiner les triangles SK et SL, calculer SK et SL. alculer l'aire de la pyramide S. 4 alculer à 0,01 près les angles KS, LS, S, S et S. format paysage, 4 colonnes 1 1 L et K sont les demi médianes du rectangle, elles sont donc égales à la moitié des côtés parallèles : L? K cm 1 K, 5 cm. Le triangle K est rectangle en K, d après l énoncé de Pythagore :? K? K?, 5?? 16, 5? 16, 5 cm Volume de S : aire? S 7? 4? cm La hauteur S est perpendiculaire à la base, donc S est rectangle en. On connaît et S Le triangle S est rectangle en, d après l énoncé de Pythagore : S? S? S? 5? 16, 5? 41, 5 S? 41, 5 cm Les triangles S, S, S et S sont rectangles en et les côtés de l angle droit ont respectivement la même longueur, donc leurs hypoténuses ont la même longueur, donc S? S? S? S? 41, 5 cm ompléter au compas ouvert à la longueur S les quatre faces latérales en forme de triangle isocèle. SK et SL sont rectangles en. essiner les triangles au dimensions calculées. Le triangle SK est rectangle en. après l énoncé de Pythagore : SK? S? K SK? 5?, 5? 7, 5 SK? 7, 5 cm Le triangle SL est rectangle en. après l énoncé de Pythagore :

5 SL? S? K SL? 5?? 9 SL? 9 cm ire de la pyramide :? aire aire S aire S SK? SL?? 7? 4? 7, 5? 4? 9? 7? 90, 11 cm 4 Le triangle KS est rectangle en. Par définition : K, 5 cosks KS 7, 5 à la calculatrice : KS? 55, 01? Le triangle LS est rectangle en. Par définition : L cosls LS 9 à la calculatrice : LS? 6, 0? ans le triangle S isocèle en S, la médiane SK est également hauteur et bissectrice. Le triangle KS est rectangle en. Par définition : cosks? KS? S 7, 5 41, 5 à la calculatrice : KS? 1, 14? S KS? 6, 9? ans le triangle S isocèle en S, la médiane SL est également hauteur et bissectrice. Le triangle KS est rectangle en. Par définition : SL cossl S 9 41, 5 à la calculatrice : SL?, 0? S SL? 66, 04? Le triangle S est rectangle en, par définition : coss?? S 16, 5 41, 5 à la calculatrice : S? 511,? I Soit la pyramide décrite:??? 6 cm, les angles, et sont droits; on nomme le milieu de. 1 La face est choisie comme base, montrer que est la hauteur de cette pyramide. alculer le volume de cette pyramide. éterminer l'angle a)onstruire un développement de cette pyramide. b) essiner le triangle. 1 c) émontrer que?. Quelle est la nature du triangle? alculer et. d) En utilisant le triangle, calculer, l'aire du triangle et l'aire de la pyramide. alculer une valeur approchée de l'angle à 0,01 près.

6 On considère que la pyramide a pour sommet et pour base la face. En utilisant le volume de la pyramide calculé en 1 et l aire du triangle, calculer la hauteur K (K étant le point d'intersection de la hauteur avec la base ). Si la face est choisie comme base, la pyramide est-elle régulière? (expliquer). Placer le point K dans le triangle. Que représente le point K pour le triangle? I 1 est perpendiculaire aux droites () et () du plan de base, donc est perpendiculaire à ce plan, donc est la hauteur de la pyramide. Volume =??? 6? cm Le triangle est rectangle isocèle en, donc? 45?. a) Utiliser le compas pour tracer la face. b) Triangle : est droit,? 6 cm, reporter au compas la longueur prise sur le développement, (aucun calcul n'est nécessaire). c) après le théorème de la médiane, la médiane du triangle rectangle en est égale à la moitié de l hypoténuse, donc 1??. est isocèle en, donc la médiane est également hauteur, le triangle est rectangle isocèle en est rectangle en : d'après le théorème de Pythagore:??? 6? 6 6 1?? 1 d) Le triangle est rectangle en, d'après le théorème de Pythagore:??? 6? 1? 54? 54? ire? 54? 1 54? 1? 11, cm Les triangles, et sont rectangles isocèles d'aire 6? 6? 1 cm. ire de la pyramide: 54? 1 1? 51, cm est rectangle en : cos 6 54 à la calculatrice:? 5, 6? aire? K volume? 54? 1? K 6? 6? K, 46 cm 54? 1 La base est un polygone régulier (triangle équilatéral), et les arêtes latérales, et ont la même longueur, donc la pyramide de sommet est régulière. l'équerre, placer le point K sur dans le triangle (K? ) La pyramide est régulière, donc K est au centre de gravité du triangle. à base carrée 6*6*1,6 IV

7 S M S est une pyramide régulière (donc les arêtes S, S, S et S ont la même longueur) Sa base est le carré de côté 6cm. est le point d intersection des diagonales et. S est la hauteur de cette pyramide et S? 1, 6cm. M est le milieu du segment []. 1 alculer le volume de cette pyramide. Pour dessiner le développement de la pyramide S : a) u centre d une feuille, dessiner le carré, placer les points M et. En étudiant le triangle, expliquer pourquoi M? cm. b) ire pourquoi SM est un triangle rectangle. essiner le triangle SM Quelle est la nature de la face S? Sur le développement commencé en a), dessiner la face S et les autres faces de la pyramide S. ans le triangle SM, alculer SM. alculer l angle MS à 0,1 près. alculer l aire du triangle S IV I Placer la légende sur le dessin de l énoncé. 1 aire? S? 6? 1, 6? 19, cm a) Les diagonales [] et [] du carré sont perpendiculaires, donc le triangle est rectangle en. M est le milieu de [] donc [M] est une médiane du triangle. 6 La médiane M du triangle rectangle en M est égale à la moitié de l hypoténuse : M cm b) La hauteur S de la pyramide est perpendiculaire à la base, donc à toute droite du plan passant par. onc (S)? (M). essin: SM est rectangle en, on connaît M? cm et S? 1, 6 cm. S? S, le triangle S est donc isocèle en S, de hauteur SM. essin de S : on trace la médiatrice de [] passant par et on place le point S à la distance SM reportée au compas depuis le triangle SM. On trace de même les faces S, S et S. Le triangle SM est un triangle rectangle en M, donc, d après le théorème de Pythagore: SM? M? S SM?? 1, 6? 11, 56 SM? 1156,?, 4cm SM est rectangle en : cossm M MS, 4 à la calculatrice: SM?, 1? aires?? SM 6?, 4 10, cm pyramide régulière à base carrée 4,*4,*, version

8 S M S est une pyramide régulière. Sa base est le carré de côté 4,cm. est le point d intersection des diagonales et. S est la hauteur de cette pyramide et S?, cm. M est le milieu du segment []. 1 alculer le volume de cette pyramide. essiner le carré, placer les points M et. Montrer que M?, 1cm. ire pourquoi SM est un triangle rectangle. essiner le triangle SM. alculer SM. 4 essiner un développement de la pyramide S. alculer l aire du triangle S. 5 alculer l angle MS à 0,1 près. I Placer la légende sur le dessin de l énoncé. 1 aire? S 4,?, 16, 464cm (Plusieurs démonstrations possibles) Les diagonales [] et [] du carré sont perpendiculaires, donc le triangle est rectangle en. M est le milieu de [] donc [M] est une médiane du triangle. La médiane M du triangle rectangle en M est égale à la moitié de l hypoténuse 4, M, 1cm. La hauteur S de la pyramide est perpendiculaire à la base, donc à toute droite du plan passant par. onc (S)? (M). essin: SM est rectangle en, on connaît M et S. Le triangle SM est un triangle rectangle, donc, d après le théorème de Pythagore: SM? M? S SM?, 1?,? 1, 5 SM? 1, 5?, 5cm 4 4 faces triangulaires et isocèles, de base un côté du carré et de hauteur,5cm.? SM aires? 4,?, 5 7, 5 cm 5 SM est rectangle en :, cosms? S? SM, 5 à la calculatrice: MS? 6, 9? ône II Le développement de la surface latérale d'un cône de révolution est un secteur circulaire de rayon 9 cm et d'angle éterminer le périmètre de base de ce cône et son rayon de base. éterminer l'aire latérale et l'aire de ce cône. 1 Périmètre de la base: 11? 9 5, 6? 60 Rayon: 5, 6??, cm? ire latérale: ,?? 79, 17cm 60 même cône que ci-dessus: III Un cône de révolution a pour génératrice 9cm et pour rayon de base,cm.

9 1 alculer l'angle du développement de la surface latérale de ce cône alculer l'aire latérale de ce cône Sans calcul, dessiner une vue en coupe de ce cône passant par le sommet S et un diamètre de la base. Tracer la hauteur h du cône. III 1 ngle du développement:??,? 60??? 9, 60? 11? 9 ire latérale:??,??? 9?? 9? 9?,? 5,?? 79, 17cm Triangle S isocèle en S,? 5, 6cm, S? S? 9 cm. II S 5,cm,cm Un cône de révolution a pour génératrice 5,cm et pour rayon de base,cm. 1 i dessus une vue en coupe de ce cône passant par le sommet S et un diamètre de la base, S est la hauteur de ce cône. émontrer que S? 4, 5 cm. alculer le volume de ce cône. En utilisant les longueurs du cercle de base et d un cercle de rayon 5, cm, calculer l'angle du développement de la surface latérale de ce cône. essiner le développement de ce cône alculer l'aire latérale de ce cône II 1 S est un triangle isocèle en S de côtés,? 5, 6 cm, S? S? 5, cm. est le milieu de []. La hauteur [S] est perpendiculaire au disque de base, donc au diamètre []. onc le triangle S est rectangle en. après l énoncé de Pythagore : S?? S S?,? 5, S?, 09? 7, 4 S? 0, 5 S? 0, 5? 4, 5 cm Volume du cône :??? S,??? 4, 5?? 11, 76?? 6, 9 cm longueur du cercle de base :??, cm. la longueur d un cercle de rayon 5, cm :?? 5, cm ngle du développement:

10 ??,? 60??? 5,, 60? 190,? 5, ire du disque de rayon 5, cm :?? 5, cm ire latérale:??,??? 5,?? 5, coupole? 5,?,? 14, 4?? 46, 6 cm