MOYENNES. Moyenne arithmétique simple x de n éléments n
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- Didier Gauvin
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1 MOYENNES. Moyees : premières formules Moyee arithmétique simple de élémets ,,...,, Moyee arithmétique podérée de élémets,,...,, muis des coefficiets p, p,..., p, p p + p p + p p+ p p + p Eemples : Ue élève de ère ES a obteu les otes suivates : ; 5 ; 9 ; 7 ; ; 6 ; 3. Calculer et la moyee. Il y a 7 otes, doc = 7 et : = = Ue élève de ère ES a obteu les otes (avec coefficiets) suivates : (3) ; 5() ; 9() ; 7() ; 4() ; 6() ; 3(3). Calculer la somme des coefficiets N et la moyee. N = = 5 et : = 80 5 = Mathieu a eu les otes (avec coefficiets) suivates : 6() ; 8(3) ; (). Le prochai devoir a u coefficiet 4. Quelle ote devra-t-il obteir pour avoir la moyee? Soit la ote à obteir pour avoir la moyee ; est doc tel que : E multipliat par 0 : 0 = = O obtiet 4 5 puis 3. Mathieu doit obteir u 3 pour avoir la moyee.. Moyees : variatios Si o augmete toutes les valeurs,,...,, du même ombre k, la moyee augmete aussi de k Si o multiplie toutes les valeurs,,...,, par u même ombre k, la moyee est aussi multipliée par k Eemple : Les moyees trimestrielles e Mathématiques des élèves d'ue ère ES sot : 8, 9,, 5, 7, 4, 7, 9, 0, 0,, 7, 9,, 5, 8, 3, 7, 9, 0,, 5, 7, 9, Calculer la moyee de la classe Le professeur souhaite rameer cette moyee à 0. Il hésite etre ajouter u certai ombre de poits à toutes les otes ou multiplier toutes les otes par u certai ombre. Méthode : Combie de poits faut-il rajouter au otes des élèves pour que la classe ait 0 de moyee? Moyees Page G. COSTANTINI
2 Méthode : Par combie faut-il multiplier les otes des élèves pour que la classe ait 0 de moyee? Il y a N = 5 otes, et o trouve : 5 5 = 9 Méthode : la moyee de la classe est 9. Pour obteir 0, il faut doc rajouter poit à chaque élève. Méthode : pour passer de 9 à 0, il faut multiplier par k =,... ( 0 9 ). Pour que la classe ait 0 de moyee, il faut doc multiplier les otes des élèves par, Itégratio d'u ouvel élémet das ue moyee Soit la moyee des élémets,,...,, podérés par les coefficiets p, p,..., p, p. Notos N = p + p p + p. O a doc : p + p p + p N Soit a u ouvel élémet avec u coefficiet p. La ouvelle moyee X peut se calculer à partir de l'aciee grâce à la formule suivate : Eemple : X = N + pa N + p Marc a déjà obteu les otes (avec coefficiets) suivates : 9(3), (5), 3(), 8(), 9() et (). Calculer sa moyee. Marc obtiet ue ouvelle ote : 5 coefficiet 4. Calculer sa ouvelle moyee X. O a : Sa ouvelle moyee est : X = = 30 8,78 = 74 4,43 4. Moyee de moyees La moyee m de deu moyees m et m muies des coefficiets respectifs p et p est doée par la formule : m = pm p + pm Eemple : Ue classe est composée de 55% de filles. Les élèves de la classe sot répartis suivat leurs âges et leurs sees comme l'idique le tableau suivat : 5 as 6 as 7 as Garços 0% 78% % Filles 0% 70% 0% Calculer la moyee d'âge m des garços et la moyee d'âge m des filles. Calculer la moyee d'âge m de la classe. + p Moyees Page G. COSTANTINI
3 Moyee d'âge m des garços : m = Moyee d'âge m des filles : m = Moyee d'âge m de la classe (il y a 55% de filles et 45% de garços) : m = = 6,0 = 5, , , = 5, Ici, les coefficiets sot les pourcetages 5. D'autres moyees Type de moyee Pour élémets et y Pour élémets,,...,, Géométrique y ( 0 et y 0)... ( i 0) Quadratique Harmoique y = + y (y 0) ( i 0) Eemples : O doe 3 et y = 5. Calculer les moyees arithmétique, géométrique, quadratique et harmoique de et y. Moyee arithmétique : = 4 Moyee géométrique : y = 5 3,87 Moyee quadratique : Moyee harmoique : = y = 30 8 = 3,75 = 7 4,3 C'est rassurat, toutes ces moyees sot assez voisies. Formule géérale : ƒ(m) = ƒ( i ) i = Si ƒ() = alors m est la moyee arithmétique. Si ƒ() = alors m est la moyee quadratique. Si ƒ() = alors m est la moyee harmoique Si ƒ() = l alors m est la moyee géométrique. (Avec i > 0) Moyees Page 3 G. COSTANTINI
4 E effet : Si ƒ() = alors la formule deviet : m = i= i (m est doc la moyee arithmétique) Si ƒ() = alors la formule deviet : m = Si ƒ() = alors la formule deviet : m = Si ƒ() = l alors la formule deviet : i= i i= i (m est doc la moyee quadratique) (m est doc bie la moyee harmoique) l m = i = l( i ) = l i = l i i= i= d'où m = i= i Applicatios : Moyee géométrique et tau d'accroissemet moye. Ue quatité (positive) Q 0 évolue de t % ue aée puis de t % l'aée suivate. Quel est le tau moye auel d'évolutio? Notos c = + t 00 et c = + t 00 et Q = c c Q 0 la quatité après deu aées. Soit c le coefficiet multiplicateur correspodat au tau moye auel. Aisi : Q = c Q 0. D'où : c = cc Gééralisatio à aées : c = cc... c Le tau moye d'évolutio pour ue période est la moyee géométrique des tau d'évolutios des souspériodes. Moyee harmoique et vitesse moyee. U avio parcourt ue distace d à l'aller à ue vitesse costate v et au retour à ue vitesse costate v. Quelle est sa vitesse moyee v moy sur le trajet aller-retour (d)? v moy = t Où t aller = d et t retour = d. v v aller d + t retour Aisi : v moy = + v v Gééralisatio à sous-trajets de même logueur parcourus à des vitesses costates v,..., v : v moy = v v v La vitesse moyee sur ue distace est la moyee harmoique des vitesses sur les sous-distaces. Moyees Page 4 G. COSTANTINI
5 Moyee géométrique et suite... géométrique. Soiet a, b et c trois réels o uls tels que l'o passe de l'u au suivat e multipliat par ue même quatité q : a b = qa c = qb = q a (O dit que a, b et c sot trois termes cosécutifs d'ue suite géométrique) Alors le terme cetral (à savoir b) est la moyee géométrique des termes etrêmes (a et c). E effet : b = q a = ac Doc : b = ac Moyees Page 5 G. COSTANTINI
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