Chapitre 9 Constructions dans l'espace

Transcription

1 Chapitre 9 Constructions dans l'espace 1 Représentation plane d'objets à 3 dimensions Un point de l'espace est représenté par un point. Il est désigné par une majuscule. Un point A : Une droite de l'espace est représentée par un segment. Elle est désignée par une minuscule ou par deux de ses points. Une droite d : Une droite AB : Un plan de l'espace est représenté par un parallélogramme. Il est désigné par une minuscule grecque ou par trois de ses points. Un plan α : Un plan ABC : Les objets sont représentés en perspective cavalière, ce qui implique les deux conventions suivantes. Deux droites qui dans la réalité sont parallèles sont représentées sur le dessin par des parallèles. C'est donc une perspective sans point de fuite. Les lignes vues sont tracées en traits pleins et les lignes cachées sont tracées en pointillés. Exemples. Un cube ABCDEFGH : Un tétraèdre ABCD :

2 Positions relatives de deux droites de l'espace 2 Soient a et b deux droites de l'espace. Premier cas - droites confondues. Deuxième cas - droites parallèles distinctes. Troisième cas - droites sécantes. Quatrième cas - droites gauches. Dans chacun des trois cas précédents, a et b appartiennent à un même plan de l'espace. Quand il n'existe aucun plan qui comprenne à la fois a et b, on dit que a et b sont deux droites non coplanaires ou encore que a et b sont deux droites gauches. Le dessin ci-dessous pourrait représenter deux droites gauches. Les représentations des droites se coupent mais les droites elles-mêmes ne se coupent pas. On pourrait imaginer que l'on ait devant soi une vitre, sur laquelle serait tracée une droite a et, à l'arrière-plan, un mur, sur lequel serait tracée une droite b. Le contexte peut aider à comprendre quelle est la véritable position de deux droites gauches. Ci-dessous, les droites AB et CG construites sur deux arêtes d'un cube sont gauches. Les droites AB et CD construites sur deux arêtes d'un tétraèdre aussi.

3 Positions relatives de deux plans de l'espace 3 Soient α et β deux plans de l'espace. Premier cas - plans confondus Troisième cas - plans sécants. Deuxième cas - plans parallèles distincts.. Positions relatives d'un plan et d'une droite de l'espace Soient α un plan de l'espace et d une droite de l'espace. Premier cas - droite incluse dans le plan. Deuxième cas - droite parallèle au plan et non incluse dans lui. Troisième cas - droite et plan sécants.

4 Point de percée d'une droite dans un plan 4 Le point P d'intersection d'une droite d et d'un plan α est appelé le point de percée de d dans α. Propriété P = α d Si P = α d, si β est un plan où d soit inclus et si a = α β, alors P = a d. Application de cette propriété Si on veut construire le point P de percée de d dans α, on cherche un plan β comprenant d et facile à construire, on détermine la droite a d'intersection de α et β et on trouve P à l'intersection de a et de d.

5 Propriété des plans parallèles 5 Si deux plans parallèles α et β sont coupés par un troisième plan γ, alors les droites d'intersection a = α γ et b = β γ sont parallèles l'une à l'autre Exercices 1) Soient la droite a et le plan α. A chacune de ces situations, associer une des propositions suivantes : a) a α = b) a α et a α c) a α et a α. D'après l'exercice 454 du livre Espace math 4. 2) Soient les plans α et β. A chacune de ces situations, associer une des propositions suivantes : a) α = β b) α β et α β c) α β =. D'après l'exercice 456 du livre Espace math 4.

6 3) Soient les droites a et b et le plan α. 6 A chacune de ces situations, associer une des propositions suivantes : a) a α, b α, a b = et b α b) a α, b α, a b c) a α, b α, a b = D'après l'exercice 455 du livre Espace math 4. 4) Dans ce cube et ce tétraèdre, déterminer a) une droite parallèle à XY b) une droite sécante par rapport à XY c) une droite gauche par rapport à XY. D'après l'exercice 457 du livre Espace math 4.

7 5) Déterminer graphiquement, dans chacun des cas suivants, le point de percée P de la droite XY dans le plan ABC. Justifier chaque étape. 7 D'après l'exercice 459 du livre Espace math 4. a) X AD, Y CD. b) X AD, Y BD.

8 c) X AD, Y BCD. 8 6) Soit le cube ARTHUBOS. Déterminer graphiquement, en justifiant chaque étape, le point de percée P de la droite KC dans le plan BUS. K HS et C RT. D'après l'exercice 458 du livre Espace math 4.

9 7) Soient le cube MNPQRSTU et le plan ABC. Déterminer graphiquement, dans chacun des cas suivants, la section de ce cube par ce plan. Justifier chaque étape. 9 D'après l'exercice 463 du livre Espace math 4. a) A MQ, B NQ, C QU. b) A MQ, B PQ, C TU.

10 c) A MNP, B PQ, C PQT. 10 8) Soient le tétraèdre ABCD et le plan XYZ. Déterminer graphiquement, dans chacun des cas suivants, la section de ce tétraèdre par ce plan. Justifier chaque étape. D'après l'exercice 12 page 137 du livre Des situations pour apprendre. a) X AB, Y AC, Z BD.

11 b) X AB, Y AC, Z CD. 11 c) X AB, Y AC, Z CD.

12 d) X AB, Y AC, Z CD. 12 9) Déterminer graphiquement la section de la pyramide à base rectangulaire ABCDE par le plan XYZ. Justifier chaque étape. X ABE, Y BE, Z CD.

13 Corrigé 13 1) b) a α et a α a) a α = c) a α et a α. 2) b) α β et α β c) α β = a) α = β

14 4)4 3) 14 c) a α, b α, a b = a) a α, b α, a b = et b α b) a α, b α, a b a) a α, b α, a b = et b α a) a α, b α, a b = et b α 4) a) Droites parallèles à XY : MN, QP, VU. b) Droites sécantes par rapport à XY : MX, VX, NY, UY. c) Droites gauches par rapport à XY : MQ, NP, QV, PU. Droites parallèles à XY : aucune. Droites sécantes par rapport à XY : UX, VX, UY, VY. Droites gauches par rapport à XY : UV.

15 5) Détermination du point de percée P = XY ABC. 15 Principe On applique la propriété de la page 4 avec d = XY et α = ABC. On choisit un plan β tel que d β. On détermine la droite a = α β. Finalement, comme le prévoit cette propriété de la page 4, P = d a. a) X AD, Y CD. On a d = XY et α = ABC. On cherche P = XY ABC = d α. Prenons β = ACD. On a bien d β puisque X AD et Y CD. On a alors a = α β = ABC ACD = AC. Finalement, P = d a = XY AC. b) X AD, Y BD. On a d = XY et α = ABC. On cherche P = XY ABC = d α. Prenons β = ABD. On a bien d β puisque X AD et Y BD. On a alors a = α β = ABC ABD = AB. Finalement, P = d a = XY AB

16 c) X AD, Y BCD. On a d = XY et α = ABC. On cherche P = XY ABC = d α. Prenons β = ADY. On a bien d β puisque X AD et Y ADY. On a alors a = α β = ABC ADY. Cherchons deux points de la droite a. A est un point de a car A ABC et a ADY. Soit Q = a BCD. On aura a = AQ. Q = a BCD = (ABC ADY) BCD = (ABC BCD) (ADY BCD) = BC DY. Finalement, P = d a = XY AQ 16 6) K HS et C RT. On a d = CK et α = BUS. On cherche P = CK BUS = d α. Prenons β = CKS. On a bien d β puisque CK CKS. On a alors a = α β = BUS CKS. S est un point de a car S BUS et S CKS. Soit D = a RBO. On aura a = DS. On peut construire D par application de la propriété des plans parallèles (page 5) : le plan β coupe les plans parallèles AUS et RBO selon deux droites parallèles : KS dans AUS et la parallèle à KS passant par C dans RBO. D est l'intersection de cette parallèle avec BUS, donc avec BO. Finalement, P = d a = CK DS.

17 7) Détermination graphique de la section du cube MNPQRSTU par le plan ABC. 17 a) Sur la face du dessus, MNPQ. Les points A et B du plan ABC sont chacun sur une arête de cette face. [AB] est donc un côté de la section. Sur la face avant, RMQU. Les points A et C du plan ABC sont chacun sur une arête de cette face. [AC] est donc un côté de la section. Sur la face arrière, SNPT. Le point B du plan ABC est sur une arête de cette face, qui est parallèle à la face avant. D'après la propriété des plans parallèles (page 5), le côté de la section sera un segment parallèle à AC passant par B. En traçant cette parallèle à partir de B, on rencontre d'abord l'arête [ST], en un point que l'on nomme D. [BD] est donc un côté de la section. Sur la face du dessous, RSTU. Le point D que l'on vient d'obtenir est un point de la section, donc du plan ABC et il est sur une arête de la face du dessous, qui est parallèle à celle du dessus. D'après la propriété des plans parallèles (page 5), le côté de la section sera un segment parallèle à AB passant par D. En traçant cette parallèle à partir de D, on rencontre d'abord l'arête [TU], en un point que l'on nomme E. [DE] est donc un côté de la section. Sur la face de droite, UQPT. Le point E, que l'on vient de trouver, et le point C appartiennent l'un et l'autre au plan ABC et sont chacun sur une arête de la face de droite UQPT. [EC] est donc un côté de la section. Conclusion. La section cherchée est le pentagone ABDEC.

18 b) 18 Sur la face du dessus, MNPQ. Les points A et B du plan ABC sont chacun sur une arête de cette face. [AB] est donc un côté de la section. Sur la face de droite, UQPT. Les points B et C du plan ABC sont chacun sur une arête de cette face. [BC] est donc un côté de la section. Sur la face du dessous, RSTU. Le point C du plan ABC est sur une arête de la face du dessous, qui est parallèle à celle du dessus. D'après la propriété des plans parallèles (page 5), le côté de la section sera un segment parallèle à AB passant par C. En traçant cette parallèle à partir de C, on rencontre d'abord l'arête [SR], en un point que l'on nomme D. [CD] est donc un côté de la section. Sur la face de gauche, RMNS. Le point D que l'on vient d'obtenir est un point de la section, donc du plan ABC et il est sur une arête de la face de gauche, qui est parallèle à celle de droite. D'après la propriété des plans parallèles (page 5), le côté de la section sera un segment parallèle à BC passant par D. En traçant cette parallèle à partir de D, on rencontre d'abord l'arête [MR], en un point que l'on nomme E. [DE] est donc un côté de la section. Sur la face avant, RMQU. Le point E, que l'on vient de trouver, et le point A appartiennent l'un et l'autre au plan ABC et sont chacun sur une arête de la face avant RMQU. [EA] est donc un côté de la section. Conclusion. La section cherchée est le pentagone ABCDE.

19 c) 19 Sur la face du dessus, MNPQ. Les points A et B du plan ABC sont cette face. B est sur une arête et, en traçant la droite BA à partir de B, on rencontre d'abord l'arête [MN], en un point que l'on nomme D. [BD] est donc un côté de la section. Sur la face de droite, UQPT. Les points B et C du plan ABC sont cette face. B est sur une arête et, en traçant la droite BC à partir de B, on rencontre d'abord l'arête [UT], en un point que l'on nomme E. [BE] est donc un côté de la section. Sur la face du dessous, RSTU. Le point E du plan ABC est sur une arête de la face du dessous, qui est parallèle à celle du dessus. D'après la propriété des plans parallèles (page 5), le côté de la section sera un segment parallèle à AD passant par E. En traçant cette parallèle à partir de E, on rencontre d'abord l'arête [RU], en un point que l'on nomme G. [EG] est donc un côté de la section. Sur la face de gauche, RMNS. Le point D du plan ABC et est sur une arête de la face de gauche, qui est parallèle à celle de droite. D'après la propriété des plans parallèles (page 5), le côté de la section sera un segment parallèle à BE passant par D. En traçant cette parallèle à partir de D, on rencontre d'abord l'arête [MR], en un point que l'on nomme F. [DF] est donc un côté de la section. Sur la face avant, RMQU. Le point F et le point G appartiennent l'un et l'autre au plan ABC et sont chacun sur une arête de la face avant RMQU. [FG] est donc un côté de la section. Conclusion. La section cherchée est le pentagone BEGFD.

20 20 8) Détermination graphique de la section du tétraèdre ABCD par le plan XYZ a) Sur la face de gauche ABC Le point Y est sur l'arête [AC], donc sur la face ABC. Le point X n'est pas sur la face ABC mais bien dans le plan ABC, puisqu'il est sur la droite AB. La partie de la droite XY incluse dans la face ABC sera un côté de la section. En partant de Y le long de XY, on rencontre l'arête [BC] en un point que l'on nomme U. [YU] est le côté cherché. Sur la face du dessous BCD Le point U est sur l'arête [BC], donc sur la face BCD. Le point Z n'est pas sur la face BCD mais bien dans le plan BCD, puisqu'il est sur la droite BD. La partie de la droite UZ incluse dans la face BCD sera un côté de la section. En partant de U le long de UZ, on rencontre l'arête [CD] en un point que l'on nomme V. [UV] est le côté cherché. Sur la face de droite ACD Les points V et Y sont chacun sur une arête de la face ACD. [VY] est le côté cherché sur cette face. Conclusion Le triangle UVY est la section cherchée.

21 21 b) Sur la face de gauche ABC Les points X et Y sont chacun sur une arête de la face ABC. [XY] est le côté cherché sur cette face. Sur la face de droite ACD Le point Y est sur l'arête [AC], donc sur la face ACD. Le point Z n'est pas sur la face ACD mais bien dans le plan ACD, puisqu'il est sur la droite CD. La partie de la droite YZ incluse dans la face ACD sera un côté de la section. En partant de Y le long de YZ, on rencontre l'arête [AD] en un point que l'on nomme U. [YU] est le côté cherché. Sur la face arrière ABD Les points U et X sont chacun sur une arête de la face ABD. [UX] est le côté cherché sur cette face. Conclusion Le triangle UXY est la section cherchée.

22 c) 22 Sur la face de gauche ABC Les points X et Y sont chacun sur une arête de la face ABC. [XY] est le côté cherché sur cette face. Sur la face de droite ACD Les points Y et Z sont chacun sur une arête de la face ACD. [YZ] est le côté cherché sur cette face. Sur la face du dessous BCD Le point Z est sur l'arête [CD], donc sur la face BCD. Cherchons un autre point qui soit à la fois dans le plan XYZ et dans le plan BCD, par exemple le point de percée de la droite XY dans le plan BDC. Appelons P ce point de percée. Recherche de P Reprenons les mêmes notations que dans les problèmes de point de percée. On a d = XY et α = BCD. On cherche P = XY BCD = d α. Prenons β = ABC. On a bien d β puisque X AB et Y AC. On a alors a = α β = BCD ABC = BC. Finalement, P = d a = XY BC. La partie de la droite PZ incluse dans la face BCD sera un côté de la section. PZ coupe l'arête [BD] en un point que l'on nomme V. [ZV] est le côté cherché. Sur la face arrière ABD Les points V et X sont chacun sur une arête de la face ABD. [VX] est le côté cherché sur cette face. Conclusion Le quadrilatère XYZV est la section cherchée.

23 d) 23 Sur la face de gauche ABC Les points X et Y sont chacun sur une arête de la face ABC. [XY] est le côté cherché sur cette face. Sur la face de droite ACD Les points Y et Z sont chacun sur une arête de la face ACD. [YZ] est le côté cherché sur cette face. Sur la face du dessous BCD Le point Z est sur l'arête [CD], donc sur la face BCD. Cherchons un autre point qui soit à la fois dans le plan XYZ et dans le plan BCD, par exemple le point de percée de la droite XY dans le plan BDC. Appelons P ce point de percée. Recherche de P Reprenons les mêmes notations que dans les problèmes de point de percée. On a d = XY et α = BCD. On cherche P = XY BCD = d α. Prenons β = ABC. On a bien d β puisque X AB et Y AC. On a alors a = α β = BCD ABC = BC. Finalement, P = d a = XY BC. La partie de la droite PZ incluse dans la face BCD sera un côté de la section. PZ coupe l'arête [BD] en un point que l'on nomme U. [ZU] est le côté cherché. Sur la face arrière ABD Les points U et X sont chacun sur une arête de la face ABD. [UX] est le côté cherché sur cette face. Conclusion Le quadrilatère XYZU est la section cherchée.

24 9) 24 Sur la face avant ABE Les points X et Y sont sur cette face. Le côté de la section est [UY] où U = AE XY. Sur la face du bas ABDC Le point Z est sur l'arête [CD], donc sur la face ABDC. Cherchons un autre point qui soit à la fois dans le plan XYZ et dans le plan ABC, par exemple le point de percée de la droite XY dans le plan ABC. Appelons P ce point de percée. Recherche du point de percée P On a d = XY et α = ABC. On cherche P = XY ABC = d α. Prenons β = ABE. On a bien d β puisque X ABE et Y BE. On a alors a = α β = ABC ABE = AB. Finalement, P = d a = XY AB. Le côté de la section est [VZ] où V = PZ BD. Sur la face de droite BDE Les points Y et V sont chacun sur une arête de cette face. Le côté de la section est [YV]. Sur la face arrière CDE Le point Z est sur l'arête [CD], donc sur la face CDE. Cherchons un autre point qui soit à la fois dans le plan XYZ et dans le plan CDE, par exemple le point de percée de la droite YV dans le plan CDE. Appelons Q ce point de percée. Recherche du point de percée Q On a d' = YV et α' = CDE. On cherche Q = VZ CDE = d' α'. Prenons β' = BDE. On a bien d' β' puisque V BD et Y BE. On a alors a' = α' β' = CDE BDE = DE. Finalement, Q = d' a' = YV DE. Le côté de la section est [ZW] où W = QZ CE. Sur la face de gauche ACE Les points W et U sont chacun sur une arête de cette face. Le côté de la section est [WU]. Conclusion Le pentagone UYVZW est la section cherchée.