Exercices de la session Correction

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1 Numération 1 Exercices de la session Correction Dans cet exercice, a, b et c sont des chiffres compris entre 1 et 9. On considère des nombres écrits en base dix avec ces chiffres et on note, par exemple, bac le nombre dont b est le chiffre des centaines, a celui des dizaines et c celui des unités. Les questions sont indépendantes. 1) Voici 4 nombres : 7, 13, 57 et 61. Parmi ces nombres, lequel n est pas un nombre premier? Justifier. Un nombre premier est un nombre qui a exactement 2 diviseurs, 1 et lui même. 57=3*19; donc 57 n'est pas premier; les 3 autres nombres ne sont divisibles que par 1 et eux-mêmes et sont donc premiers. 2) a) Le nombre 3737 est-il un nombre premier? Justifier. 3737= =37*100+37*1=37* n'est donc pas premier. b) Un nombre de la forme abab peut-il être un nombre premier? Justifier. abab=ab*100+ab=ab*101; abab n'est donc pas un nombre premier car il est divisible par ) a) On considère les trois nombres abc, abb et acc. Montrer que la somme de ces trois nombres est un nombre divisible par 3. N=abc+abb+acc=100*a+10*b+c+100*a+10*b+b+100*a+10*c+c=300*a+21*b+12*c=3*(100*a+7*b+4*c). N est donc un multiple de 3. b) On considère les deux nombres cba et bba. Proposer un troisième nombre de trois chiffres, uniquement formé avec des chiffres choisis parmi les chiffres a, b et c, pour que la somme des trois nombres soit divisible par 3. Justifier. cba+bba=2*a+120*b+100*c; 120 est multiple de 3; on ajoutant cca on obtient 3*a+120*b+210*c=3*(a+40*b+70*c) une solution au problème est donc cca. Rq : ce n'est pas la seule solution (acc est également solution) Construction de points, de triangles On considère deux points A et B du plan distants de 6 cm. 1) a. Le point C 1 est sur le segment [AB] et vérifie la condition BC 1 =2 AC 1. Quelle est la longueur du segment [AC 1 ]? Justifier. b. Le point C 2, distinct de C 1, est sur la droite (AB) et vérifie la condition BC 2 =2 AC 2. Quelle est la longueur du segment [AC 2 ]? Justifier. c. Placer, avec une règle graduée, les points A, B, C 1 et C 2 sur une figure qui sera complétée au fur et à mesure des questions. 1. a) Si C 1 est sur le segment [AB] alors BC 1 +AC 1 =AB=6 cm Comme BC 1 =2AC 1, on a 3 AC 1 =6 cm donc AC 1 = 2 cm. b) C 2 est en dehors du segment [AB] et BC 2 =2 AC 2, donc C 2 est A est le milieu de [BC 2 ]. On s intéresse maintenant aux points C du plan n appartenant pas à la droite (AB) et vérifiant la condition BC = 2 AC. On appelle x la mesure de AC, l unité de longueur étant le centimètre. 2) a. Existe-t-il des points C correspondant à la valeur x=9? Justifier la réponse. Dans le cas d une réponse positive, construire ces points. La longueur des côtés d'un triangle vérifie les relations suivantes, connues sous le nom d'inégalités triangulaires : «dans un triangle, la mesure d'un côté quelconque est compris entre la somme et la différence de la mesure des deux autres». AB =6; si x=9 et BC=2 AC =18; ces trois nombres ne vérifient pas les inégalités triangulaires; un tel triangle n'existe donc pas. b. Existe-t-il des points C correspondant à la valeur x=5? Justifier la réponse. Dans le cas d une réponse positive, construire ces points.

2 Pour x= 5, on a AB=6; AC=5 et BC=10; ces nombres permettent de construire un tel triangle; il y en fait deux solutions. On obtient ces deux solutions à l'intersection du cercle de centre A et de rayon 5 et du cercle du centre B et de rayon 10. Rq : dans la question précédente, si on avait construit deux cercles de centre A et B et de rayon respectif 9 et 18 alors ces deux cercles n'aurait pas eu de point d'intersection. 3) Calculer la valeur de x pour laquelle le triangle ABC est rectangle en C. Écrire le résultat sous la forme a 5. La relation de Pythagore appliquée au triangle rectangle ABC rectangle en C s'écrit : AB²=AC²+BC²; on sait de plus que BC=2 AC et AB= 6, ce qui donne 36=x 2 4 x 2, soit 36=5 x 2 ; d'où x 2 = 36 5 soit x= 36 5 = 36 5 = 6 5 =6 5 5 =1,2 5 4) Montrer qu il existe une seule valeur de x pour laquelle le triangle ABC est isocèle. Déterminer cette valeur et placer les points correspondants sur la figure en laissant apparents les tracés nécessaires à cette construction. On a AB=6 et BC=2AC; si ce triangle ABC est isocèle, alors soit : AB=BC=6 et AC=3, ce qui respecte les inégalités triangulaires. AB=6, AC=6 et BC=12; ces dimensions ne vérifient pas les inégalités triangulaires. Une seule valeur de x convient donc, x=3, ce qui correspond à deux points C (cf figure ci-contre) Indice de masse corporelle L indice de masse corporelle - IMC - d un individu est égal au quotient du poids (en kg) par le carré de la taille (en m) de cette personne. 1) Entre les mois d avril et septembre, Antoine a fait un régime et a perdu 12% de son poids initial. Sachant qu en septembre il pèse 64 kg et qu il mesure 1,60 m, calculer : a) Son IMC en septembre. p étant le poids en kg et t la taille en m, IMC= p t = ,6 =25 2 b) Son poids en avril (on donnera l arrondi au dixième de kilogramme). ps,pa désignent respectivement le poids en septembre et en avril. Alors ps= pa 1 0,12 = pa 0,88 donc pa= ps : 0,88 72,7 kg 2) Encouragé par ce premier résultat, Antoine a poursuivi son régime et perdu encore 8% de son poids entre septembre et décembre. Calculer le pourcentage de la perte de poids d Antoine entre avril et décembre. On donnera le résultat arrondi à 1% près. pd = ps 1 0,12 1 0,08 = ps 0,88 0,92= ps 0,8096= ps 1 0,1904. Il a donc perdu environ 19% de son poids depuis septembre

3 Mesures de capacité, pourcentages etc Cet exercice comporte deux questions indépendantes. 1) Des petites briques de jus d orange d une contenance de 20 cl ont la forme de pavés droits dont la base a pour dimensions 4 cm et 6 cm. a) Calculer la hauteur h d une de ces briques. On donnera une valeur approchée de h à 1 mm près par excès. Le volume de la brique est égal à 20 cl soit 0,2 l soit 0,2 dm 3 =200 cm 3. Il est égal au produit des trois dimensions de la brique; donc 4 6 h=200 ;on a donc h=200:24 soit environ 8,3 cm b) Un magasin propose ces briques au prix de 2,89 le lot de six. Calculer le prix d un litre de jus d orange, arrondi au centime. 6 briques de 20 cl représentent 1,2 l pour 2,89. Le prix d'un litre est donc de 2,89:1,2 soit environ 2,41 c) Lors d une opération promotionnelle le magasin propose deux options : option A : une remise de 30 % sur le prix d un lot ; option B : prix du lot inchangé mais avec deux briques «gratuites» en plus. Quelle option donne le prix au litre le moins élevé? Justifier la réponse. Pour l'option A, une réduction de 30% sur le lot revient à une réduction de 30% sur le prix du litre qui est donc de 2,41*0,7 soit environ 1,69 l'option B propose 1,6 litres pour 2,89 soit un prix au litre de 2,89:1,6 soit environ 1,81. L'option A est donc la plus avantageuse. 2) Dans un autre magasin, une offre promotionnelle consiste à «rembourser» la TVA sur tous les produits. Ainsi le client voit affiché le prix toutes taxes comprises (TTC) mais ne paie en caisse que le prix hors taxes. a) Quel est le prix payé en caisse (arrondi au centime) si le prix affiché est 42,55 et le taux de TVA est 5,5 %? P TTC =P HT *(1+Taux), donc P HT =P TTC : (1+Taux); donc P HT =42,55:(1,055) soit environ 40,33 b) Pour pouvoir retrouver les prix promotionnels des objets qu il achète dans ce magasin, un client prépare, à l aide d un tableur, la feuille de calcul suivante : Quelle formule peut-il taper dans la case D2 pour que s affiche le prix promotionnel d un produit alimentaire dès que l on entre son prix affiché en B2? =B2/1,055) Quelle formule peut-il taper en D3? =B3/(1,196) Numération (2) et division euclidienne 1) On décompte de 4 en 4 à partir de 61 tant qu on obtient un entier naturel : «61, 57, 53,». a) Quel nombre termine cette liste? Si on continue la liste 61,57,53,49,... on retranche 4 à chaque fois, jusqu'à ce que le nombre obtenu soit inférieur à 4. Il s'agit donc d'opérer une division euclidienne par soustractions successives. Le dernier nombre obtenu sera donc le reste de cette division euclidienne de 61 par 4. 61=15*4+1. Le nombre qui termine la liste est donc 1. On décompte maintenant de 4 en 4 tant qu on obtient un entier naturel, mais à partir de 9843 : b) Quel nombre termine cette nouvelle liste? Justifier la réponse. 9843=2460*4+3. on a donc effectué 2460 soustractions successives et le reste est 3 c) Combien comporte-t-elle de termes? La liste comporte termes soit 2461 termes d) Quel est le 100e terme? Le centième terme est celui correspondant à la 99ème soustraction, soit *4=9447 2) En utilisant uniquement l information = (4548 x 3547) , a) donner le quotient et le reste de la division euclidienne de par la relation donnée définit la division euclidienne de par 4548 car 3651 est inférieur au diviseur Donc le quotient est 3547 et le reste 3651 b) donner le quotient et le reste de la division euclidienne de par Par contre = (4548 x 3547) ne définit pas la division euclidienne de par 3547, car

4 3651 est supérieur au diviseur Donc le quotient est 4549 (ie ) et le reste 4 ( ) 3) On sait que = (1996 x 501) = (1996 x 50) = (1996 x 5) + 20 Utiliser ces relations pour déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de par = 8 * * * = 8*(1996*501+4)+6 * (1996*50+200)+4 * (1996*5 +20) = 1996 *(8* * * 5) +8 * 4+ 6 *200 +4* = 1996* < 1996, donc le quotient et le reste de la division demandée sont respectivement 4328 et Immatriculation Au cours de l année 2009, de nouvelles plaques d'immatriculation doivent être mises en circulation. Chaque véhicule immatriculé possèdera désormais un numéro «à vie». Ce numéro est constitué de sept caractères, répartis en trois blocs : 1er bloc : deux lettres ; 2ème bloc : trois chiffres ; 3ème bloc : deux lettres. La numérotation des véhicules se fera de manière chronologique et au niveau national (de AA-001-AA à ZZ-999-ZZ), les numéros se succédant de la manière suivante : de AA-001-AA à AA-999-AA ; puis de AA-001-AB à AA-999-AB et ainsi de suite jusqu à AA-999-AZ ; puis de AA-001-BA à AA-999-ZZ ; puis de AB-001-AA à AZ-999-ZZ ; puis de BA-001-AA à ZZ-999-ZZ. Dans cet exercice les lettres utilisées dans la numérotation des véhicules sont les 26 lettres de l alphabet. 1. Combien de véhicules devront être immatriculés pour atteindre le numéro AA-999-AZ? Il y a 999 véhicules immatriculés AA-abc-AA et 26 lettres dans l'alphabet; il y aura donc 999*26=25974 véhicules immatriculés pour parvenir au numéro AA-999-AZ 2. Montrer qu il faut immatriculer véhicules pour atteindre le numéro AA-011-BD. De AA-001-AA à AA-001-AZ : véhicules De AA-001-BA à AA-999-BC : 999*3=2997 véhicules De AA-001-BD à AA-011-BD : 11 véhicules Au total =28982 véhicules 3. Montrer que le nombre de véhicules immatriculés avant d arriver au numéro AB-001-AA est de De AA-001-AA à AA-001-ZZ : 999*26*26= véhicules 4. Au bout de combien d années pourrait être épuisé ce système de numérotation si 7 millions de véhicules sont immatriculés chaque année? On peut immatriculer au total 26*26*999*26*26 véhicules, soit c'est à dire entre 456 et 457 millions de véhicules. On pourra donc utiliser ce système un peu plus de 65 ans (465 : 7 vaut environ 65,14) Trapèze rectangle ABCD est un trapèze rectangle (en C et D), tel que AD = 2 cm, DC = 8 cm et BC = 5 cm. On appelle O le milieu du segment [AB]. La figure suivante ne respecte pas les dimensions. On construira la figure en vraie grandeur sur la copie. 1) On admet qu il existe deux points M et M du segment [DC] tels que les triangles ABM et ABM sont rectangles

5 respectivement en M et M. Construire, à la règle et au compas, les points M et M (sachant que DM < DM ). On laissera apparents les traits de construction. Le cercle de diamètre [AB] coupe le segment [CD] en M et M' (l'existence de ces points est admise par l'énoncé). Le triangle ABM est constitué d'un diamètre et d'un point du cercle; il est donc rectangle en M. Idem pour ABM'. 2) a) Calculer AB. A' étant le projeté orthogonal de A sur [BC], on peut calculer AB en utilisant le théorème de Pythagore dans le triangle AA'B. A'B=3 cm (5-2) AA'=8 cm AB²=A'B²+AA'²=9+64=73 Donc AB= 73 8,54 cm b) On appelle a la mesure de DM, l unité étant le centimètre. Exprimer AM² et BM² en fonction de a. [AM] est l'hypoténuse du triangle AMD donc AM²=AD²+DM²=a²+4 [BM] est l'hypoténuse du triangle MCB donc BM²=(8-a)²+5²=a²-16a+89 c) Démontrer que a est solution de l équation : x² 8 x + 10 = 0. M étant sur le cercle de diamètre [AB], alors le triangle AMB est rectangle. AB²=AM²+BM² donc 73=(a²+4)+(a²-16a+89)=2a²-16a+93 donc 2a²-16a+20=0 soit en divisant par 2 a²-8a+10=0 a est donc bien solution de l'équation x² 8 x + 10 = 0 3) Pour approcher les deux solutions de cette équation, on a utilisé un tableur dont voici une copie d écran ci-dessous) : a) En observant les colonnes A et B, l utilisateur du tableur a décidé d explorer les valeurs de x entre 1 et 2, puis entre 6 et 7. Expliquer ce choix. Décrire précisément ce que fait l utilisateur dans les colonnes D et E. L'utilisateur du tableur a calculé dans un premier temps des valeurs de l'expression x² 8 x + 10 pour les valeurs entières de x comprises entre 0 et 8; il observe un «changement de signe» entre 1 et 2 d'une part et entre 6 et 7 d'autre part; il pense donc que s'il existe des valeurs de x qui annulent cette expression, l'une comprise entre 1 et 2 l'autre entre 6 et 7. Dans la colonne D il entre les valeurs de x allant de 1 à 2 par pas de 0,1 puis entre 6 et 7 par pas de 0,1, et dans les cellules correspondantes de la colonne E la valeur de l'expression x² 8 x + 10 Par exemple E2=D2*D2-8*D2+10, formule qu'il recopie vers le bas. Cette méthode lui permet de penser que les valeurs cherchées sont comprises entre 1,5 et 1,6 d'une part et entre 6,4 et 6,5 d'autre part. Il procède dans les colonnes suivantes à un encadrement plus fin, au centième puis au millième. b) Donner un encadrement d amplitude un millième de chacune des deux solutions de l équation : x² 8 x + 10 = 0 La lecture du tableau et en particulier des cellules J2 et J3 permet de donner un encadrement de a à 1 millième près : 1,55<a<1,551 4) Donner une valeur approchée de DM et DM au millimètre près par défaut. Une valeur approchée de DM au millimètre près est donc 1,6 cm et donc de DM' de 8-1,6=6,4 cm

6 Papillon On considère cinq points A, B, C, D et E tels que : - Le triangle CAB est rectangle en A. - Les points A, C, D sont alignés. AC = 3 cm ; AD = 8,4 cm. - Les points B, C, E sont alignés. BC = 4,5 cm ; BE = 12,6 cm. La figure ci-dessous n est pas à l échelle. Elle permet de situer les points. 1. a. Démontrer que les droites (AB) et (ED) sont parallèles. Toutes les mesures sont en cm AC=3 et CD=8,4-3=5,4; BC=4,5 et CE=12,6-4,5=8,1 CD AC = 5,4 CE =1,8; 3 BC =8,1 =1,8 les quotients sont égaux, donc d'après la réciproque du théorème de Thalès, (AB) et 4,5 (ED) sont parallèles et DE AB =1,8

7 b. En déduire que les angles CED et ABC sont égaux. Les droites (AB) et (ED) sont parallèles; elles sont coupées par la sécante (EB); les angles CED et ABC sont des angles «alternes-internes»; ils ont donc la même mesure. 2. a. Déterminer l aire du triangle ABC. En donner son arrondi au cm² près. ABC est rectangle en A; l'aire de ABC est donc égale à A ABC = AB AC. 2 On peut calculer AB en appliquant le théorème de Pythagore AB²=BC²-AC²=4,5²-3²=11,25 AB= 11,25 donc A ABC = 3 11,25 =1,5 11,25 soit environ 5,03 cm² 2 b. On admet que le triangle CED est un agrandissement du triangle ABC. En déduire, sans calculer la longueur ED, l aire du triangle EDC. Les dimensions du triangle CED sont celles du triangle ABC multipliées par 1,8. L'aire du triangle CED est donc celle du triangle ABC multipliée par 1,8² soit environ 16,3 cm²

8 Fiscalité M. et Mme Durand sont mariés et sans enfant. Leur revenu imposable, pour l année étudiée dans cet exercice, est de Sachant que ce revenu imposable a été calculé en opérant sur le revenu annuel du couple une réduction de 10%, calculer le revenu annuel du couple avant cette réduction (on arrondira le résultat à l unité). Le revenu imposable a donc été obtenu en multipliant le revenu annuel par 0,9; pour calculer le revenu annuel, il suffit donc de diviser le revenu imposable par 0,9, soit : 0,9 ce qui donne arrondi à l'euro supérieur. 2. Le revenu annuel de Mme Durand représente 85 % du revenu annuel de M. Durand. Quel est le revenu annuel de M. Durand? Soit R le revenu annuel de M Durand; alors R+0,85R= soit 1,85 R = d'où R= : 1,85 soit environ. 3. Pour les couples mariés sans enfant, le nombre de parts N est égal à 2. Calculer le montant de l impôt à payer pour ce couple en utilisant le barème donné ci-dessous : (Source : Ministère de l'économie et des finances) Le QF de ce couple est donc de ; la tranche correspondante est donc la troisième et l'impôt dû est donc donné par la formule correspondante soit * 0, ,03*2 soit environ On avait proposé à Mme Durand un autre poste lui offrant une augmentation de son revenu annuel de Son mari l en avait dissuadée en lui disant : «Tu n y songes pas! Avec ce nouveau poste, nous allons changer de tranche et toute ton augmentation va être absorbée par les impôts.» Son argument était-il valable? Expliquer la réponse. Si on ajoute 1000 au revenu annuel du couple, il faut ajouter 900 au revenu imposable (abattement de 10 %). Le revenu imposable devient et le quotient familial devient ce qui effectivement fait changer de tranche Le nouvel impôt serait alors de 50900*0,3-5308,23*2 soit 4653 environ; cela représente une hausse d'impôt de l'ordre de 208 ; elle n'absorbe donc pas la hausse de rémunération. Numération 3 1) a) Déterminer les restes des divisions euclidiennes par 7 de 1, de 10 puis de 100. Écrire les trois égalités caractéristiques correspondantes. 1=0*7+1 10=1* =14*7+2 b) En utilisant l égalité 10 3 = , montrer que le reste de la division euclidienne de 10 3 par 7 se déduit, sans poser de divisions, des résultats précédents. 1000=10*100=(1*7+3)*(14*7+2)=7*14*7+2*7+3*14*7+3*6=7*( )+6=7*142+6 c) Soit r n le reste de la division euclidienne de 10 n par 7 et r n+1 le reste de la division euclidienne de 10 n+1 par 7. Donner une méthode permettant d obtenir r n+1 à partir de. 10 n =7q n +r n ; 10 n+1 =10*10 n =10*(7q n +r n )=(7+3)*(7q n +r n )=7*7*q n +7*r n +3*7*q n +3*r n =7(7*q n +r n +3*q n )+3*r n si 3*r n < 7, alors le reste est 3*r n si 7<=r n <14, alors le reste est 3*r n -7 si 14<=r n <21, alors le reste est 3*r n -14

9 d) Reproduire et compléter alors le tableau ci-dessous. On applique la règle de la question précédente 10 n r n ) Déterminer à l aide du tableau de la question 1)d) si le nombre est divisible par 7. Indiquer les étapes de votre raisonnement = 6* Le reste de la division de 10 9 par 7 est 6; si on multiplie par 6, on trouverait un «reste» de 36, ce qui est trop grand; on peut encore diviser 36 par 7 et il reste 1; si on ajoute encore le 6 du nombre , il resterait 1+6=7, ce qui finalement donne un reste nul. Donc est divisible par 7.

10 Numération 4 Toutes les réponses devront être justifiées. Soit le problème suivant : Quel(s) nombre(s) se cache(nt) derrière ces informations? Un entier naturel N est composé de trois chiffres dont le produit est 120 et la somme 16. 1) Montrer que N ne contient ni 0, ni 1, ni 2. soit a, b et c les trois chiffres de ce nombre N; on note p le produit de ces 3 chiffres et S leur somme; P=120 et S=16; Si a=0, alors P=0, ce qui contredit P=120. Si a=1, alors le produit bc vaut 120, ce qui est impossible car bc (le produit de deux chiffres) est au maximum égal à 81 (9x9) Si a=2 alors le produit bc vaut 60, ce qui est impossible car 60 ne peut se décomposer en le produit de 2 chiffres Le raisonnement fait sur le chiffre a serait le même sur chacun des deux autres b et c. 2) N peut-il contenir le chiffre 7? le chiffre 9? 120 n'est divisible ni par 7 ni par 9. Donc N ne peut contenir ces chiffres 3) Déterminer un nombre N solution du problème ci-dessus en explicitant votre procédure. 120=4*5*6 et 4+5+6=15; cette solution ne convient pas 120=3*5*8 et 3+5+8=16; cette solution convient Peut-on en déduire d autres solutions? Si oui, lesquelles? On a vu ci-dessus que la place des chiffres dans le nombre cherché est interchangeable; donc toutes les combinaisons utilisant ces 3 chiffres conviennent : 358,385;538;583;835;853. 4) Déterminer tous les nombres N solutions de ce problème. Y-a-t-il d'autres possibilités que celles trouvées dans la question précédente? C'est à dire peut t-on trouver 3 autres chiffres dont le produit est 120 et la somme =4*5*6 déjà étudié 120=3*5*8 déjà étudié on a vu plus haut que N ne peut pas contenir d'autres chiffres que 4, 5, 6 ou 8; 120 ne peut pas se décomposer d'une autre manière à l'aide des ces 4 chiffres (*); il n'y a donc pas d'autre solution. (*) on peut essayer de trouver une décomposition de 120 utilisant deux fois le même chiffre (120 = 4*4* x, 120=5*5*y, ); cette recherche ne donne pas de solution. Trapèze rectangle 2 On considère le trapèze rectangle ABCD, de hauteur [AD] tel que AD = 8 cm et de bases [AB] et [CD] de longueurs respectives 4 cm et 10 cm. 1) Calculer l aire du trapèze ABCD. L'aire d'un trapèze peut se calculer par la formule : A T = Petite base Grande base hauteur 2 A T = : 2=56 cm 2 2) Donner, en justifiant, la nature du triangle BCD. Soit I le projeté orthogonal de B sur le segment [CD]. Alors le triangle BCI est rectangle; BI=8 et IC=10-4=6 En utilisant le théorème de Pythagore à ce triangle on trouve BC=10 cm ( à vous de détailler les calculs) Dons le triangle BCD est isocèle. En utilisant à nouveau le théorème de Pythagore au triangle ABD, on trouve BD= 80=4 5. Le triangle BCD est donc isocèle mais non équilatéral. Il n'est pas rectangle non plus, car l'angle BCD n'est pas droit. 3) La hauteur issue de C dans le triangle BCD coupe la droite (AD) en K. Montrer que les triangles KBC et KDC ont la même aire. Dans un triangle isocèle, la hauteur issue du sommet principal est axe de symétrie du triangle. De plus K est situé sur cet axe de symétrie. Le quadrilatère BCDK a donc pour axe de symétrie la droite (CK). Les deux triangles CDK et CDB sont donc symétriques par rapport à la droite (CK). Ils ont donc les mêmes dimensions, donc la même aire. 4) Soit M un point mobile sur le segment [AD]. On note x la mesure de la longueur AM, l unité choisie étant le cm. a) Donner, en fonction de x, l aire du triangle BCM. On peut calculer l'aire du triangle BCM par différence de l'aire du trapèze ABCD à laquelle on retranche l'aire du

11 triangle ABM et celle de MDC Aire ABM =x 4:2=2 x Aire MDC = 8 x 10 :2=5 8 x Donc Aire BCM =56 2 x 5 8 x =16 3 x b) Pour quelle position de M, l aire du triangle BCM est-elle la moitié de celle du trapèze ABCD? Il suffit de résoudre l'équation 16+3x=56:2=28 soit 3x = 12 soit x=4 cm