De l école maternelle Du CE1 Du CM2 L élève est capable de : CP CE1 CE2 CM1 CM2

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1 De l école maternelle Du CE1 Du CM2 L élève est capable de : Résoudre des problèmes portant sur les quantités Calculer : multiplication Diviser par2 et par 5 des nombres entiers inférieurs à 100 Restituer et utiliser les tables de multiplication par 2, 3, 4 et 5 Calculer mentalement en utilisant des multiplications simples Résoudre des problèmes très simples Progressivité des apprentissages Restituer les tables de multiplication de 2 à 9 Utiliser les techniques opératoires des quatre opérations sur les nombres entiers et décimaux Calculer mentalement en utilisant les quatre opérations Estimer l ordre de grandeur d un résultat Utiliser une calculatrice Résoudre des problèmes relevant des quatre opérations et faisant intervenir différents objets mathématiques : nombres, mesures CP CE1 CE2 CM1 CM2 Connaître les doubles des nombres inférieurs à 10 et les moitiés des nombres pairs inférieurs à 20 Connaître la table de multiplication par 2 Résoudre des problèmes simples à une opération Connaître les doubles et moitiés de nombres d usage courant Mémoriser les tables de multiplication par 2, 3, 4 et 5 Connaître et utiliser des procédures de calcul mental pour calculer des produits Calculer en ligne des suites d opérations Connaître et utiliser une technique opératoire de la multiplication et l utiliser pour effectuer des multiplications par un nombre à un chiffre Diviser par 2 ou 5 des nombres inférieurs à 100 Résoudre des problèmes relevant de la multiplication Utiliser les fonctions de base de la calculatrice Connaître et utiliser des expressions telles que : double, moitié, triple, quart Connaître et utiliser certaines relations entre des nombres d usage courant : entre 5, 10, 25, 50, 100 et entre 15, 30 et 60 Calcul sur des nombres entiers Calculer mentalement Mémoriser et mobiliser les résultats des tables de multiplication Calculer mentalement des produits Effectuer un calcul posé Multiplication Connaître une technique opératoire de la division et la mettre en œuvre avec un diviseur à un chiffre Organiser ses calculs pour trouver un résultat par calcul mental, posé ou à l aide de la calculatrice Utiliser les touches des opérations de la calculatrice Problèmes Résoudre des problèmes relevant des quatre opérations La notion de multiple : reconnaître les multiples des nombres d usage courant : 5, 10, 15, 20, 25, 50 Calcul sur des nombres entiers Calculer mentalement Consolider les connaissances et capacités en calcul mental sur les nombres entiers Multiplier mentalement un nombre entier ou un décimal par 10, 100, 1000 Estimer mentalement un ordre de grandeur du résultat Effectuer un calcul posé Multiplication d un nombre décimal par un nombre entier Division euclidienne et décimale de deux entiers Connaître quelques fonctionnalités de la calculatrice utiles pour effectuer une suite de calculs Problèmes Résoudre des problèmes engageant une démarche à une ou plusieurs étapes Calcul sur des nombres entiers Calculer mentalement Consolider les connaissances et capacités en calcul mental sur les nombres entiers et décimaux Diviser un nombre entier ou décimal par 10, 100, 1000 Effectuer un calcul posé Multiplication de deux nombres entiers ou décimaux Division d un nombre décimal par un nombre entier Utiliser la calculatrice à bon escient Problèmes Résoudre des problèmes de plus en plus complexes

2 Catégorie 1 Situations de proportion simple, avec présence de l unité Problèmes de multiplication J ai collé 32 timbres sur chaque page d un album de 14 pages. Combien y a- t-il de timbres dans l album? Dans une bande, j ai découpé 12 rubans de 8cm chacun. Quelle longueur de bande ai-je utilisée? Catégorie 2 Situations de proportion simple, sans présence de l unité Catégorie 3 Situations de comparaison faisant intervenir des expressions du type «fois plus», «fois moins» Catégorie 4 situations de produit de mesures Problèmes de multiplication Quel est le nombre de carreaux sur une page de cahier quadrillé de 25 carreaux sur 60? x 60 Modélisation : d = b x c (d étant inconnu) Problèmes de division-partition ou de partage J ai collé 448 timbres dans un album de 14 pages. Il y a le même nombre de timbres sur chaque page. Quel est ce nombre? Avec 354 bonbons, je veux faire 12 paquets identiques. combien y aura-til de bonbons dans chaque paquet? Modélisation : d = (b x c)+ r ; 0 r < b, c étant inconnu) Problèmes de division-quotition ou de groupements J ai collé 448 timbres dans un album. Il y a 14 timbres sur chaque page. Combien de pages ont été remplies? Avec 354 bonbons, je veux faire des paquets identiques de 12 bonbons. Combien y aura-t-il de paquets remplis? Modélisation : d = (b x c)+ r ; 0 r < b, b étant inconnu) A C B D Avec A et B différents de 1. Les problèmes générés sont obtenus en plaçant l inconnue en a, d, c ou b. Ces problèmes ne peuvent pas être résolus en faisant intervenir une seule opération. Ils relèvent de la proportionnalité. Objet A Objet B A B C x moins ou c x plus Les problèmes générés sont obtenus en plaçant l inconnue en a, d, c ou b. Pierre a 7ans. Son père est 4 fois plus âgé. Quel est son âge? Jean a fait un parcours en voiture de 360km. André a parcouru 90km. Combien de fois de plus qu André Jean a-t-il parcouru de kilomètres? Avec 3 sortes de figures (carré, triangle, rond) et 5 couleurs, combien peut-on réaliser de pièces différentes? Jaune Rouge Bleu Vert Blanc Carré Rond Triangle Problèmes de division n = b X x Pour faire un quadrillage rectangulaire de 180 carreaux ayant 12 carreaux sur un côté, combien faut-il de carreaux sur l autre côté? N = 180 ; b = 12 ; x = nombre cherché 180 = 12 X x Un rectangle de 13m de largeur a pour aire 256m². Quelle est sa longueur? N = 20 ; b = 12 ; 20 = 12 X x

3 PROBLEMES DE TYPE «PROPORTIONNALITE SIMPLE AVEC PRESENCE DE L UNITE» Le directeur de l école a acheté x boites de y crayons chacune. Combien a-t-il acheté de crayons? 1 boite = y crayons X boites =? crayons PROBLEMES DE TYPE «PRODUIT DE MESURES» Combien de menus différents peuvent être composés avec 3 entrées (salade, jambon, pâté) et 4 plats principaux (poisson, mouton, bœuf, omelette)? Cas 1 y petit et x petit (y = 6 et x = 4) o Procédure utilisant le support d un dessin ou d un schéma : IIIIII IIIIII IIIIII o Procédure additive : = 24 o Procédure multiplicative : 6 x 4 = 24 Ecriture de tous les couples possibles Résolution par schéma Cas 2 y assez grand et x petit (y = 48 et x = 6) o Procédure de type additif : o Procédure multiplicative : 48 x 6 Cas 3 y grand et x grand (y = 64 et x = 34) o Procédure de type additif : Résolution par un tableau à double entrée Salade Jambon Pâté Poisson Mouton Bœuf Omelette o 128 Procédure multiplicative : 64 x 34 à poser ou à calculer à la calculatrice Résolution par un raisonnement à chaque entrée on peut associer 4 plats d où ou 3 x 4

4 PROCEDURES IMAGEES On range 273 œufs dans des boites de 12. Combien de boites peut-on remplir? PROCEDURES MULTIPLICATIVES équation du type a X x= b On range 273 œufs dans des boites de 12. Combien de boites peut-on remplir? Dessin figuratif Pose de la multiplication Cas 2 y assez grand et x petit (y = 48 et x = 6) Essais de multiples successifs du diviseur 12 x 10 = 120 ; 12 x 12 = 144 ; 12 x 111 = 132 ; 12 x 13 = 156 Essais par approches succesives 13 x 30 = 360 ; 12 x 25 = 300 ; 12 x 15 = 180 ; 12 x 20 = 240 PROCEDURES MIXTES On range 273 œufs dans des boites de 12. Combien de boites peut-on remplir? Quotients partiels «au hasard» Utilisation de multiples de 10, 100 pour les quotients partiels

5 PROCEDURES PROGRESSIVES FONDEES SUR L ADDITION OU LA SOUSTRACTION On range 273 œufs dans des boites de 12. Combien de boites peut-on remplir? Addition «pas à pas» = = = 48 ou = 60 ; = 60 ; = 120 Soustraction «pas à pas» = = = 237. Additions ou soustractions de multiples du diviseur VARIABLES DIDACTIQUES Problèmes à résoudre pour une multiplication ou une division Type de problème Types de nombres utilisés (entiers ou décimaux) Tailles des nombres Outils de calcul disponible ou non Problèmes de «division» Valeur du quotient Existence ou non d un reste non nul Réponse à interpréter à partir d un terme de la division (quotient entier, quotient augmenté de 1, reste, quotient + reste) Problèmes ne faisant intervenir que des nombres entiers Erreurs dans le choix de la procédure de résolution influencées par des termes de l énoncé ou par un contexte Erreurs dans l exécution de la procédure choisie ou dans l interprétation des calculs effectués Erreurs dans le calcul Problèmes faisant intervenir des nombres décimaux

6 Difficultés rencontrés par les élèves Ces difficultés sont dues : - A ce que tous les résultats des tables ne sont pas parfaitement mémorisés - A la gestion des «retenues» - A l ordre des calculs à respecter - Au décalage qui correspond en fait à l existence d un 0 comme par exemple le chiffre 0 de la multiplication par 507 Connaissances sous-jacentes à la technique de la multiplication La multiplication posée est mise en place à la fin du cycle 2 et retravailler au CE2. Connaissance des tables de multiplication Maîtrise de la décomposition des nombres en fonction de leur écriture en base 10 : 507 = Repérage de la valeur des chiffres en fonction de leur position dans un nombre Connaissance des propriétés : o Distributivité de la multiplication sur l addition : 438 x 507 = (438 x 7) + (438 x 500) o Associativité de la multiplication : 438 x 500 = [(438 x 5) x 100] Connaissance de la règle des «0»

7 Difficultés rencontrés par les élèves Seule opération pour laquelle les calculs s effectuent en considérant le dividende de «gauche à droite» Effectuer simultanément des divisions, des multiplications et des soustractions Seule opération dans laquelle un chiffre calculé peut ne pas être définitif Connaissances sous-jacentes à la technique de la multiplication La division posée est mise en place au CE2 et retravailler au CM1. Repérage de la valeur des chiffres dans le nombre Maîtrise des tables de multiplication Maîtrise du calcul approché Maîtrise du calcul de produits et de différences Procédures pour reconnaître si un nombre donné est multiple d un autre nombre n : Chercher s il est dans la table prolongée de n Essayer des nombres k susceptibles de faire que n x k = au nombre donné Diviser le nombre donné par n pour vérifier si on obtient un reste nul ou non Utiliser une propriété connue comme un critère de divisibilité Difficultés : Confusion entre multiple et multiplication Confusion entre «24 est multiple de 3» et 3 est multiple de 24» Extension de propriétés valable seulement pour certains nombres Problèmes envisageable à l école élémentaire : En avançant de 6 en 6 sur une piste graduée à partir de 0 avec les nombres entiers, passera-t-on par le repère associé au nombre 98? Une plaque rectangulaire mesure 48cm sur 84. On veut la recouvrir entièrement avec des carrés tous identiques dont le côté mesure un nombre entier de cm. Quelles sont toutes les solutions possibles?