TD Automatique : Correction. ( p)

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1 TD Automatique : Correction Exercice : Correction PI (réglage dans Black) Soit le système G(p) : G ( p) = (.5 p) 2 2 ( p + 2 p + 2) Le cahier des charges stipule que : l erreur de position doit être annulée ; le facteur de résonance Q doit être égal à 2.3 db ; La marge de phase soit au minimum de 45 ;.] Questions de cours : Quel type de correcteur choisir? (justifier) Quel est le dépassement de la réponse indicielle d un système du 2 ème ordre ayant un facteur de résonance de 2.3 db? Ecrire le module et l argument de G(jw) 2.a] Calculer l erreur de position obtenue avec une consigne échelon unitaire lorsque le système est bouclé avec un correcteur proportionnel de gain égal à. 2.b] Tracer la réponse indicielle du système en Boucle Ouverte. Donner le temps de réponse à 5%. 3.] Tracer le lieu de Nichols de ce système à partir du tableau ci-dessous. Donner les valeurs des marges de stabilité. W (rd/s) G(jw) (db) Arg(G(jw) ( ) Dans la suite, nous utiliserons le correcteur suivant : C ( p) = K p ( + T p) 4.] Afin d obtenir la marge de phase désirée, déterminer la valeur de T i permettant d appliquer à la pulsation.5 rd/s, un retard de phase de 36. Tracer le nouveau lieu de Nichols et déterminer K p permettant d obtenir le facteur de résonance souhaité. W (rd/s) C(jw) (db) Arg(C(jw) ( ) 5.] Appliquer maintenant la même compensation à w=3 rd/s. Recalculer T i et K p de la même manière. Donner les marges de stabilité, les comparer avec celles du réglage précédent. Expliquer cette dégradation. W (rd/s) C(jw) (db) Arg(C(jw) ( ) 6.] Comparer les réponses indicielles du système pour les deux réglages avant et après l'ajustement de K p. T i i p TD Automatique n 2-3-4

2 S tep Response.4 Ti=.45; K =.2.8 Am plitud e.6 Ti=.92; K = T i m e (se c) Step Response Ti=.45; K=.45.8 Ti=.92; K=.2 Am p litu de Time (sec) Exercice 2 : Correction par avance de phase pour respecter une marge de phase Un système asservi est composé d un procédé de fonction de transfert G(p)= p( + 5 p) et d un régulateur C(p) à déterminer (figure ). On convient de mesurer la rapidité du système asservi par la pulsation de coupure à db de C(p)G(p z u z y Y * + U ε C(p) + G(p) Y Figure 2 TD Automatique n 2-3-4

3 ) On pose C(p)=. Calculer la pulsation de coupure à db de C(p)G(p). Cette pulsation, notée ω co, mesure la rapidité du système asservi non corrigé (obtenu quand C(p)=). 2 ) Elaborer un régulateur C(p) =K p qui confère au système asservi les performances suivantes : Une marge de phase d au moins 3. Une erreur de position nulle en réponse à un échelon de consigne y * (t)=y *.e(t) ; Une erreur de traînage.w *, en réponse à une rampe de consigne y * (t)=w *.t.e(t) 3 ) Ecrire la fonction de transfert d un correcteur avance de phase en fonction de ses paramètres. Donner l allure du diagramme de Bode du correcteur à avance de phase permettant de répondre au cahier des charges. 4 ) Donner l allure du diagramme de Bode et de Nichols de C(p)G(p). Vérifier sur les courbes fournies (Figure 4), les résultats obtenus. 6 Bode Diagram 4 Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/sec) Figure 2 : Diagramme de Bode de G(p) 3 TD Automatique n 2-3-4

4 .8 Step Response.6 *G(p).4.2 Amplitude Time (sec) Figure 3 : Réponse indicielle de *G(p) et C(p)G(p) Bode Diagram 5 Magnitude (db) -5 *G(p) C(p)G(p) - -9 Phase (deg) Frequency (rad/sec) 4 TD Automatique n 2-3-4

5 Nichols Chart 6 Open-Loop Gain (db) db 6 db db.5 db.25 db System: sysbo Gain (db): -.67 Phase (deg): -47 Frequency (rad/sec):.8 db - db -3 db -6 db -2 db -2 db -4-4 db -6-6 db Open-Loop Phase (deg) Exercice 3 : Correction par avance - retard Figure 4 : Diagramme de Bode et de Nichols de G(p) et C(p)G(p) Considérons la fonction de transfert suivante : G ( p) = p( p + ) ( p + 2) On souhaite régler ce système à l aide d un bouclage de l ensemble pour que le système en boucle fermée possède les performances suivantes : - D % < % - t r 5% 2 s - ε trainage < 5% on précise aussi que la correcteur ne doit pas comporter d intégration (pure) a) Tracer le diagramme de Bode asymptotique. Le Bode de G(p) est donné figure. Déterminer la pulsation ( ω ) de coupure à db. b) Calculer le module et l argument de G(jω) c) En utilisant un correcteur Proportionnel, déterminer la valeur minimale K pour respecter la contrainte sur l erreur de traînage. Dans la suite, on choisira K = 42. Le Bode réel de 42 G(p) est donné sur la figure. d) Traduire la contrainte de dépassement en terme de facteur d amortissement équivalent du deuxième ordre puis en terme de marge de phase en utilisant la courbe paramétrée du tableau ci-dessous. e) En utilisant le Bode de 42 G(p) (donné figure ), déterminer à quelle pulsation ω il faudra apporter de la phase pour respecter la contrainte de marge de phase. Montrer que ce choix vérifie la contrainte de rapidité (temps de réponse à 5% < 2 s) f) Déterminer alors la quantité de phase à apporter pour respecter la marge de phase en utilisant un + atd p correcteur à avance de phase centré sur ω de fonction de transfert Ca ( p) =. + T p g) Le correcteur C a (p) apporte de la phase mais aussi du gain en ω. On pourrait adapter le gain en utilisant un correcteur proportionnel, mais on décalerait alors le gain sur toute la bande de fréquence! La solution consiste à conserver le gain basse fréquence (pour respecter la contrainte sur l erreur de 5 TD Automatique n D

6 traînage) et à en perdre ailleurs. On utilise alors un correcteur à retard de phase + TI p Cr ( p) =. + bt p Comment choisir T I par rapport à ω? Déterminer alors le paramètre b. h) Un exemple de résultat est donné sur les figures 2 à 4 (Bode de K C a (p) G(p), Bode de K C a (p) C r (p) G(p), réponse indicielle du système en boucle fermée). Vérifier les résultats obtenus. I Exercice 4 : Correction PID Un système asservi est composé d un procédé de fonction de transfert G(p) = et d un régulateur ( ) p C(p) à déterminer. On convient de mesurer la rapidité du système asservi par la pulsation de coupure à db de C(p)G(p). Le cahier des charges sprécifie que le système asservi doit posséder les propriétés suivantes : Une erreur de position nulle ; Une marge de phase au moins égale à 45 ; Une bande passante au moins égale à.8 rd/s. ) Tracer le lieu de Black-Nichols de G(p) en utilisant le tableau. Déterminer les marges de stabilité, la pulsation de coupure à db. w (rd/s) G ( jw) db Arg ( G( jw) Tableau 2 ) On choisit d utiliser un premier correcteur de type P.I.. Déterminer ces paramètres Ti et K avec les règles habituelles, ensuite compléter le tableau 2 avec K=. Tracer le nouveau lieu de G(p)C(p). Déterminer K de manière à obtenir la pulsation de coupure voulue. Ce correcteur est-il satisfaisant? w (rd/s) G ( jw) db Arg ( G( jw) Tableau 2 3 ) De manière à obtenir les marges désirées, on choisit d utiliser un correcteur de type P.I.D. En conservant la valeur de T i précédente, déterminer le paramètre T d de manière à répondre au cahier des charges. Tracer le nouveau lieu. 6 TD Automatique n 2-3-4

7 Figure Figure 2 7 TD Automatique n 2-3-4

8 Figure 3 Figure 4 8 TD Automatique n 2-3-4

9 Figure 5 Figure 6 9 TD Automatique n 2-3-4

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