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1 Eo7 Etude de fonctions Eercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Eercice Etude complète des fonctions suivantes. f () = + (arctan ). +. f () = tan + cos.. f () = ln ( ) = e.. f () = ln( e ). 6. f 6 () = f 7 () = e /ln. 8. f 8 () = ( + ). 9. f 9 () = log ( log ( + 6)). 0. f 0 () = E() + ( E()).. f () = arcsin + arcsin +.. f () = arcsin.. f () = e / +.. f () = arccos( ch ).. f () = ln(y + y ) ln( + + ) où y =. 6. f 6 () = ln sh. 7. f 7 () = (). 8. f 8 () = (cos + sin) /. 9. f 9 () = f 0 () = arcsin( ) + arctan. f () = ln(ch).. f () =. ln.. f () = ln. Correction e. [00] Retrouver cette fiche et d autres eercices de maths sur eo7.emath.fr

2 Correction de l eercice. f est définie et de classe C sur R en vertu de théorèmes générau. De plus, f est paire. On étudiera f sur [0,+ [ (se méfier alors pour la dérivabilité en 0). Etude en 0 (à gauche et à droite). f () = 0 ( + )[ + + o( ) ( + + o( ))] = ( + )( + o( )) = ( + )( + o( )) = + o( ). Par suite, f se prolonge par continuité en 0 en posant f (0) =. Puisque f admet en 0 un développement limité d ordre, le prolongement encore noté f est dérivable en 0 et f (0) = 0. C admet au point d abscisse 0 une tangente parallèle à (0) d équation y =. Enfin, puisque f () est, au voisinage de 0, du signe de, la courbe est localement en dessous de sa tangente. π Etude en + (et ). f () + 0, et de même f () 0. + Dérivée, variations. Pour > 0, f () = ( )(arctan + ) + + ( + ( + ) ) = + (arctan + ) + + ( + ) = + ( arctan ( + ) ) = + ( arctan + ( + ) + ( + )( + )) = + g() où, pour tout réel, g() = arctan + +. g est dérivable sur R et pour réel, g () = ( + ) ( + ) + ( )( + ) ( + ) = ( + )( + ) = ( + ) ( + ). g est donc strictement négative sur ]0,+ [ et par suite, g est donc strictement décroisante sur [0,+ [. Puisque g(0) = 0, pour > 0, g() < 0. Finalement, f est strictement négative sur ]0,+ [ et f est strictement décroissante sur [0,+ [. Le tableau de variations de f n apporte rien de plus. Graphe / y = f (). f est définie sur D = R \ ( π + πz), paire et π-périodique. f est continue sur D en vertu de théorèmes générau. On étudie f sur [0, π [ ] π,π]. Etude en π. f () tan et donc, lim π/ f () = +. C admet la droite d équation = π pour droite asymptote. π/

3 Dérivabilité et dérivée. f est dérivable sur R \ π Z en vertu de théorèmes générau et pour / π Z, f () = ε sin où ε cos est le signe de tan. f est aussi dérivable à droite en 0 et ( f ) d (0) =. Par symétrie, f est dérivable à gauche en 0 et ( f ) g(0) =. f n est pas dérivable en 0. De même, f est dérivable à gauche et à droite en π avec ( f ) g(π) = et ( f ) d (π) =, et n est donc pas dérivable en π. Variations. f est strictement décroissante sur ] π,π] en tant que somme de deu fonctions strictement décroissantes sur ] π,π]. Puis, pour élément de ]0, π [, f () = cos sin > = 0. f est strictement positive sur ]0, π [ et donc f est strictement croissante sur [0, π [. Graphe. 6 y = f () π π 7 6. Pour réel, posons P() = Pour tout réel, on a P () = ( ) = (( + ) + ) > 0. P est une fonction polynôme de degré strictement croissante sur R et s annule donc une et une seule fois en un certain réel noté α. De plus, P()P() < 0 et α ],[. Enfin, P est strictement négatif sur ],α[ et strictement positif sur ]α,+ [. f est définie sur R \ { α,α}, et pour R \ { α,α}, f () = ln P() P( ) = ln P() + ln P( ). Notons que f est impaire. Dérivabilité et dérivée. f est de classe C sur R \ { α,α} en vertu de théorèmes générau et pour R \ { α,α}, f () = P () P() P ( ) P( ) = P()P( ) P ()P( ) P ( )P(). P( )P()

4 Puis, P()P( ) P ()P( ) P ( )P() et donc f () = Etude en +. = (( + 0) + ( + 60))(( + 0) ( + 60)) (( + 0) + 8)(( + 0) ( + 60))) (( + 0) 8))(( + 0) + ( + 60)) = ( + 0) ( + 60) 6(( + 0)( + 0) (8)( + 60)) = ( ) 6( ) = 6, 6 P()P( ). f () = ln( o( )) + ln( + o( )) = + o( ). On en déduit tout d abord que lim + f () = + (resp.lim f () =, puis que C admet en + (resp. ) la droite d équation y = pour droite asymptote et que C est au-dessous (resp. au-dessus) de cette droite au voisinage de + (resp. ). Variations. D une part, f (0) = 0. D autre part, pour > 0, P() > 0. f est donc du signe de P( ) sur ]0,+ [\{α}. Ainsi, f est strictement négative sur ]0,α[ et strictement positive sur ]α,+ [. On en déduit le tableau de variations de f. f 0 α + f () Graphe. 6 y = y = f () f est définie sur R \ {,}. De plus, pour 0, f ( ) = e / / = e = f ().

5 Ce genre de constatation peut servir à calculer lim + f () si l on connait lim 0, >0 f (), obtenir les variations de f sur ]0,[ si on les connait sur ],+ [... On peut aussi noter que R \ {,}, f ( ) f () = et donc, pour 0, f ( ) = f (). Cette constatation pourra être utile pour déduire l étude de f en de l étude en. Etude en + et. Puisque 0, on a f () ce qui montre déjà que lim + f () = +, lim f () = ± ± et que C admet en + et, une direction asymptotique d équation y =. Plus précisément, puis, On en déduit que = ± ( ) = + o( ), e = ± + ( ) + ( ) + o( ) = o( ). f () = ± o( ). Par suite, C admet la droite d équation y = + pour droite asymptote en + et. De plus, le signe de f () ( + ) étant localement le signe de, C est au-dessus de son asymptote au voisinage de + et au-dessous au voisinage de. Etude en (et -). Clairement, lim, > f () = + et lim, > f () =. Ensuite, lim, < f () = 0 et lim, < f () = 0. On prolonge f par continuité à gauche en en posant f () = 0, et de même en et on étudie la dérivabilité du prolongement encore noté f. f est continue sur ],], de classe C sur ],[ et pour ],[ (voir dérivée-variations), f () = + ( ) e 0., < D après un théorème classique d analyse, f est de classe C sur ],] et en particulier dérivable à gauche en et f g() = 0. De même, f est dérivable à gauche en et f g( ) = 0. C admet en ces points des demi-tangentes parallèles à l ae (O). Dérivée. Variations. f est de classe C sur R \ {,} en vertu de théorèmes générau et pour 0, et donc f () f () = (ln f ) () = (ln + ) () = + ) () ( ( ) = ( ) ( + ) ( ) = + ( ), 0, f () = + ( ) e, ce qui reste vrai pour = 0 par continuité de f en 0. f est donc du signe de P() = +. Or, pour 0,

6 P() = (( + ) ( + ) ) = (( + ) ( + ) ) = = ( + ( )( + ( + )) = ( ( ) + )( ( + ) + ), ce qui reste vrai pour = 0. Le premier trinôme a un discriminant égal à ( ) = < 0 et donc R, ( ) + > 0. Le deuième trinôme a un discriminant égal à ( + ) = + > 0 et admet donc deu racines réelles α = ( ),89... > et β = ( + + ) = α 0,... ]0,[. On en déduit le tableau de variation de f. f 0 β α + f () , ,... Graphe. 7 6 y = y = f () 6 6

7 . Si > 0, e > 0 et si < 0, e < 0. Donc, pour 0, > 0 et f est définie sur R. Pour 0, f ( ) = ln e = ln(e ) ln e = f (). Donc, pour tout réel non nul, f () + f ( ) =. Le point de coordonnées (0, ) est centre de symétrie de C. Etude en 0. f () = 0 ln( o( )) = (( + 6 ) ( ) + o( )) = + + o(). Ainsi, f se prolonge par continuité en 0 en posant f (0) =. Le prolongement, encore noté f, admet en 0 un développement limité d ordre et est donc dérivable en 0 avec f (0) =. Une équation de la tangente à C en le point d abscisse 0 est y = +. Par symétrie, ce point est un point d infleion. Etude en +. f () = + (ln(e ) + ln( e ) ln) = ln ln( e + = + o(). Donc, lim + f () =. Par symétrie, lim f () = lim ( f ( )) = = 0. Dérivée. Variations. f est dérivable sur R en vertu de théorèmes générau (et donc sur R) et pour 0, (puisque ln e ln e = ln e ln ), f () = ln e f est, sur R, du signe de g() = ln e + ( e e ) = ( ln e + e e ). + e e +. g est dérivable sur R et pour réel non nul, = g () = e e + + (e + e )(e ) e.e (e ) = e (e ) + (e ) + e (e ) (e ) = (e ) e (e ) = (e/ e / ) (e / e / ) = (sh ) (sh ) = sh ( ). sh L inégalité sh >, valable pour > 0, est classique (par eemple, la formule de TAYLOR-LAPLACE à l ordre fournit pour > 0, sh = + 0 ( t)sht dt >.) Par suite, g est strictement positive sur ]0,+ [, et donc g est strictement croissante sur ]0,+ [. En tenant compte de g(0 + ) = 0, g est donc strictement positive sur ]0,+ [. Il en est de même de f et f est strictement croissante sur ]0,+ [. Par symétrie et continuité en 0, f est strictement croissante sur R. Graphe. 6 y = f () 6 6. f 6 est définie et continue sur R, dérivable sur R{,} en vertu de théorèmes générau. Etude en. f 6 () f 6 () = +, ce qui montre que f6 n est pas dérivable en mais que C 6 admet au point d abscisse deu demi-tangentes parallèles à (Oy). Etude en -. 7

8 f 6 () f 6 ( ) = + + +, ce qui montre que f6 n est pas dérivable en mais que C 6 admet au point d abscisse deu demi-tangentes parallèles à (Oy). Etude en +. Au voisinage de +, on a f 6 () = + ( )/ = + ( + o( )) = + o( ), ce qui montre tout à la fois que lim + f 6 () = +, puis que la droite d équation y = est asymptote à C 6 en + et que C 6 est au-dessous de cette droite au voisinage de +. Etude en. Au voisinage de, on a, f 6 () = ( + o( )) = o(), et lim f 6 () = 0. Dérivée. Variations. Soit ε le signe de. Pour ±, f 6() = + ε ε( ε( ) = ) + ε. ε( ) Si < 0, (de sorte que ε > 0) ou >, f 6 () > 0. Si <, sgn( f 6 ()) = sgn( + ) = sgn( = et f 6 () < 0. Si 0 <. sgn( f 6 ()) = sgn( + ) = sgn( ( )) = sgn( ). D où le tableau de variations de f 6 : / + f 6 () f 6 Graphe. y = y = f 6 () 8

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