SUCCÈS, ÉCHECS ET HASARD. Julie Carreau IRD HydroSciences Montpellier

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1 SUCCÈS, ÉCHECS ET HASARD Julie Carreau IRD HydroSciences Montpellier

2 Hasard, chance et fréquence Contexte : des phénomènes que l on peut répéter indéfiniment de façon indépendante dans des conditions identiques Jeux de hasard : dés, cartes, roulette Fréquence : nombre de fois qu un phénomène est observé sur un nombre d essai Chance : définie par la fréquence Tirer à pile ou face On peut lancer une pièce de monnaie indéfiniment dans des conditions identiques. La probabilité d avoir pile est de 50% : avec beaucoup de lancer, le pourcentage de pile tournera autour de 50%.

3 Lancer de dé : six résultats sont possibles!! On a la même chance d avoir chacune des faces. La chance d avoir un as est de 1 sur 6 ou 16 2/3%. Si on joue suffisamment longtemps dans les mêmes conditions, l as va sortir 16 2/3% du temps. Example hydrologie Le débit centennale est le débit qui à chaque année a une probabilité de 10% d être dépassé. En moyenne, on observe un débit équivalent ou supérieur une fois par 10 ans.

4 La chance ou la probabilité d un phénomène donne le pourcentage de fois que l on s attend d observer le phénomène, lorsque le nombre d essais est potentiellement infini, les essais sont indépendants et les conditions sont identiques à chaque essai. Si quelque chose est impossible : cela se produit 0% du temps. Si quelque chose est certain : cela se produit 100% du temps. Toutes les autres chances/probabilités sont entre ces deux extrêmes. Les chances/probabilités sont entre 0% et 100%. Si l on a 45% des chances de gagner à un jeu, on a 55% de chances de perdre. S il pleut 30% du temps, il ne pleut pas 70% du temps. Les chances/probabilités qu un événement se produise sont égales à 100% moins les chances que l événement inverse se produise.

5 La probabilité d occurrence de la pluie Dans la région A, on observe en moyenne 5 jours de pluie sur une durée de 30 jours. Dans la région B, on note plutôt une moyenne de 50 jours de pluie sur une période de 300 jours. Dans quelle région les chances d avoir un jour de pluie est moindre? Dans la région A, si l on considère plusieurs périodes de 30 jours, on aura en moyenne 5 jours de pluie. Ce qui veut dire qu il pleut en moyenne 5 jours sur 30 et donc qu il y a 1/6 ou environ 16 2/3 % de risque de pluie.! Dans la région B, sur plusieurs périodes de 300 jours, on aura en moyenne 50 jours de pluie. On a donc en moyenne 50 jours de pluie sur 300 ce qui revient à 1/6 ou environ 16 2/3 % de risque de pluie. Ce qui compte c est le rapport entre le nombre de jours pluvieux et le nombre de jours d observations : # jours pluvieux # jours total

6 Tirage aléatoire d un ticket dans une boîte avec deux types de ticket le premier qui a le numéro 0 pour les jours où il ne pleut pas le deuxième qui a le numéro 1 pour les jours où il pleut Pour la région A, dans la boîte, on met 25 tickets avec 0 et 5 tickets avec 1 Tirer de façon aléatoire AVEC remplacement deux tickets de la boîte : 1. il faut imaginer qu on secoue la boîte pour mélanger les tickets 2. on tire un ticket au hasard (même chance pour tous les tickets), on note le résultat 3. on remet le ticket dans la boîte et on recommence une autre fois en 1. Pour la région A, cela revient à représenter deux types de jour avec deux états pluvieux possibles (avec ou sans pluie) avec probabilité 1/6 et 5/6 respectivement.

7 Tirage aléatoire d un ticket dans une boîte avec deux types de ticket le premier qui a le numéro 0 pour les jours où il ne pleut pas le deuxième qui a le numéro 1 pour les jours où il pleut Pour la région A, dans la boîte, on met 25 tickets avec 0 et 5 tickets avec 1 Tirer de façon aléatoire SANS remplacement deux tickets de la boîte : 1. il faut imaginer qu on secoue la boîte pour mélanger les tickets 2. on tire un ticket au hasard (même chance pour tous les tickets), on note le résultat 3. on met de côté le ticket et on recommence une autre fois en 1. Cette fois, les chances pour le deuxième ticket sont différentes de celles du premier ticket. Pour l exemple de la région A, on a : pour le premier ticket : 1/6 pour 0 et 5/6 pour 1 pour le deuxième ticket : si le premier ticket vaut zéro : 24/29 pour 0 et 5/29 pour 1 si le premier ticket vaut un : 25/29 pour 0 et 4/29 pour 1

8 Tirer de façon aléatoire AVEC remplacement deux tickets de la boîte Les chances à chaque tirage de choisir un type de ticket sont identiques Tirer de façon aléatoire SANS remplacement deux tickets de la boîte Les chances à chaque tirage de choisir un type de ticket sont modifiées Lorsque l on tire au hasard, chaque ticket dans le boîte a les mêmes chances d être pris.

9 Les types de pluies Supposons qu il y ait trois types de pluies : 1. sec (pas de pluie) 2. pluie commune 3. pluie forte/extrême Les chances d observer chaque type de pluie sont : 1. 25/ / /120 On a que 25/ / /120 = 1 donc chaque jour est caractérisé par un type de pluie. Considérons une année de 365 jours, combien de jours de chaque type de pluie s attend-t-on à observer?

10 Probabilité conditionnelle Quelle est la probabilité d observer une pluie extrême demain? Les chances d observer chaque type de pluie sont : temps sec : 25/ tickets pluie commune : 19/ tickets pluie extrême : 1/120 3 tickets Dans notre modèle de boîte à tickets, on tire au hasard avec remplacement.! Donc on a 1 chance sur 120 d observer une pluie extrême demain ou 3 chances sur 365 soit environ 0.82 %. Il s agit d une probabilité inconditionnelle. En pratique, pour deux jours consécutifs, on peut s attendre à ce que le type de pluie d une journée et celui du lendemain ne soient pas complètement indépendants.

11 Sachant que l on aura un type de temps pluvieux demain (soit normal soit extrême), quelles sont les chances que l on observe un type de pluie extrême? Les chances d observer chaque type de pluie sont : temps sec : 25/ tickets pluie commune : 19/ tickets pluie extrême : 1/120 3 tickets Dans notre modèle de boîte à tickets, on a 61 tickets où il pleut. Sur les 61, trois tickets sont du type de pluie extrême. Donc les chances sont de 3 sur 61 d avoir un type de pluie extrême sachant qu il pleut soit environ 4.9 %. La probabilité 3/61 est la probabilité conditionnelle d une pluie extrême étant donné qu il pleut.

12 La règle de multiplication calcul des chances que deux événements se produisent en multipliant les probabilités On a une boîte avec trois tickets de couleurs différentes : On tire au hasard deux tickets sans remplacement. Quelles sont les chances d avoir d abord le ticket rouge et ensuite le vert? On peut imaginer qu il y a un très grand nombre de personnes, chacune avec une boîte contenant les trois tickets de couleur. Environ un tiers de ces personnes vont tirer rouge comme premier ticket. Il reste dans la boîte : Pour le deuxième ticket, environ la moitié de ces personnes vont tirer le ticket vert. La fraction qui tire d abord le rouge et ensuite le vert est : 1 2 de 1 3 = = 1 6

13 Règle de la multiplication Les chances que DEUX CHOSES SE PRODUISENT égalent au produit des chances que la PREMIÈRE CHOSE se produise MULTIPLIÉES par les chances que la deuxième chose se produise ÉTANT DONNÉ que la première s est produite.

14 Débit décennal : quelle sont les chances d observer un débit égal ou supérieur au débit décennal deux années consécutives? Pisciculture : dans un enclos il y a 50 saumons. Sur ces 50, 10 saumons ont un poids supérieur à 5kg. Quelles sont les chances de pêcher deux saumons dont le poids est supérieur à 5 kg?

15 Notion d indépendence Deux choses sont indépendantes si les chances de la deuxième restent inchangées peu importe ce que donne la première. Autrement, ces deux choses sont dépendantes. On tire à pile ou face deux fois. Si l on obtient face au deuxième coup, on gagne. Si le premier coup est face, quelles sont les chances d avoir face au deuxième coup? Si le premier coup est pile, quelles sont les chances d avoir face au deuxième coup? Est-ce que les deux coups sont indépendants? par exemple, le débit décennal On tire avec remplacement de la boîte suivante Si on tire 1 au premier tirage, quelles sont les chances d avoir 2 au deuxième tirage? Si on tire 2 au premier tirage, quelles sont les chances d avoir 2 au deuxième tirage? Est-ce que les deux tirages sont indépendants? Sachant que j ai tiré un chiffre plus grand que 1, quelles sont les chances que j ai 2? par exemple, les types de pluie Même question mais on tire SANS remplacement par exemple, la pisciculture ou les bassins de rétention

16 Avec remplacement, les tirages sont indépendants. Sans remplacement, les tirages sont dépendants. Lorsque deux choses sont indépendantes, les chances que ces deux choses se produisent est le produit des probabilités inconditionnelles. C est un cas particulier de la règle de la multiplication. Règle de la multiplication Les chances que DEUX CHOSES SE PRODUISENT égalent au produit des chances que la PREMIÈRE CHOSE se produise MULTIPLIÉES par les chances que la deuxième chose se produise ÉTANT DONNÉ que la première s est produite.

17 Énumérer les possibilités Pour trouver les chances reliées à un événement, on peut faire la liste de tous les événements possibles. Si la liste est très longue, on peut trouver les éléments les plus pertinents de la liste. Quelles sont les chances d obtenir un total de deux points lors du lancer d une paire de dés? Quelles sont les chances d obtenir un total de quatre points lors du lancer d une paire de dés?

18 La probabilité d occurrence de la pluie Supposons qu on ait une probabilité de pluie de 3%. Sur deux jours, quelles sont les chances d avoir au moins un jour sans pluie? Il y a quatre possibilités pour deux jours de pluie : soit il pleut les deux jours (PLUIE, PLUIE) soit il ne pleut pas les deux jours (SEC, SEC) soit il pleut le premier mais pas le deuxième jour (PLUIE, SEC) soit il pleut le deuxième mais pas le premier jour (SEC, PLUIE) Nous nous intéressons aux possibilités (SEC,SEC), (PLUIE,SEC) et (SEC, PLUIE). On suppose que la pluie en un jour donné est indépendante du jour suivant. Alors on a : (SEC, SEC) : 97% x 97 % = 94.09% (PLUIE,SEC) et (SEC, PLUIE) : 3% x 97 % = 2.91% Donc les chances d avoir au moins un jour sec sur deux jours sont : 94.09% + 2 x 2.91% = 99.91% Et sur trois jours, quelles sont les chances d avoir au moins un jour sans pluie?

19 La règle de l addition calcul des chances qu au moins un parmi deux événements se produisent Deux choses sont mutuellement exclusives si le fait que l une d elles se produise empêche la deuxième de se produire : une chose exclut l autre. Soit une journée prise au hasard, deux choses sont possibles : ou il pleut, ou il fait soleil. Ces deux possibilités sont mutuellement exclusives. Règle de l addition Pour trouver les chances qu AU MOINS UNE DE DEUX CHOSES se produisent, vérifiez si elles sont MUTUELLEMENT EXCLUSIVES. Si elles le sont, ADDITIONNEZ LES CHANCES que chaque chose se produise.

20 Les types de pluies Les chances d observer chaque type de pluie sont : temps sec : 25/ tickets pluie commune : 19/ tickets pluie extrême : 1/120 3 tickets Quelles sont les chances d observer un jour de pluie? Pour qu il pleuve un jour donné, il faut observer une pluie commune ou une pluie extrême. Ces types de pluie sont mutuellement exclusifs : s il s agit d une pluie commune, elle n est pas extrême et vice-versa. On peut donc additionner les probabilités pour chaque type de pluie : 19/ /120 = 20/120 = 1/6 Il pleut environ 16 2/3 % des jours. On peut aussi résoudre cette question en utilisant la boîte à tickets.

21 La probabilité d occurrence de la pluie Supposons qu on ait une probabilité de pluie de 3%. Sur deux jours, quelles sont les chances d avoir au moins un jour sans pluie? Application de la règle de l addition On a 97% de chances de ne pas avoir de pluie le premier jour. De même le deuxième jour, il y a 97% de chance de ne pas avoir de pluie. On a donc : 97 % + 97 % = 194 % de chances d avoir au moins un jour sans pluie... Le fait qu il ne pleuve pas le premier jour n exclut pas qu il ne pleuve pas le deuxième jour : ce ne sont pas des événements mutuellement exclusifs. On ne peut pas utiliser la règle de l addition telle quelle : le résultat est supérieur à 100% ce qui est impossible!

22 Boîte avec des paires de jours pas de pluie le 1 er jour pas de pluie le 2 ème jour 97 %? % 97 % Deux jours sans pluie Les chances qu il n y ait pas de pluie pendant les deux jours : 97% x 97 % = 94.01% Les chances qu il ne pleuve pas au moins un des deux jours : les chances qu il ne pleuve pas le 1 er jour + les chances qu il ne pleuve pas le 2 ème jour - les chances qu il ne pleuve pas les deux jours ce qui donne 97 % + 97 % % = 99.91%

23 Deux questions fréquentes Quelle est la différence entre deux choses mutuellement exclusives et deux choses indépendantes? Les concepts de exclusivité mutuelle et d indépendance s appliquent à des pairs d événements et expriment un aspect de la relation entre ces événements. Cependant, ces deux concepts sont différents. Deux événements sont mutuellement exclusifs si le fait que l un se produise empêche l autre de se produire (et vice-versa).! Deux événements sont indépendants si le fait que l un se produise ne change pas les chances que l autre se produise (et vice-versa). Deux événements mutuellement exclusifs mais non indépendants : il fait soleil (0.6) - il pleut (0.35) - il neige (0.05) Si je sais qu il ne fait pas soleil, quelles sont les chances qu il pleuve? Deux événements non mutuellement exclusifs mais indépendants : il pleut - il vente

24 Quand faut-il additionner et quand faut-il multiplier? Les règles de l addition et de la multiplication permettent de combiner des probabilités. Cependant, elles servent à résoudre des problèmes différents.! La règle de l addition détermine les chances qu au moins un de deux événements se produise. La règle de la multiplication détermine les chances que deux événements se produisent en même temps. Deux événements mutuellement exclusifs mais non indépendants : il fait soleil (0.6) - il pleut (0.35) - il neige (0.05) Quelles sont les chances qu il pleuve OU qu il neige? Vérifiez avec la boîte à tickets. Deux événements non mutuellement exclusifs mais indépendants : il pleut (0.35) - il vente (0.6) Quelles sont les chances qu il pleuve ET qu il vente? Semblable à un lancer de dé et un lancer d une pièce : énumérez les possibilités.

25 Pour décider si on additionne ou si on multiplie : Première étape Est-ce que l on cherche à savoir si l événement A ou B se produira ou si les événements A et B se produiront ou tout autre chose? Deuxième étape : vérifier si les événements ont la relation appropriée Pour additionner des probabilités, il faut que les événements soient mutuellement exclusifs. Pour multiplier des probabilités inconditionnelles, il faut que les événements soient indépendants (pour les événements dépendants, on multiplie les probabilités conditionnelles).

26 Exemples On lance un dé six fois. (a) Les chances que le premier lancer soit un as ou que le dernier lancer soit un as sont. (b) Les chances que le premier lancer soit un as et que le dernier lancer soit un as sont. Réponses possibles (i) 1/6 + 1/6 (ii) 1/6 x 1/6 (iii) aucune de ces réponses On mélange un paquet de cartes. (c) Les chances que la première carte soit un as de pique ou que la dernière carte soit un as de pique sont. (d) Les chances que la première carte soit un as de pique et que la dernière carte soit un as de pique sont. Réponses possibles (i) 1/52 + 1/52 (ii) 1/52 x 1/52 (iii) aucune de ces réponses

27 Bassins de rétention : deux bassins de rétention reçoivent le trop-plein d un cours d eau lors des crues. Lors d une journée d orage, il y a 10% de risques qu un des bassins se remplissent. Lors de deux journées d orage consécutives, quelles sont les risques que les deux bassins de rétention se remplissent? Représentation avec une boîte à tickets On peut imaginer une boîte avec 100 tickets de trois sortes : 5 tickets pour le remplissage du premier bassin 5 tickets pour le remplissage du deuxième bassin 90 tickets pour qu aucun bassin ne se remplisse On a donc 10% de risques qu un des bassins se remplisse et 90% que tout se passe bien.

28 Autre possibilité de représentation de boîte à tickets On peut imaginer une boîte avec 20 tickets de trois sortes : 1 ticket pour le remplissage du premier bassin 1 ticket pour le remplissage du deuxième bassin 18 tickets pour qu aucun bassin ne se remplisse

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