Itinéraire d'accès à Al9ahira (point B sur la carte) en partant de la Place Ibéria

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1 Itinéraire d'accès à (point B sur la carte) en partant de la Place Ibéria

2 ROYAUME DU MAROC المملكة المغربية Ministère de l'enseignement Supérieur, de la Formation des Cadres et de la Recherche Scientifique Présidence du Concours National Commun 2015 École Nationale Supérieure d Électricité et de Mécanique CONCOURS NATIONAL COMMUN d'admission dans les Établissements de Formation d'ingénieurs et Établissements Assimilés Édition 2015 ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES II Filière MP Durée 4 heures Cette épreuve comporte 4 pages au format A4, en plus de cette page de garde L'usage de la calculatrice est interdit Page de garde

3 L'énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la lière MP, comporte 4 pages L'usage de tout matériel électronique, y compris la calculatrice, est interdit Les candidats sont informés que la qualité de la rédaction et de la présentation, la clarté et la précision des raisonnements constitueront des éléments importants pour l'appréciation des copies Il convient en particulier de rappeler avec précision les références des questions abordées Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre Quelques propriétés du groupe spécial orthogonal Application à la non continuité de la diagonalisation On sait que toute matrice M, carrée réelle d'ordre n 2, dont le polynôme caractéristique est scindé sur R, à racines simples, est diagonalisable ; c'est-à-dire que M est conjuguée à une matrice diagonale On se demande ici si l'on peut réaliser cette diagonalisation de manière continue ; autrement dit : Peut-on choisir la matrice réelle conjuguant M à une matrice diagonale de façon à ce qu'elle dépende continûment de M? Le but de ce problème est de démontrer que cela n'est pas possible sur tout l'ensemble des matrices carrées réelles d'ordre n ayant n valeurs propres réelles deux à deux distinctes Notations et rappels Soit n un entier 2 ; si p N, on note M n,p (R) l'espace vectoriel des matrices à coecients réels, à n lignes et p colonnes Si p = n, M n,p (R) est noté simplement M n (R), c'est l'algèbre des matrices carrées réelles d'ordre n ; I n désignera la matrice identité de M n (R) et GL n (R) le groupe des matrices inversibles (groupe linéaire) Si A M n (R), on note Tr(A) sa trace, det(a) son déterminant et X A son polynôme caractéristique ; il est déni par : λ R, X A (λ) = det(λi n A) Si p N et M M n,p (R), t M désigne la matrice transposée de M Une matrice de M n (R) est dite symétrique si elle coïncide avec sa matrice transposée L'ensemble des matrices symétriques de M n (R) se notera S n (R), c'est un sous-espace vectoriel de M n (R) Le produit scalaire canonique de M n,1 (R) se notera <, > et la norme associée sera notée 2 ; il est déni par (X, Y ) < X, Y >:= t XY On note U n la partie de M n (R) formée des matrices ayant n valeurs propres réelles deux à deux distinctes Dans ce problème, l'espace vectoriel M n (R) est muni de l'une de ses normes 1 ère Partie Résultats préliminaires 11 Étude de l'ensemble U Montrer que U 2 = {A M 2 (R) ; ( Tr(A) ) } 2 4 det A > Montrer que les applications A Tr (A) et A det A, dénies sur M 2 (R) et à valeurs réelles, sont continues 113 Montrer que U 2 est un ouvert non vide de M 2 (R) 114 Dans le plan R 2, dessiner le graphe de la fonction x 1 4 x2 puis préciser, en l'hachurant sur le même graphique, la partie de R 2 correspondant à l'ensemble {( Tr (A), det A ) } ; A U 2 {( ) } a b 115 On pose V 2 = U 2 M c d 2 (R) ; b 0 Épreuve de Mathématiques II 1/4 http: // al9ahira com/

4 Justier que toute matrice de U 2 est diagonalisable dans M 2 (R) et construire une application f : V 2 M 2 (R) continue, à valeurs dans GL 2 (R) et telle que, pour tout M M 2 (R), la matrice f(m) 1 Mf(M) soit diagonale 12 Commutant d'une matrice diagonale Soient α 1,, α n des réels deux à deux distincts et soit A M n (R) la matrice diagonale de coecients diagonaux égaux à α 1,, α n respectivement : A = diag(α 1,, α n ) 121 On pose C (A) = {M M n (R) ; MA = AM} Montrer que C (A) est l'ensemble des matrices diagonales de M n (R) 122 Soit U, V GL n (R) Montrer que U AU 1 = V AV 1 si, et seulement si, la matrice V 1 U est diagonale 13 Une CNS de conjugaison à une matrice diagonale Soit (M, P ) M n (R) GL n (R) et soit D M n (R) une matrice diagonale Montrer que P 1 MP = D si, et seulement si, les coecients diagonaux de D sont les valeurs propres de M et les vecteurs colonnes de P sont des vecteurs propres de M 2 ème Partie Quelques propriétés du groupe spécial orthogonal SO n (R) On rappelle que O n (R) = {A M n (R) ; t AA = I n } et SO n (R) = {A O n (R) ; det A = 1} 21 Montrer que O n (R) est un sous-groupe du groupe linéaire GL 2 (R) et que SO n (R) est un sous-groupe du groupe O n (R) { ( ) } a b 22 Montrer que SO 2 (R) = M b a 2 (R) ; a 2 + b 2 = 1 23 Le groupe SO 2 (R) est connexe par arcs ( ) cos θ sin θ On dénit l'application Φ : R M 2 (R) par : Φ(θ) =, θ R sin θ cos θ 231 Montrer que l'application Φ est continue 232 Montrer que Φ(R) = SO 2 (R) 233 Justier que SO 2 (R) est une partie connexe par arcs de M 2 (R) 24 Le groupe SO n (R) est connexe par arcs pour n Si U O n (R) ; on rappelle qu'il existe une matrice P O n (R), des entiers naturels p, q et r vériant p + q + 2r = n, et, si r 0, des réels θ 1,, θ r, éléments de ]0, 2π[\{π}, tels que la matrice P 1 UP soit diagonale par blocs de la forme I p I q (0) ( ) P 1 UP = Φ(θ 1 ) cos θk sin θ avec Φ(θ (0) k ) = k, 1 k r sin θ k cos θ k Φ(θr) Montrer alors que U SO n (R) si, et seulement si, q est paire 242 Soit U SO n (R) \ {I n } (i) Montrer qu'il existe P O n (R), des entiers naturels p et s vériant p + 2s = n, et des réels θ 1,, θ s, éléments de ]0, 2π[, tels que la matrice P 1 UP soit diagonale par blocs de la forme I p P 1 Φ(θ 1 ) (0) ( cos UP = (0) avec Φ(θ θk sin θ k) = k sin θ k cos θ k Φ(θs) ), 1 k s Épreuve de Mathématiques II 2/4 http: // al9ahira com/

5 (ii) Les notations étant celles de la question (i), on dénit l'application Γ : [0, 1] M n (R) par : I p Φ(tθ 1 ) (0) t [0, 1], Γ(t) = P (0) P 1 Φ(tθs) Montrer que Γ est continue, à valeurs dans SO n (R) puis que Γ(0) = I n et Γ(1) = U 243 En utilisant ce qui précède, montrer soigneusement que SO n (R) est une partie connexe par arcs de M n (R) Pour connecter deux matrices U 1 et U 2 dans SO n (R), on pourra d'abord commencer par connecter chacune d'elles à la matrice I n 25 Soit A M n (R) une matrice quelconque 251 Montrer que l'application M t M, dénie sur M n (R), est continue 252 Justier que l'application U U 1, dénie sur SO n (R), est continue 253 En déduire que { UAU 1 ; U SO n (R) } est une partie connexe par arcs de M n (R) 3 ème Partie Non continuité de la diagonalisation dans tout l'ouvert U 2 On suppose qu'il existe une application f 2 : U 2 M 2 (R) continue, à valeurs dans GL 2 (R) et telle que, pour tout M U 2, la matrice f 2 (M) 1 Mf 2 (M) soit diagonale 31 On considère M U 2 S 2 (R) et on note C 1 (M) (resp C 2 (M)) la première (resp la deuxième) colonne de la matrice f 2 (M) 311 Montrer que C 1 (M) et C 2 (M) sont des vecteurs propres de M associés à des valeurs propres distinctes et prouver qu'ils sont orthogonaux dans (M 2,1 (R), <, >) 312 Justier que la matrice dont la première (resp la deuxième) colonne est C 2 (M) C 2 (M) 2 ) est orthogonale C 1 (M) C 1 (M) 2 (resp On note α(m) le déterminant de la matrice décrite ci-dessus et g 2 (M) M 2 (R) la matrice dont la première (resp la deuxième) colonne est α(m) C 1(M) C 1 (M) Vérier que g 2 (M) SO 2 (R) (resp C 2 (M) C 2 (M) ) 2 On dispose ainsi d'une application g 2 : U 2 S 2 (R) M 2 (R) à valeurs dans SO 2 (R) 314 Montrer que g 2 est continue et que, pour tout M U 2 S 2 (R), la matrice g 2 (M) 1 Mg 2 (M) est diagonale ( ) α 0 32 On considère une matrice diagonale B = M 0 β 2 (R), avec α β 321 Montrer que l'ensemble S B = { UBU 1 ; U SO 2 (R) } est une partie de U 2 S 2 (R) Dans la suite de cette partie, on note h 2 la restriction de g 2 à S B = { UBU 1 ; U SO 2 (R) } 322 Montrer que, pour tout M S B, la matrice h 2 (M) 1 Mh 2 (M) est diagonale et est semblable à B Quelles en sont les valeurs possibles? 323 En déduire que l'application M h 2 (M) 1 Mh 2 (M) est constante sur S B 324 Montrer que l'on peut se ramener au cas où h 2 (M) 1 Mh 2 (M) = B, pour tout M S B 33 On reprend les notations de la question 32 précédente et on suppose désormais que, pour toute matrice M S B, h 2 (M) 1 Mh 2 (M) = B 331 Montrer que, pour tout U SO 2 (R), la matrice h 2 (UBU 1 ) 1 U est diagonale puis justier qu'elle est égale à ±I Soient ϕ 2 : SO 2 (R) S B { I 2, I 2 } et ψ 2 : S B { I 2, I 2 } SO 2 (R) les applications dénies par : ϕ 2 (U) = ( UBU 1, h 2 (UBU 1 ) 1 U ) et ψ 2 (M, D) = h 2 (M)D Montrer que ϕ 2 et ψ 2 sont des bijections réciproques l'une de l'autre Épreuve de Mathématiques II 3/4 http: // al9ahira com/

6 333 Montrer que l'application U Tr ( h 2 (UBU 1 ) 1 U ), dénie sur SO 2 (R) et à valeurs réelles, est continue et a pour ensemble image la paire { 2, 2} 334 Trouver une contradiction et conclure qu'une telle application f 2 n'existe pas 4 ème Partie Non continuité de la diagonalisation dans tout l'ouvert U n pour n 3 Dans cette partie, on admet que U n est un ouvert de M n (R) et on suppose qu'il existe une application f n : U n M n (R) continue, à valeurs dans GL n (R) et telle que, pour tout M U n, la matrice f(m) 1 Mf(M) soit diagonale 41 On considère M U n S n (R) et on note C k (M) la k-ième colonne de la matrice f n (M), pour tout k {1,, n} ( ) C1 (M) C 411 Montrer que la famille C 1 (M) 2,, n(m) C n(m) est une base orthonormée de l'espace euclidien ( M n,1 (R), <, > ) 2 ( Dans la suite de cette ) partie, on note α(m) le déterminant, dans la base canonique, de la famille C1 (M) C C 1 (M) 2,, n(m) C et on désigne par n(m) 2 g n (M) M n (R) la matrice dont la k-ième colonne vaut α(m) C 1(M) C C 1 (M) si 2 k = 1 et vaut k (M) C k (M) si 2 k {2,, n} 412 Justier que g n (M) SO n (R) On dispose ainsi d'une application g n : U n S n (R) M n (R) à valeurs dans SO n (R) 413 Montrer que g n est continue et que, pour tout M U n S n (R), la matrice g n (M) 1 Mg n (M) est diagonale 42 On considère des réels α 1,, α n deux à deux distincts et on note A M n (R) la matrice diagonale de coecients diagonaux égaux à α 1,, α n respectivement : A : diag(α 1,, α n ) 421 Montrer que l'ensemble S A = { UAU 1 ; U SO n (R) } est une partie de U n S n (R) Dans la suite de cette partie, on note h n la restriction de g n à S A = { UAU 1 ; U SO n (R) } 422 Montrer que l'application M h n (M) 1 Mh n (M), dénie sur S A, ne prend qu'un nombre ni de valeurs Combien exactement? 423 Justier alors que l'application M h n (M) 1 Mh n (M), dénie sur S A, est constante 424 Montrer qu'on peut se ramener au cas où h n (M) 1 Mh n (M) = A, pour tout M S A 43 On reprend les notations de la question 42 précédente et on suppose désormais que, pour toute matrice M S A, h n (M) 1 Mh n (M) = A 431 Montrer que, pour tout U SO n (R), h n (UAU 1 ) 1 U est une matrice diagonale de SO n (R) 432 On note D n l'ensemble des matrices diagonales de SO n (R) Montrer que D n est ni et déterminer son cardinal 433 Soient ϕ n : SO n (R) S A D n et ψ n : S A D n SO n (R) les applications dénies par : ϕ n (U) = ( UAU 1, h n (UAU 1 ) 1 U ) et ψ n (M, D) = h n (M)D Montrer que ϕ n et ψ n sont des bijections réciproques l'une de l'autre 434 Montrer que l'application U Tr ( h n (UAU 1 ) 1 U ), dénie sur SO n (R) et à valeurs réelles, est continue et a pour ensemble image Tr(D n ) 435 Trouver une contradiction et conclure qu'une telle application f n n'existe pas Fin de l'épreuve Épreuve de Mathématiques II 4/4 http: // al9ahira com/

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