Systèmes de coordonnées du plan et de l'espace

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1 Sstèmes de coodonnées du plan et de l'espace I- Sstèmes de coodonnées dans le plan I-1 Coodonnées catésiennes I-1-a) Définition Un point quelconque du plan peut ête epéé pa ses coodonnées catésiennes (,) dans la base othonomée u, u. + d u u ' d 2 S + d n peut alos écie : = u. + u. avec (, ) R 2 I-1-b) Déplacement infinitésimal n envisage le déplacement infinitésimal du point (,) au point '(+d, +d). Le déplacement peut alos s'écie : = d.u + d.u = d I-1-c) Elément de suface infinitésimal n considèe la suface infinitésimale engendée pa le déplacement du point pécédemment décit. L'aie de cette suface est donnée pa: d 2 S = d.d I-2 Coodonnées polaies I-2-a) Définition u θ u u dθ θ u ' d 2 S d n peut alos écie : =. u avec 0 et 0 θ 2π Un point quelconque du plan peut ête epéé pa ses coodonnées polaies (,θ) dans la base othonomée u, u. θ I-2-b) Déplacement infinitésimal n envisage le déplacement infinitésimal du point (,θ) au point '(+d, θ+dθ). Le déplacement peut alos s'écie : page 1/ 5

2 = d. u +. d. u = d I-2-c) Elément de suface infinitésimal n considèe la suface infinitésimale engendée pa le déplacement du point pécédemment décit. L'aie de cette suface est donnée pa: d 2 S = d..dθ θ θ II- Sstèmes de coodonnées dans l'espace II-1 Coodonnées catésiennes II-1-a) Définition Un point quelconque de l'espace peut ête epéé pa ses coodonnées catésiennes, et dans la base associée au epèe catésien (, u, u, u ). + d u d 3 τ ' n peut alos écie : = u. + u. + u. 3 Avec (,,) R + d u u + d d 2 S II-1-b) Déplacement infinitésimal n envisage le déplacement infinitésimal du point (,,) au point '(+d, +d, + d). Le déplacement ' peut alos s'écie : = d. u + d. u + d. u = d II-1-c) Elément de volume infinitésimal n considèe le volume infinitésimal d 3 τ engendé pa le déplacement du point pécédemment décit. Ce volume est donné pa: d 3 τ = d.d.d II-1-d) Elément de suface infinitésimal Fiant l une des coodonnée, le point se déplace dans une suface élémentaie d aie : d 2 S = d.d si l on fie l abscisse ; d 2 S = d.d si l on fie l odonnée ; d 2 S = d.d si l on fie la côte II-2 Coodonnées clindiques II-2-a) Définition Un point de l espace peut ête epéé pa ses coodonnées clindiques, θ et dans la base associée au epèe clindique (, u, u θ, u ). page 2/ 5

3 n peut alos écie : =. u +. u avec 0; 0 θ 2π et R. II-2-b) Déplacement infinitésimal n envisage le déplacement infinitésimal du point (,θ,) au point '(+d, θ+dθ, +d). Le déplacement ' peut alos s'écie : = d. u +. d. u + d. u = d II-2-c) Elément de volume infinitésimal n considèe le volume infinitésimal d 3 τ engendé pa le déplacement du point pécédemment décit. Ce volume est donné pa: d 3 τ = d..dθ.d II-2-d) Elément de suface infinitésimal Fiant l une des coodonnée, le point se déplace dans une suface élémentaie d aie : d 2 S = dθ.d si l on fie le aon ; d 2 S θ = d.d si l on fie l angle θ; d 2 S = d. dθ si l on fie la côte θ θ II-3 Coodonnées sphèiques II-3-a) Définition Un point de l espace peut ête epéé pa ses coodonnées sphèiques, θ et ϕ dans la base associée au epèe sphéique (, u, u θ, uϕ ). page 3/ 5

4 n peut alos écie : =. u avec 0 ; 0 θ π et 0 ϕ 2π. u θ Le domaine de vaiation de l angle θ peut supende. En fait, faie vaie θ su un intevalle de longueu 2π eviendait à pacoui 2 fois l espace. Le sstème de coodonnées sphéiques s inspie de la localisation géogaphique d un point à la suface de la tee. L angle ϕ epésente l angle de longitude tandis que l angle θ epésente le complémentaie de l angle de latitude. u ϕ uθ m Dans le plan m II-3-b) Déplacement infinitésimal n envisage le déplacement infinitésimal du point (,θ,) au point '(+d, θ+dθ, ϕ+dϕ). Le déplacement ' peut alos s'écie : d.u +.d θ.u +.sin( θ).dϕ.u = d = θ ϕ II-3-c) Elément de volume infinitésimal n considèe le volume infinitésimal d 3 τ engendé pa le déplacement du point pécédemment décit. Ce volume est donné pa: d 3 τ = d..dθ..sin(θ).dϕ II-3-d) Elément de suface infinitésimal Fiant l une des coodonnée, le point se déplace dans une suface élémentaie d aie : d 2 S = dθ..sin(θ).dϕ si l on fie le aon ; d 2 S θ = d..sin(θ).dϕ si l on fie l angle θ; d 2 S ϕ = d. dθ si l on fie l angle ϕ page 4/ 5

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