NOMBRES AU C3. Roland Charnay Entiers, décimaux, fractions

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1 NOMBRES AU C3 1 Entiers, décimaux, fractions

2 SUR LES ENJEUX D APPRENTISSAGE La résolution de problèmes joue un rôle essentiel dans l activité mathématique. Elle est présente dans tous les domaines et s exerce à tous les stades des apprentissages. (programme) L acquisition des mécanismes en mathématiques est toujours associée à une intelligence de leur signification. (programme) 2

3 DEUX PRÉCISIONS DE VOCABULAIRE Lu dans un manuel : partie entière 2, 65 partie décimale La virgule sépare la partie entière de la partie décimale Formulation correcte : partie entière : 2 partie décimale : 0,65 ou encore 65 centièmes 2,65 est la somme de sa partie entière et de sa partie décimale : 2,65 = 2 + 0,65 = /100 3

4 Un nombre décimal est un nombre écrit avec une virgule. 32 2/5 14/10 0,15 3,14 sont des nombres décimaux 0,6666 π ne sont pas des nombres décimaux Formulation correcte : Un nombre décimal est un nombre qui peut être écrit avec une virgule et un nombre fini de chiffres après la virgule. 4

5 LES LIMITES DE L APPRENTISSAGE A COUP DE REGLES Enseigner des règles ou aider à comprendre? 5 L exemple de la multiplication par 10, 100

6 MULTIPLIER PAR 100 Règle pour les nombres entiers : Écrire deux 0 à droite 24 x 100 = Règle pour les nombres décimaux : Déplacer la virgule de 2 rangs vers la droite 2,345 x 100 = 234,5 2,34 x 100 = 234 (disparition de la virgule) 4,7 x 100 = 470 (disparition de la virgule, et apparition de 0!) 6

7 RÉSULTATS ET DIFFICULTÉS 2,3 x 10 (évaluation 6 e ) % 20,3 ou 2,30 ou 20,30 20 % La virgule "frontière" et "écrire un 0" % La virgule "absente" et "écrire un 0" 35,2 x 100 (évaluation 6 e ) % 3500,2 ou 35,200 ou 3 500, % La virgule "frontière" % Que faire quand la virgule "disparaît"? 7

8 COMMENT JUSTIFIER QUE 20,45 X 10 = 204,5? OU COMMENT TROUVER LA RÉPONSE SANS CONNAÎTRE DE RÈGLE? Comprendre l'écriture 20,45, par exemple comme : 2 dizaines + 4 dixièmes + 5 centièmes Savoir que multiplier 2 dizaines + 4 dixièmes + 5 centièmes par 10 revient à multiplier chaque "terme de la décomposition" par 10, donc on obtient : 20 dizaines + 40 dixièmes + 50 centièmes Savoir que 20 dizaines, c'est 2 centaines (car 10 dizaines, c'est 1 centaine) Savoir que 40 dixièmes, c'est 4 unités (car 10 dixièmes, c'est 1 unité) Savoir que 50 centièmes, c'est 5 dixièmes (car 10 centièmes, c'est 1 dixième) 8

9 EN RÉSUMÉ (DANS LE TABLEAU DE NUMÉRATION) pour 20,45 x 10, milliers centaines dizaines unités dixièmes centièmes millièmes La virgule n a pas changé de place! 9

10 EN REALITE Quand on multiplie un nombre par 10, chaque chiffre prend une valeur "10 fois plus grande" Ce n'est pas la virgule qui se déplace, mais les chiffres qui "changent" de valeur donc de place (déplacement vers la gauche) C'est la même chose pour les entiers que pour les décimaux! 10

11 EN RÉSUMÉ (DANS LE TABLEAU DE NUMÉRATION) pour 20,45 x x 10 0,4 x 10, milliers centaines dizaines unités dixièmes centièmes millièmes

12 AVEC D AUTRES SYSTÈMES DE NUMÉRATION Romain Multiplier XXXVII par X (37 x 10) CCCLXX (370) Remplacer chaque symbole par un symbole de valeur cent fois supérieure. 12

13 AVEC DU MATÉRIEL EXEMPLE DE 0,12 X 10 0,12 1 1,2 13

14 TACHES, TECHNIQUES ET JUSTIFICATIONS Enseignement centré sur COMPREHENSION Multiplier par 10, 100 Tâche Technique Déplacemen t de la virgule ou des chiffres Chaque chiffre prend une valeur 10 fois, 100 fois supérieure Justification MECANISME 14

15 DES DIFFICULTÉS QUI PERSISTENT! (EXTRAIT DE LA THÈSE DE JEANNE BOLON, 1996) Par rapport à 7, quel est le nombre le plus proche : 6,9 ou 7,08 CM1 CM2 6 e 5 e 22 % 30 % 27 % 29 % Et pourtant, il suffit d'avoir compris que 8 centièmes (écart de 7 à 7,08) c'est moins que 1 dixième (écart de 7 à 6,9)! 15

16 QUELQUES DIFFICULTÉS POUR LES NOMBRES DÉCIMAUX Comparaison, intercalation 2,7 < 2,17 Entre 2,5 et 2,7, il n y a que 2,6 Signification des chiffres : Ecrivez dix-huit unités et trois centièmes 18,3 18,003 (symétrie avec centaine) 318 (confusion centaine / centième) 3,18 300,18 18,3/100 18,300 Calcul 2,3 + 0,8 = 2,11 (2 + 0 = 2 ; = 11) 2,3 x 5 = 10,15 (2 x 5 = 10 ; 3 x 58 = 15) Sens de certaines opérations Prix de 0,85 kg de gruyère à 17 le kg division 16

17 Interprétation des erreurs et origine possible La virgule sépare 2 nombres entiers "indépendants" Signification "spatiale" et non "conceptuelle" 234,567 dizaine dixième Idée de "nombre" suivant persistante (cf. entiers) Lecture : 3 virgule 25 plutôt que 3 et 25 centièmes ou 3 et 2 dixièmes et 5 centièmes Usage social : 3,25 pour 3 25c Confusion fractions / décimaux /100 = 96,200 pour 21 % des élèves (2005) 80,4 = 80/4 pour 17 % des élèves (2005) 17

18 LA NUMERATION DES ENTIERS ET DES DECIMAUX 18 Quelques repères pour la mise en place

19 1 ÈRE CONNAISSANCE FONDAMENTALE La valeur des chiffres par rapport à l unité Valeur de chaque chiffre par rapport à l unité, en fonction du rang qu il occupe (à gauche ou à droite de la virgule) Centaine : 100 fois l unité Centième : 100 fois moins que l'unité ,436 3 fois «dix mille unités» 3 fois «dix unités» 3 fois «dix unités» 3 fois «la part de l unité partagée en cent» 19

20 2 E CONNAISSANCE FONDAMENTALE La relation de valeur entre rangs voisins Partage en 10 1 centaine = 10 dizaines 1 dizaine = 1 centaine divisée par 10 1 dixième = 10 centièmes 1 centième = 1 dixième divisé par Groupement par 10 Partage en 10 35,436 Groupement par 10 5 fois «une dizaine de milliers partagée en 10» 3 fois «dix unités» 5 fois «une dizaine partagée en 10» 3 fois «dix centièmes» 20

21 3 E CONNAISSANCE FONDAMENTALE La relation de valeur entre rangs non voisins 1 millier = 100 dizaines 1 dizaine = 1 millier divisé par dizaine = 100 dixièmes 1 dixième = 1 dizaine divisée par 100 Partage en ,436 Groupement par

22 Ces connaissances sont évocables dans trois registres de langage à mettre en relation Registre verbal Registre symbolique : virgule, fraction Registre des représentations matérielles (quantités, longueurs, aires ) 22

23 1 174 cent soixante-quatorze Etre capable de «naviguer» entre ces 3 registres 23

24 1 1,74 Un, sept dixièmes et quatre centièmes Un et soixante-quatorze centièmes Etre capable de «naviguer» entre ces 3 registres 24

25 DES ENTIERS AUX DÉCIMAUX Le système d écriture à virgule des nombres décimaux fonctionne comme le système d écriture des nombres entiers Le rang détermine la valeur. Les rapports de valeur entre rangs sont identiques (fondés sur des groupements par dix ou des partages en dix). Pour les nombres décimaux, la virgule sert à repérer l unité aurait été, par exemple, préférable à 12,35 Stevin (1585) avait proposé : Mais certaines propriétés sont différentes Idée de successeur non pertinente pour un nombre décimal. Intercalation toujours possible pour les nombres décimaux (avec une infinité de solutions). Conclusion Le système d écriture à virgule des nombres décimaux ne peut être compris que si celui des entiers l est en profondeur. 25

26 Les fractions à l école primaire 26 pour aider à comprendre les nombres décimaux

27 Fractions de l école au collège Exprimer des mesures, à partir du partage de l'unité 5/4, c'est 5 fois le quart de l'unité École primaire 1 ou l unité de longueur Cette signification correspond à la lecture cinq quarts 27

28 Fractions de l école au collège Collège Expression du partage d'une grandeur 5/4, c'est le quart de 5 (lié à 5 divisé par 4) 1 5/4 S assurer que c est le même résultat que 5 Solution de 4x = 5 On est passé de cinq quarts au quart de cinq. Expression de rapports 5 pour 4 comme 20 pour

29 TROIS MOMENTS CLÉS POUR L APPRENTISSAGE DES FRACTIONS 29

30 MOMENT 1 : SENS ET NÉCESSITÉ DES FRACTIONS D'APRÈS CAP MATHS CM1 bande blanche : unité de longueur Pour information Activité - Choisir 2 bandes (une bleue et une verte) et les mesurer avec la bande-unité. A : 1u + ½ u B : 1u + 1/4 u C : ½ u D : 2 u E : ¼ u F : 3/4 u - Écrire leur mesure pour permettre leur identification par d autres élèves. 30

31 Dans leur formulations, les élèves utilisent le langage connu. Par exemple pour le segment A (1u + ½ u) : C est l unité plus la moitié de l unité. C est l unité plus l unité partagée en 2 C est l unité plus l unité pliée en deux Synthèse - Pour mesurer, il faut parfois utiliser des parts de l'unité - Présentation de la notation fractionnaire : ½ u, c est une part de l unité partagée en 2 ¾ u, c est 3 parts de l unité partagée en 4 31

32 - Mesure de nouveaux segments. - Tracé de segments de longueurs données : 1 u + ¼ u, ½ u + ¼ u, 3/2 u.. - Mêmes activités, à propos d aires. - Trouve les surfaces de la fiche qui correspondent aux aires indiquées dans le tableau. - Pour les aires qui ne correspondent à aucune surface, construis une surface qui convient. 32

33 ATTENTION AUX AMBIGUÏTÉS UN EXEMPLE Ambiguïté principale L unité n est pas précisée unité mesure : 3 unité mesure : 1 unité mesure : 1/2 Deuxième ambiguïté Ecris la fraction 3/6 1/2 Troisième ambiguïté Fractions supérieures à 1? Cette présentation laisse entendre qu une fraction est toujours inférieure à 1 33

34 MOMENT 2 : Comparaison de fractions : égalité, inégalité Il s agit donc de comparer : 2u + ½ u 1u + 3/2 u 7/4 u 5/2 u 34

35 Pas de règle de comparaison donc appel au raisonnement Exemple : 1 u + 3/2 u est-elle égale à 5/2 u? Appui sur le langage verbal Appui sur le «matériel» 1 unité, c est 2 demi-unités 1u + 3/2 u, c est donc : 2 demi-unités plus 3 demi-unités, c est 5 demi-unités, donc 5/2 u 35

36 MOMENT 3 : Décomposition de fractions, partie entière Exemple : placer 11/2 : - Impossible de compter 11 demis à partir de 0 - Soit partir de 3, c est 6/2 (6 demis) et compter encore 5 demis : 11/2 = 3 + 5/2 - Soit considérer que 10/2 c est 5 et compter 1 demi après 5 : 11/2 = 5 + 1/2 36

37 Décimaux à l école primaire Quelques moments clés pour l apprentissage 37

38 MOMENT 1 : LES FRACTIONS DÉCIMALES Des fractions comme les autres qui utilisent les "bonnes relations" entre 1 ; 10 ; 100 Appui sur les longueurs (unité assez grande pour avoir des centièmes matérialisés) et sur les aires (matérialisation plus facile des centièmes et même des millièmes) Deux points importants : Egalités, comme 7/10 = 70/100 Décomposition 234/10 = /10 (partie entière) 234/100 = 2 + 3/10 + 4/100 (signification des chiffres) 34/100 = 3/10 + 4/100 (idem) 38

39 MOMENT 2 : LES ÉCRITURES À VIRGULE une autre écriture des fractions décimales une lecture : 1 et 4 dixièmes et 5 centièmes une signification : image mentale 1 39

40 MOMENT 3 : COMPARER EN RAISONNANT Matériel disponible - des unités - des dixièmes - des centièmes 40

41 COMPARAISON DE 2,12 ET 2,7 Activité en trois phases Réponse individuelle, avec explication Prise de position sur des réponses/explications choisies par l'enseignant Par groupes de 2 Confrontation de 2 groupes de 2 Débat collectif 41

42 2,12 > 2,7 parce que 12 > 7 Exemples d'arguments 2,7 > 2,12 parce que 2,7 = 2,70 (le 0 ne compte pas!) 2,7 > 2,12 parce que 2,70 > 2,12 (on a tout mis en centièmes) 2,7 > 2,12 parce que 7 dixièmes et plus grand que 1 dixième 2,7 > 2,12 parce que 2,7=27/10=270/100, 2,12=212/100 2,7 > 2,12 parce que le 7 de 2,7 c est 70 centièmes et le 12 de 2,12 c est seulement 12 centièmes 2,7 > 2,12 parce que dans 2,7 il y a 58 centièmes de plus que dans 2,12 42

43 FONDAMENTALEMENT, LA COMPARAISON DES NOMBRES DÉCIMAUX ET CELLE DES NOMBRES ENTIERS REPOSENT SUR LES MÊMES CONNAISSANCES Pourquoi > 987? Parce que 2 milliers c est plus que 987 unités En effet 2 milliers = unités Pourquoi 856 > 839? Parce que 5 dizaines c est plus que 39 unités En effet 5 dizaines = 50 unités Pourquoi 7,8 > 7,56? Parce que 8 dixièmes c est plus que 56 centièmes En effet 8 dixièmes = 80 centièmes 43

44 D OÙ UNE MÊME RÈGLE POSSIBLE POUR COMPARER DES NOMBRES ENTIERS OU DÉCIMAUX! Les nombres étant écrits (ou imaginés) l un sous l autre, on parcourt leurs chiffres de gauche à droite. Dès qu on trouve 2 chiffres différents, on peut conclure ,7 5,368 25,3 8,

45 MOMENT 4 : MULTIPLICATION PAR 10, 100 Cf. introduction 45

46 MOMENT 5 : NOMBRES DÉCIMAUX ET LIGNE GRADUÉE Identifier le pas de la graduation. Interpréter l écriture à virgule. S appuyer sur la partie entière. 46

47 MOMENT 6 : INTERCALATION À L INFINI Remettre en cause l'idée de "nombre suivant" 47

48 NOMBRES DÉCIMAUX ET CALCUL A penser dans l articulation avec le collège Sixième 4 opérations (toutes reprises en Sixième!) Multiplier par 0,1 ; 0,01 (hors socle en Sixième!) Division décimale limitée à celle d un décimal par un entier (le dividende comportant au plus 2 chiffres après la virgule) En calcul posé, les nombres doivent rester de taille raisonnable et aucune virtuosité technique n est recherchée. Cinquième Division de deux nombres décimaux 48

49 NOMBRES DÉCIMAUX ET CALCUL Points clés en calcul automatisé Multiplier et diviser par 10, 100 en relation avec la numération décimale Résultats mémorisés Sommes et différences de dixièmes (0,5 + 0,7 ) Compléments à 1 et à l unité supérieure (pour des nombres avec des dixièmes) Produits du type 0,4 x 3 ; 0,4 x 5 Relations entre 0,25 ; 0,5 ; 0,75 et 1 (en particulier savoir que 0,25 = ¼ ; 0,5 = ½ ; 0,75 = ¾) 49

50 Calcul posé NOMBRES DÉCIMAUX ET CALCUL Points clés en calcul automatisé Addition, soustraction, en lien avec la numération décimale Multiplication d un décimal par un entier 5, centièmes ou 586 : 100 x centièmes ou : ,02 Division d un entier ou d un décimal par un entier, en lien avec la numération décimale Pour ces opérations, continuité de sens entre calcul sur les entiers et calcul sur les décimaux. 50

51 Le cas de la multiplication de deux décimaux Rupture de sens 45 x fois 45 (addition itérée) 45,35 x fois 45,34 (addition itérée) 45,35 x 2,7 sens à donner à 2,7 fois 45,35? 45,35 x 0,7 sens à donner à 0,7 fois 45,35? Nécessité d une référence Soit à la proportionnalité : pour 45,35 x 2,7 2 fois 45,35 plus 7/10 de 45,35 Soit à l aire d un rectangle : pour 45,35 x 0,7 rectangle de 45,35 cm sur 0,7 cm Continuité pour la technique 45, : 100 x 2,7 27 : à diviser par

52 NOMBRES DÉCIMAUX ET CALCUL Points clés en calcul réfléchi Doubles de nombres comme 4,5 17,5 0,75 Moitiés de nombres comme 7 0,7 1,2 Sommes ou différences comme 13,5 + 6,5 13 6,5 Produits comme 2,5 x 4 6,2 x 5 52