Vers étoile α. Soleil. Référentiel héliocentrique

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1 Chapitre : La mécanique de ewton. Objectifs : Choisir un système, choisir les repères d espace et de temps ; Faire l inentaire des forces extérieures appliquées à ce système ; Définir le ecteur accélération et exploiter cette définition, connaître son unité ; Énoncer les trois lois de ewton ; Saoir exploiter un document expérimental (série de photos, film, acquisition de données aec un ordinateur) : reconnaître si le mouement du centre d inertie est rectiligne uniforme ou non, déterminer des ecteurs itesse et accélération, mettre en relation accélération et somme des forces, tracer et exploiter des courbes = f) I. Rappels I.. Système d étude En mécanique on définit toujours dans un premier temps le système d étude. Ex : {bille} ou {mobile} I.. Référentiels La seconde étape est la définition du référentiel d étude. Un référentiel est constitué d un solide de référence auquel on associe un repère d espace ( O, i, j, ), le plus souent orthonormé, et un repère de temps (le début du mouement coïncidera souent aec la date t = 0 s). Le mouement d un corps ou d un point dépend du référentiel d étude ( = relatiité du mouement). Un référentiel galiléen est un référentiel qui érifie la première loi de ewton (ou principe d inertie) types de référentiels : Référentiel héliocentrique : repère ayant pour origine le centre du Soleil, ses trois axes sont dirigés ers trois étoiles fixes et lointaines utile pour étudier le mouement des planètes autour du Soleil. Référentiel géocentrique : repère ayant pour origine le centre de la Terre, ses trois axes sont dirigés ers trois étoiles fixes utile pour étudier le mouement des satellites autour de la Terre. Il est animé d un mouement de translation circulaire par rapport au référentiel héliocentrique. Référentiel terrestre : repère ayant pour origine le centre d un objet situé à la surface terrestre et dont les axes sont perpendiculaires ( en longueur, en largeur et en hauteur) utile pour étudier les mouements à la surface de la Terre. Vers étoile α S Soleil Vers étoile β S Référentiel héliocentrique Vers étoile γ Terre S Vers étoile β Vers étoile α Vers étoile γ Référentiel géocentrique I.. Bilan des forces Le plus souent on sera amené à étudier le mouement du centre d inertie du système (car le plus simple à étudier). Le mouement du centre d inertie ne dépend que des forces extérieures appliquées au système. On terminera donc l approche d un problème de mécanique par la réalisation d un bilan des forces extérieures appliquées au système (sauf cas exceptionnel). / 8 4 ème Partie : Eolution temporelle des systèmes mécaniques

2 Exemple d application : On eut réaliser l étude du centre d inertie d un mobile autoporteur accroché à un point fixe O par une ficelle indéformable. Le mobile est lancé dans une direction perpendiculaire à celle de la ficelle. Réaliser le bilan des forces qui s exercent sur le mobile autoporteur. T R P Système d étude : {le mobile autoporteur} Référentiel : terrestre supposé galiléen lié au laboratoire Bilan des forces extérieures : - poids du mobile P - réaction normale du support R - tension du fil T II. Quels sont les ecteurs qui serent à décrire le mouement? TP 8 II.. Le ecteur position La position du centre d inertie change au cours du temps et peut être repérée dans le repère d espace ( O, i, j, ) et le repère de temps du référentiel d étude choisi à l aide du ecteur positiono. Le ecteur position s exprimera à partir des coordonnés cartésiennes x), y) et z) du point, on a : O) = x) i + y) j+ z) L ensemble des positions occupées successiement par le point au cours du temps constitue sa trajectoire. II.. Le ecteur itesse Le ecteur itesse ) à l instant t est défini par la relation suiante rencontrée en classe de Première : ) ) ) ) = = t t Δt ΔO ) O ) Or = O + O = O O = ΔO ) et O ainsi on a : ΔO ) ) = Δt i O j ΔO ) De manière générale on a ) =. Δt Pour obtenir la itesse instantanée il faut faire tendre l interalle de temps Δt ers 0. On a ainsi la définition du ecteur itesse instantanée : ΔO ) do ) = lim = Δt 0 Δt d t Les coordonnées du ecteur itesse dans le repère orthonormé seront x ), y ) et z ) et on a : x) i z) ) = x) i + y) j+ z) dx) dy) d z) ) = i+ j+ dt dt dt O j ) y) / 8 4 ème Partie : Eolution temporelle des systèmes mécaniques

3 Remarque : on écrit aussi pour simplifier l écriture : ) = x) i + y) j + z) Chaque coordonnée du ecteur itesse s exprime en m s La aleur du ecteur itesse est : = + + x y z II.. Le ecteur accélération Le ecteur accélération a ) à l instant t est défini Δ par la relation suiante : a ) = = t t Δt Δ ) De manière générale on a a ) = Δt ) Δ a ) ) Pour obtenir l accélération instantanée il faut faire tendre l interalle de temps Δt ers 0. i O j Δ - On définit le ecteur accélération instantanée : Δ d a ) = lim = = Δt 0 Δt ) d t d O d t Le ecteur accélération a est donc colinéaire au ecteur Δ Les coordonnées du ecteur accélération dans le repère orthonormé seront a x ), a y ) et a z ) et on a : a ) = a ) i + a ) j+ a ) x y z d x) d y ) d z) a ) = i + j+ dt dt dt d x) d y) d z) a ) = i + j+ dt dt dt Remarque : on écrit aussi pour simplifier l écriture : ) a = x) i + y) j + z) Chaque coordonnée du ecteur accélération s exprime en m s La aleur du ecteur accélération a est a = a + a + a x y z / 8 4 ème Partie : Eolution temporelle des systèmes mécaniques

4 Exemple d application : Le centre d inertie d un corps en mouement possède les coordonnées suiantes dans un repère x) = t + 6t + orthonormé ( O, i, j, ) : O y) = t z) = a) Déterminer les coordonnées de ) et de a ) en fonction du temps. d x) = 4t + 6 d t d y) ) = d t d z) = 0 d t et d x ) d x) = = 4 d t d t d y ) d y) a ) = = 0 d t d t d z ) d z) = = 0 d t d t b) Calculer leur aleur à t = 0 s. (0) = = 45m s a (0) = = 4m s II.4. Exemples de mouement Un mouement est rectiligne uniforme si la itesse est constante en direction, norme et sens donc si son ecteur accélération est nul : = C st et a= 0 Dans le cas d un mouement circulaire uniforme, seule la norme de la itesse est constante et le ecteur accélération est dirigé ers le centre de la trajectoire : les ecteurs itesse et accélération sont orthogonaux. Figure 6 p 79 Dans le cas des mouements uniformes on a a = 0 On dit qu un mouement est uniformément arié si le ecteur accélération est constant : a= C st Ex : Chute erticale d une bille dans un liquide (cf chapitre ) Un mouement est accéléré si le ecteur accélération a une composante positie dans le sens et la direction du mouement, autrement dit si a > 0 Dans le cas contraire il sera dit ralenti, autrement dit si a < 0 Figure 7 p 79 4 / 8 4 ème Partie : Eolution temporelle des systèmes mécaniques

5 III. Quelles sont les trois lois de ewton? III.. Première loi de ewton ou Principe d inertie Dans un référentiel galiléen, si le ecteur itesse du centre d inertie d un système ne arie pas alors la somme ectorielle des forces extérieures F ext qui s exercent sur le système est nulle et réciproquement. st Soit : Fext = 0 = C est un ecteur constant (même direction, même sens et même norme) Dans ce cas le centre d inertie du système sera donc animé soit d un mouement rectiligne uniforme (MRU) ou sera immobile si = 0. Un référentiel qui est en translation rectiligne uniforme par rapport à un référentiel galiléen sera lui-même galiléen. Par contre s il est en rotation ou qu il est en mouement rectiligne accéléré ou ralenti il ne sera plus considéré comme galiléen et on ne pourra plus y appliquer les deux premières lois de ewton. ature des référentiels usuels Le référentiel terrestre n est pas rigoureusement un référentiel galiléen à cause de la rotation de la Terre sur elle-même mais pour des mouements de courtes durées on pourra le considérer comme tel. Le référentiel géocentrique n est pas rigoureusement galiléen à cause de la rotation de la Terre autour du Soleil mais pour des mouements de quelques heures on pourra le considérer comme tel. Le référentiel héliocentrique est un référentiel galiléen. III.. Deuxième loi de ewton ou Principe Fondamental de la dynamique (P.F.D.) Dans un référentiel galiléen, la somme des forces extérieures F ext appliquées à un système de masse m en translation est liée à l accélération a du centre d inertie par la relation suiante : F = m a ext La aleur de la résultante des forces extérieures appliquées au système Fext () La aleur de la masse m doit être exprimée en g La aleur de l accélérationa sera exprimée en m s. est exprimée en ewton Le ecteur accélération, a, et le ecteur force résultante, F ext, sont colinéaires. La aleur F ext de la résultante des forces extérieures appliquées au solide est proportionnelle à la aleur de l accélération a du centre d inertie. Pour une aleur de force donnée, la aleur de l accélération a est inersement proportionnelle à la masse m. Le P.F.D. établit le lien entre les causes du mouement (forces) et l effet obtenu (accélération) 5 / 8 4 ème Partie : Eolution temporelle des systèmes mécaniques

6 III.. Troisième loi de ewton ou Principe des actions réciproques Soit deux systèmes A et B en interaction. Si F A/B est la force exercée par A sur B et F B/A la force exercée par B sur A alors quelque soit l état de mouement ou de repos des deux systèmes, les deux forces érifient toujours l égalité ectorielle suiante : F A/B = F B/A. La troisième loi de ewton est érifiée quelque soit le référentiel (galiléen ou non). Ex : Force d interaction graitationnelle entre la Terre et la Lune : F T/L = F et Figure 8 p 80 F T/L L Lune L/T T F L/T Terre F = F T/L L/T IV. Exercice d application Etienne Jules Marey (Beaune 80 Paris 904) physiologiste français, est connu pour ses études sur la démarche humaine. Il est l inenteur de la chronophotographie. Cette technique permet d étudier les mouements rapides en réalisant à l aide d éclairs périodiques l enregistrement, sur une même image, des positions et des attitudes d un animal à interalles de temps réguliers. Pour atteindre un nénuphar situé à 40 cm une grenouille effectue un saut aec une itesse initiale 0 = m s -. Le ecteur itesse initial fait un angle α 0 = 45 aec la direction horizontale. On prendra pour aleur de l accélération de la pesanteur g = 0 m s -. L analyse d un des clichés à l aide d un logiciel informatique, permet d obtenir l enregistrement des positions successies du centre d inertie de la grenouille. La figure 9 de l annexe à rendre aec la copie reproduit ces positions à l échelle ½. La première position du centre d inertie de la grenouille ( 0 ) sur le document correspond à l origine du repère (point O), à la date choisie comme origine des temps. La durée entre deux positions successies est τ = 0 ms. a) Déterminer les aleurs 9 et des ecteurs itesse instantanée du centre d inertie de la grenouille aux points 9 et. Tracer sur la figure 9 (en annexe) les ecteurs 9 et (échelle cm pour 0,5 m s - ). b) Construire sur la figure 9 (en annexe) le ecteur Δ = 9 aec pour origine le point 0. Déterminer sa aleur en utilisant l échelle précédente. c) En déduire la aleur a 0 du ecteur accélération du centre d inertie à l instant t 0. Tracer sur la figure 9 (en annexe) le ecteur a 0 aec pour origine le point 0 (échelle cm pour 5 m.s ). 6 / 8 4 ème Partie : Eolution temporelle des systèmes mécaniques

7 7 / 8 4 ème Partie : Eolution temporelle des systèmes mécaniques

8 V 9 9 ΔV V a 0 a) 9 = 8 0,9 = =,4.0 cm s =,4 m s représenté par une flèche de,8 cm partant de τ et parallèle à 8 0 = 0, = τ =,6 m s représenté par une flèche de,cm partant de et parallèle à b) Δ V représenté par une flèche 0,75 cm soit ΔV = 0,8 m s Δ V 0,75 c) a 0 = = = 9,4 m s τ 0, / 8 4 ème Partie : Eolution temporelle des systèmes mécaniques

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