Nombre dérivé et interprétation graphique. h valeurs approchées du nombre dérivé de la fonction f en t 0

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1 DÉRIVONS EN VITESSE Objecif Ouils Comparer deux approximaions du nombre dérivé d une foncion numérique en un poin, l une issue de la définiion maémaique usuelle, l aure uilisée par les calcularices. Nombre dérivé e inerpréaion grapique. Cee séquence a éé publiée dans la brocure «Espace modules - Maémaiques première S» CRDP d Aquiaine f ( + ) f( ) f ( + ) f( ) Lorsque es assez pei, les nombres e son des valeurs approcées du nombre dérivé de la foncion f en. Le deuxième, qui semble donner une meilleure approximaion que le premier, es uilisé par les calcularices. On se propose ici de comparer ces nombres e d éudier la légiimié de ces approximaions. Un poin M se déplace sur une droie. Sa posiion à l insan es caracérisée par son abscisse dans le repère (O, I) : x = f () où f es une foncion dérivable en. Par définiion, on appelle viesse insananée de M à l insan le nombre dérivé de f en : f ( ). Dans la praique, on uilise deux valeurs approcées de cee viesse : V ( ; ) = W ( ; ) = f( + ) f( ) pour «assez pei», f( + ) f( ) pour «assez pei». On se propose de comparer ces deux approximaions. À ce effe, on inrodui les nombres ϕ ( ; ) = V ( ; ) f ( ) e µ ( ; ) = W ( ; ) f ( ). REMARQUE V ( ; ) es le coefficien direceur de la droie (M M ). W ( ; ) es le coefficien direceur de la droie (MM ). x M M M O + IV - Dérivabilié Dérivons en viesse

2 A. Légiimié de l approximaion de f ( ) par V ( ; ) Soi f une foncion dérivable en e f ( ) le nombre dérivé de f en ce poin.. Démonrer que f( ) f( ) lim = f ' ( ). f( + ) f( ) f( ) f( ). Vérifier que V ( ; ) = + e en déduire lim V ( ; ) = f' ( ). B. Comparaison des approximaions dans des cas pariculiers. Mouvemen uniforme : f() = a+ b ( a ). a. Calculer f ( ), V ( ; ), W ( ; ). b. Calculer ϕ ( ; ) e µ ( ; ). Expliquer géomériquemen ces résulas. c. Conclure.. Mouvemen uniformémen accéléré : f() = a² + b+ c (a ). a. Calculer f ( ), V ( ; ), W ( ; ). b. Calculer ϕ ( ; ) e µ ( ; ). Expliquer géomériquemen ces résulas. c. Conclure. 3. Mouvemen de loi oraire f () = 3. a. Calculer f ( ), V ( ; ), W ( ; ). b. Calculer ϕ ( ; ) e µ ( ; ). c. On se place à l insan = ; explicier ϕ ( ; ) e µ ( ; ). ϕ(; ) Démonrer que, pour ou élémen de ], ;, [, on a µ (; ) <. Conclure. 4. Mouvemen de loi oraire f() a. Calculer f ( ), V ( ; ), W ( ; ). b. Calculer ϕ ( ; ), µ ( ; ) e = sur l inervalle ] ; + [. ϕ( ; ). µ ( ; ) c. Déerminer un nombre réel sricemen posiif ε el que, pour ou nombre réel élémen de ϕ( ; ) l inervalle ] ε ; +ε [, on a <. Conclure. µ ( ; ) C. Rôle de l ypoèse de dérivabilié Les deux approximaions du nombre dérivé de f en supposen évidemmen la dérivabilié de f en (passée peu-êre inaperçue!). Soi f () =. La foncion f es-elle dérivable en zéro? Calculer V ( ; ) e W ( ; ). Donner les valeurs exaces de V ( ; 6 ) e de W ( ; 6 ). Conclure. D. La macine dice sa loi De nombreuses calcularices donnen le nombre dérivé d une foncion en un poin, mais elles afficen en fai la valeur de V ( ; ) pour «rès pei». Selon les calcularices, le paramère peu ou doi êre défini par l uilisaeur (voir mode d emploi). IV - Dérivabilié Dérivons en viesse

3 Remplir le ableau ci-conre en indiquan le nombre dérivé de la foncion f en afficé par la calcularice. Ceraines réponses son aberranes. Pourquoi? f () E. Suje d éude À l insan =, on lâce une balle, sans viesse iniiale, d une aueur de 5 m. On suppose que, duran sa cue, la disance f () enre la balle e le sol es définie par f () = 5 + 5, que la balle ouce le sol à l insan = puis rebondi. On suppose alors que, enre le premier e le second rebond (à l insan =,5), la disance enre la balle e le sol es définie par f () = 5 + 7,5,5. En résumé f = + si () 5 5 f( ) = 5 + 7,5,5 si,5. À l insan =, on considère : f ( + ) f( ) f( + ) f() V(; ) = e W(; ) = où < <. a. Calculer V ( ; ) e W ( ; ) en disinguan > e <. b. Donner les valeurs exaces de V ( ; 6 ), V ( ; 6 ), W ( ; 6 ) e W ( ; 6 ). c. Peu-on uiliser ces résulas pour émere des conjecures sur la viesse de la balle à l insan =? f( + ) f(). a. Monrer que adme une limie lorsque end vers zéro par valeurs négaives e lorsque end vers zéro par valeurs posiives. Ces limies son respecivemen appelées nombre dérivé de f à gauce en e nombre dérivé ' de f à droie en. On les noe f ' () e f (). La foncion f es-elle dérivable en? b. Calculer ( f '() ' g + fd ()). Que consae--on? g d 3. Plus généralemen, soi une foncion numérique f de la variable réelle, définie sur un inervalle ouver I, admean, en un poin de l inervalle I, un nombre dérivé à gauce f ( g ) e un nombre dérivé à droie f ( d ). Démonrer que V ( ; ) a pour limie ( f '( ' g ) + fd ( )) lorsque end vers zéro. IV - Dérivabilié Dérivons en viesse 3

4 DOCUMENT PROFESSEUR NOTE TECHNIQUE SUR L UTILISATION DE Géoplan. Créaion de l imagiciel L imagiciel a éé créé avec GÉOPLAN POUR WINDOWS. Carger ou exécuer (suivan configuraion) le ficier Géoplan Voici la lise des objes à consruire e des acions à effecuer pour créer ce imagiciel. Descripion. Afficer le repère de base Roxy. Définir un poin libre m e ses coordonnées (m es la «poignée» qui permera de déplacer le segmen [ab] (voir dessin page suivane) e le poin M de la courbe). L abscisse de m représene la variable du problème. 3. Créer une consane définissan la demilongueur du segmen [ab]. Cee consane représene la variaion maximale de la variable uilisée dans le problème. m poin libre Objes à créer xm abscisse de m (repère Roxy) ym ordonnée de m (repère Roxy) d = 3 4. Créer le segmen [ab]. a poin de coordonnées (xm d, ym) 5. Créer un poin libre sur le segmen [ab] e son symérique par rappor à m. Ce poin es la deuxième «poignée» qui défini le nombre du problème (différence enre l abscisse de ce poin e l abscisse de m). 6. Définir la foncion f (loi oraire du mouvemen), sa dérivée e leurs courbes représenaives. 7. Placer les poins M (insan ), M (insan ), M (insan + ) sur la courbe représenan f. 8. Tracer les droies MM, MM, M M e la angene en M à la courbe. b poin de coordonnées (xm + d, ym) Segmen [ab] m poin libre sur le segmen [ab] xm abscisse de m = xm xm xm = xm m poin de coordonnées (xm, ym) f foncion : g foncion : C courbe définie par Y = f(t), T décrivan [xm d, xm + d] (3 poins, repère Roxy) C courbe définie par Y = g(t), T décrivan [xm d, xm + d] (3 poins, repère Roxy) M poin de coordonnées (xm, f(xm)) M poin de coordonnées (xm, f(xm)) M poin de coordonnées (xm, f(xm)) Droie (MM) ; droie (MM) ; droie (MM) D droie passan par M e de coefficien direceur g(xm) IV - Dérivabilié Dérivons en viesse 4

5 . Uilisaion On peu à ou momen canger de foncion M Le poin M se déplace sur la courbe quand on déplace le poin m. M M O a m m m b Le segmen [ab] se déplace avec le poin m en resan orizonal. On peu déplacer m sur le segmen [ab]. Il enraîne avec lui m, M e M. On peu agir sur (donc sur M) e sur (donc sur M e M ) à l aide des «poignées» m e m. L imagiciel peu faire apparaîre les valeurs de f () e, au coix, celles de V ( ; ) e W ( ; ) ou celles de P ( ; ) e M ( ; ). Le dessin se modifie insananémen lorsqu on défini une nouvelle foncion e sa dérivée. On peu zoomer sur M. IV - Dérivabilié Dérivons en viesse 5

6 NOTE TECHNIQUE SUR L UTILISATION DE Derive Pour calculer rapidemen les valeurs approcées obenues en uilisan l une ou l aure des formules, on peu uiliser un logiciel de calcul formel. Avec DERIVE cela donne : Enrer une foncion «à blanc» pour iniialiser la variable F. F():= Définir le nombre dérivé de la foncion F en. On uilise la définiion du nombre dérivé en un poin. DERIVE n accepan pas f comme nom de F( + e) F( ) foncion, on appelle cee foncion DF : DF(): = lim. On uilise ici e pour évier ou e e confli ulérieur avec l emploi de. DF():=LIM((F(+e)-F())/e,e,) F( + ) F( ) Définir la foncion V : V (, ) = V(,):=(F(+)-F(-))/(*) F( + ) F( ) Définir la foncion W : W (, ) = W(,):=(F(+)-F())/ Définir une foncion R permean d obenir la valeur du nombre dérivé puis les valeurs approcées obenues par V e par W : R(,):=["f' : ",DF(x),"V : ",V(x,),"W : ",W(x,)] Enrer la foncion F : F():=a*+b Formuler la requêe : R(,) Simplifier ce résula (ouce S). On obien alors : ["f' : ",a,"v : ",a,"w : ",a] Enrer une nouvelle foncion F : F():=a*^+b*+c ec. Sur la TI9 on peu formuler les requêes de manière semblable. IV - Dérivabilié Dérivons en viesse 6

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