CINEMATIQUE C2. 1. Vitesse. Vitesse et accélération. MM' t. d s ; T(M S/ %0 ) (S) O y (S) O y. Mécanique Cinématique Cinématique C2

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1 Mécanique Cinémaique Cinémaique C bjecif : Définir, décrire e calculer la iesse ou l accéléraion d un poin d un solide. 1. Viesse CINEMATIQUE C Viesse e accéléraion 1.1. Noion de iesse Soi un solide en mouemen dans un repère. Soi M un poin apparenan au solide, de coordonnées (), () e () à l insan. Soi T(M S/ ) la rajecoire de M. T(M S/ % ) M Sur cee rajecoire, choisissons par conenion : une origine M ; un sens posiif ; une unié de longueur. M n relèe, au insans, 1,, les posiions du poin M apparenan à S dans le repère. Insans 1 Posiion sur T(M S/ ) M M 1 M Abscisse curiligne s = f() s = s 1 = M M 1 s = M M S = arc M M = aleur algébrique, à l insan, de l arc oriené M M 1.. Viesse algébrique moenne Enre 1 e : V( 1 ) mo = s s1 1 s = 1.3. Viesse algébrique insananée Si es rès proche de 1, alors deien infinimen pei. () = d s = s () (dériée de l abscisse curiligne) C_iesse e accéléraion.doc 11/9/ Veceur iesse insananée Le eceur iesse du poin M dans son mouemen par rappor au repère fie, es égal à la dériée ecorielle (par rappor au emps) du eceur posiion, dans le repère. V(M S/R ) = lim Le eceur V(M S/R) es el que : MM' - son origine es confondue aec la posiion de M à l insan ; - il es oujours angen en M à la rajecoire T(M S/ ) ; - il es oriené dans le sens du mouemen ; - sa norme es V(M S/R) = = - unié : mère par seconde, ou m/s. V(M S/R) d s ; T(M S/ ) dm = R M V(M S/R ) M Viesse e accéléraion page 1/5

2 Mécanique Cinémaique Cinémaique C Aure epression possible :. Accéléraion () d Si _M () Alors V(M S/R) d () d.1. Accéléraion angenielle moenne Si le poin M se siue en M 1 à l insan 1 e qu il possède une iesse insananée 1 ; s il passe à l insan en M à la iesse, son accéléraion angenielle moenne enre 1 e au : M a () mo = 1 1 = T(M S/ % ) L accéléraion peu aussi êre noée Γ(M S/ ) ou γ (M S/ )... Accéléraion angenielle insananée A l insan quelconque, elle correspond à la limie du rappor lorsque. d a () = ; or () = d s ; d où a () = d s = s ().3. Veceur accéléraion dv(m/ R) _a(m/ ) = d M = R R Composanes angenielles e normales de l accéléraion : Soien : n un eceur uniaire normal en M à la rajecoire T(M S/ ), oriené ers l inérieur de la courbure ; un eceur uniaire angen en M à T(M S/ ), oriené comme la rajecoire. T(M S/ % ) n M Dans cee base (n,), l accéléraion peu s écrire : aec : _a(m/ ) = a n n + a a n = accéléraion normale = R (R représene le raon de courbure) d a = accéléraion angenielle = Viesse e accéléraion page /5

3 Mécanique Cinémaique Cinémaique C Aure epression possible : Si V(M S/R) d d d Alors a(m S/R) 3. Cas du mouemen de ranslaion reciligne uniforme 3.1. Définiion d d d C es le mouemen le plus simple, sans accéléraion (a=) e aec une iesse consane au cours du emps. Il es noé M.T.R.U. 3.. Equaions de mouemen Soien : : insan iniial, = ; : le déplacemen iniial, à = ; : la iesse iniiale ; : le déplacemen à l insan. rigine du repère Insan Insan Equaions horaires a = = = consane =.(- ) + Graphe de posiion =. + Graphe de iesse = e son les condiions iniiales du mouemen. 4. Cas du mouemen de ranslaion reciligne uniformémen accéléré 4.1. Définiion Il ser de modèle à de nombreuses éudes simplifiées. Pour ces mouemens, accélérés (a>) ou décélérés (a<), l accéléraion rese consane au cours du emps. Il es noé M.T.R.U.V. 4.. Equaions du mouemen Soien : : insan iniial, = ; : le déplacemen iniial, à = ; a : l accéléraion iniiale ; : la iesse iniiale ; : le déplacemen à l insan. Insan Insan Viesse e accéléraion page 3/5

4 Mécanique Cinémaique Cinémaique C Equaions horaires a = a = consane = a.(- ) + = 1.a.(- )² +.(- ) +, e a son les condiions iniiales du mouemen. 5. Mouemen de roaion : généraliés 5.1. Roaion d un solide Graphe de posiion = f() (branche de parabole) Graphe de iesse = + a. M Insan La roaion d un solide es définie par son mouemen angulaire (ous les poins de ce solide on même iesse angulaire). θ = θ 1 + θ θ θ θ 1 M 1 Insan Viesse angulaire, ou iesse de roaion ω Viesse angulaire moenne : Viesse angulaire insananée : ω θ θ1 = 1 mo = ω = dθ = θ' = θ& θ Remarque 1 : 1 our = π radian = 36 Remarque : Si N es la iesse de roaion en our/min, alors : ω = πn Accéléraion angulaire α dω d θ α = = ω' = ω& ou α = = θ'' = & θ Viesse e accéléraion page 4/5

5 Mécanique Cinémaique Cinémaique C 5.4. Viesse d un poin T M V M = ω.m = ω.r Remarque : puisque ω a même aleur pour ous les poins du solide, la iesse linéaire _V(M S/R ) arie linéairemen aec la disance r à l ae de roaion Accéléraion a M = a n + a a = α.r = α.m a n = ω².r = VM r = ω.vm _V N _V P N P _V M r M 6. Cas du mouemen de roaion uniforme 6.1. Définiion L accéléraion angulaire α es nulle. Ce mouemen es noé M.R.U. 6.. Equaions horaires de mouemen Les équaions horaires de mouemen son : α = θ = ω = ω = consane θ = ω.(- ) + θ ω e θ son les condiions iniiales du mouemen. 7. Mouemen de roaion uniformémen arié 7.1. Définiion L accéléraion angulaire α es consane. Ce mouemen es noé M.R.U.V. 7.. Equaions horaires de mouemen Les équaions horaires de mouemen son : α =consane ω = α.(- ) + ω θ = 1.α.(- )² + ω.(- ) + θ ω e θ son les condiions iniiales du mouemen. Remarque : Si α>, il a accéléraion du mouemen. Si α<, il a décéléraion du mouemen (ou freinage). Viesse e accéléraion page 5/5