Correction du devoir n 3

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1 Correction du devoir n 3 Il est fortement conseillé de lire l'ensemble des énoncés avant de commencer. Exercice 1 (8 points) 1. On considère l'inductance représentée ci contre. L'intensité i L (t) a une valeur efficace de 10 A si la tension u(t) a une valeur efficace de 230 V et une fréquence de 50 Hz. a. Calculer l'impédance de l'inductance puis en déduire L. Les valeurs efficaces U et I L de la tension et de l'intensité étant connues, l'impédance est donnée par Z = U I L = =23. Pour une inductance : Z =L soit L= Z = 23 =73,2 mh 2.50 b. Représenter le vecteur associé à i L (t) sur le document réponse n L'intensité est en retard de 90 sur la tension aux bornes de l'inductance : le vecteur associé à la tension étant horizontal et vers la droite, celui associé à l'intensité est vertical et orienté vers le bas. La longueur du vecteur est de 5 cm. 3. On considère le dipôle représenté ci contre. Des mesures ont donné une intensité efficace de i(t) égale à 20 A pour une tension u(t) de valeur efficace 230 V et de fréquence 50 Hz ; le déphasage mesuré entre la tension et l'intensité est égal à 60. a. Écrire l'expression de son impédance complexe en fonction de R, l et de la pulsation w. Les deux dipôles sont en série, l'impédance complexe de l'association est égale à la somme de leurs impédances complexes : Z =R jl. b. Représenter le vecteur associé à i(t) sur le document réponse n 1. L'intensité dans l'association est en retard sur la tension à ses bornes (comportement inductif). Le vecteur associé à l'intensité fait un angle de 60 avec celui associé à la tension est est orienté vers le bas. La longueur du vecteur est de 10 cm. c. Calculer l'impédance du dipôle. Les valeurs efficaces U et I de la tension et de l'intensité étant connues, l'impédance est donnée par Z = U I = =11,5 d. Calculer les parties réelle et imaginaire de l'impédance complexe puis en déduire les valeurs de la résistance R et de l'inductance l. La partie réelle du nombre complexe Z est donnée par Re Z =Z cos Arg Z avec Z =11,5 et Arg Z =60 ce qui donne Re Z =11,5cos 60 =5,75 (Attention : calculatrice en degrés!!!) La partie imaginaire du nombre complexe Z est donnée par Im Z =Z sin Arg Z avec Z =11,5 et Arg Z =60 ce qui donne Im Z =11,5 sin 60 =9,96. La partie réelle de Z =R jl est égale à R et sa partie imaginaire est égale à lw. Correction du devoir n 3 Page 1/7 TS1 ET

2 On a donc : R=Re Z =5,75 l =Im Z =9,96 d'où l= 9,96 = 9,96 =31,7 mh On considère le dipôle représenté ci dessous ; L = 73 mh, l = 32 mh et R = 2,9 W. La fréquence de u(t) est égale à 25 Hz et sa valeur efficace est égale à 115 V. a. Calculer l'intensité efficace de i 1 (t). Représenter le vecteur associé à i 1 (t) sur le document réponse n 2. I 1 = U L = U =10 A b. Calculer l'intensité efficace de i 2 (t) (Conseil : calculer l'impédance de l'association série de R et l). Impédance de l'association série de R et l : Z = R 2 l 2 U soit I 2 = R 2 l 2= 115 2, =19,8 A 2 c. Calculer le déphasage entre i 2 (t) et u(t) (Conseil : ce déphasage est égal à l'argument de l'impédance complexe de l'association série de R et l). Le cosinus de l'argument de l'impédance complexe est donné par : R cos = R 2 l = 2,9 2 2, =0,499 ce qui correspond à un angle de 60. d. Représenter le vecteur associé à i 2 (t) sur le document réponse n 2. Ce vecteur a une longueur de 9,9 cm et fait un angle de 60 avec le vecteur associé à la tension (comportement inductif). e. Écrire la relation entre i(t), i 1 (t) et i 2 (t). Placer le vecteur associé à i(t) sur le document réponse n 2. En déduire l'intensité efficace du courant i(t). D'après la loi des nœuds : i t =i 1 t i 2 t soit pour les nombres complexes associés I=I 1 I 2 (Attention : il est interdit d'additionner les valeurs efficaces!!!). Sur le diagramme, on mesure la longueur du vecteur associé à i(t) soit 14,5 cm. Cela correspond à une intensité efficace de 29 A. Exercice 2 (3,5 points) On considère le dispositif ci contre dans lequel le champ magnétique est uniforme : le barreau mobile (portion verticale en trait épais) initialement dans la position 1 (instant t 1 ) se déplace à la vitesse constante v pour aller à la position 2 (instant t 2 ). 1. Choisir un sens de parcours du contour délimitant la surface à l'instant t 1 et déterminer le sens du vecteur surface puis exprimer son module en fonction de L et L 1. Le choix du sens de parcours est arbitraire : voir ci dessus. Le sens du vecteur surface est donné par la règle de la main droite : avec le choix précédent, le vecteur surface «sort» de la feuille. Module du vecteur surface : S=L.L 1 e(t) Correction du devoir n 3 Page 2/7 TS1 ET

3 2. Calcul de la fém entre les deux rails. a. Exprimer le flux F(t 1 ) à travers la surface formée par la résistance, les deux conducteurs horizontaux et le barreau mobile à l instant t 1 en fonction de B, L 1 et L. Avec l'orientation choisie, l'angle entre les vecteurs champ magnétique et surface est égal à 0 on a donc un flux t 1 = B. S 1 =B.S 1.cos B. S 1 =B.S 1 =B. L. L 1 Remarque : en choisissant l'autre sens, on aurait un angle égal à 180 soit t 1 = B. S 1 =B. L. L 1 b. Exprimer ce même flux à l instant t 2 en fonction de B, L 2 et L, il est noté F(t 2 ). Avec l'orientation choisie, l'angle entre les vecteurs champ magnétique et surface est égal à 0 on a donc un flux t 2 =B.S 2 =B.L.L 2 c. Donner l'expression littérale de la fém ainsi créée en fonction de B, L 2, L 1, t 1, t 2 et L et indiquer son sens sur le schéma. La fém est donnée par la relation e t = d t, comme la vitesse de déplacement est constante, on peut aussi écrire e t = t = t t 2 1. En remplaçant les flux par leurs expressions, on t t 2 t 1 obtient e t = B.L.L 2 B.L.L 1 t 2 t 1 = B.L L 2 L 1 t 2 t 1. Les sens de la fém est choisi pour que le dispositif «rail et barreau» soit orienté avec la convention générateur si le courant est orienté dans le même sens que le contour : voir le schéma ci dessus. d. Exprimer la fém induite en fonction de la vitesse v de déplacement du barreau. Puisque v= L L 2 1 t 2 t 1 e t = B.Lv (distance parcourue par le barreau divisé par la durée du mouvement) alors Exercice 3 (3,5 points) 1. Un aimant droit traverse une bobine reliée à l'entrée d'un oscilloscope. Le dispositif est représenté cicontre. Le pôle nord de l'aimant est en noir. a. Rappeler la loi de Lenz. Le courant induit, ou la fém induite, s'oppose par ses effets à la cause qui lui a donné naissance. b. Déterminer en utilisant la loi de Lenz le sens de déviation (vers le haut ou vers le bas) de la trace de l'oscilloscope lorsque l'aimant s'éloigne de la bobine après l'avoir traversé (la réponse doit être clairement justifiée). Cause : le pôle sud de l'aimant s'éloigne de la partie inférieure de la bobine. Effet : le courant induit engendre un champ magnétique tel qu'il présente un pôle nord sur la partie inférieure de la bobine (repéré par N i sur le graphe). Le vecteur correspondant au champ magnétique créé par le courant induit est orienté vers le bas (sens sud nord de l'aiguille aimantée) : en vert et à droite sur le graphe. La règle de la main droite donne le sens du courant induit : en vert sur le graphe. La fém est orientée pour que la bobine soit orientée avec la convention générateur. L'oscilloscope est branché pour visualiser la fém et sa déviation est donc vers le haut. e(t) N i Correction du devoir n 3 Page 3/7 TS1 ET

4 Exercice 4 (2,5 points) Le flux à travers une spire d'une bobine comportant 30 spires est représenté ci dessous. 1. Calculer la valeur maximale du flux à travers la bobine. Le flux à travers une spire a une valeur maximale de 40 mwb et il y a 30 spires : le flux à travers la bobine a une valeur maximale de 1200 mwb. 2. Déterminer sur chaque intervalle de temps la fém aux bornes de la bobine. De 0 à 3,33 ms : le flux augmente de 0 à 1200 mwb d t soit une dérivée = ,3 =360V. Comme e t = d t alors e t = 360 V De 3,33 ms à 6,66ms et de 13,33 ms à 16,66 ms, le flux est constant, sa dérivée est donc nulle et la fém aussi. d t De 6,66 ms à 13,33 ms, le flux passe de 1200 mwb à 1200 mwb soit = ,6 = 360V. Comme e t = d t alors e t =360 V De 16,66 ms à 20 ms, le flux passe de 1200 mwb à 0 mwb soit une dérivée Comme e t = d t alors e t = 360 V 3. Représenter l'évolution de la fém aux bornes de la bobine en fonction du temps. La représentation correspond à la tension étudiée à l'exercice 5. d t = ,3 =360V. Exercice 5 (2,5 points) On considère la tension u(t) représentée ci dessous : 1. Exprimer sa valeur efficace en fonction de T et U. Calculer cette valeur pour U = 360 V. La période du signal est égale à 20 ms. On élève le signal u(t) au carré : le signal u 2 t T T 2T est égal à U 2 de 0 à ; de à T et de à T et il est nul sur les autres 6 intervalles : Valeur moyenne de u 2 t : U 2 eff = 1 T U 2. [ T 6 2T 3 T 3 T 5T 6 ]= 1 T U 2. 4 T 6 = 2 3 U 2 Racine carrée du résultat précédent : 2. Quelle est la fréquence du fondamental de u(t)? U eff= 2 3 U= =294 V La fréquence du fondamental est égale à celle du signal soit ici 50 Hz. Correction du devoir n 3 Page 4/7 TS1 ET

5 3. Quelle est la fréquence de l'harmonique de rang trois de u(t)? L'harmonique de rang 3 à une fréquence trois fois plus élevée que celle du fondamental soit 150 Hz. 4. Combien vaut la composante continue de u(t)? Elle est égale à la valeur moyenne du signal qui vaut zéro ici. Correction du devoir n 3 Page 5/7 TS1 ET

6 Échelle : 1 cm pour 2 A Document réponse n 1 Correction du devoir n 3 Page 6/7 TS1 ET

7 Échelle : 1 cm pour 2 A Document réponse n 2 Correction du devoir n 3 Page 7/7 TS1 ET

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