x i 0 1 P(X = x i ) 1 - p p

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1 Première E Cours Loi binomiale et alications I Loi de Bernoulli et loi binomiale Loi de Bernoulli oit une exérience aléatoire résentant deux issues : l une ue l on aelle «succès» et l autre aelée «échec». On note la robabilité de succès et celle d échec, avec = 1. Cette exérience aléatoire s aelle une éreuve de Bernoulli de aramètre. Définition La variable aléatoire ui rend la valeur 1 en cas de succès et 0 en cas d échec est aelée variable aléatoire de Bernoulli. La loi de robabilité de cette variable aléatoire est aelée loi de Bernoulli de aramètre. x i 0 1 P(X = x i ) 1 - Proriété oit X suit une loi de Bernoulli de aramètre, alors E(X) =. En effet, E(X) = 0 (1 ) + 1 =. chéma de Bernoulli et loi binomiale Définitions L exérience aléatoire consistant à rééter n fois de manière indéendante une éreuve de Bernoulli de aramètre s aelle un schéma de Bernoulli de aramètres n et. La loi de robabilité de la variable aléatoire X égale au nombre de succès au cours de ces n éreuves se nomme la loi binomiale de aramètres n et. On la note (n,). Exemle : On lance un dé éuilibré 100 fois de suite et on s intéresse au nombre X de fois où l on obtient la face 1. La variable aléatoire X ui comte le nombre de succès (c est-à-dire le nombre de fois ue l on obtient la face 1) suit la loi binomiale de aramètres n = 100 et = 1 6 notée 1 100, 6. Loi binomiale our n = et n = 3 On eut modéliser la réétition de ces exériences ar un arbre ondéré. Cas n = P(X = 0) = P( )= = ² P(X = 1) = P( ) + P( ) = + = P(X = ) = P() = ² Loi de robabilité de B(,) avec = 1 : x i 0 1 P(X = x i ) ² ² 1

2 Première E Cours Loi binomiale et alications Cas n = 3 P(X = 0) = P( )= = 3 P(X = 1) = P( ) + P( ) + P( ) = + + = 3² P(X = ) = P( ) + P( ) + P( ) = + + = 3² P(X = 3) = P() = = 3 Loi de robabilité de (3,) avec = 1 : x i P(X = x i ) 3 3² 3² 3 II Coefficients binomiaux et loi binomiale Coefficients binomiaux Lorsue X suit une loi binomiale, our calculer la robabilité d avoir k succès, on note toutes les issues formées de k succès et de n k échecs. Ces issues ont toutes la même robabilité k n-k. Il est ensuite nécessaire de connaître le nombre de chemins de l arbre formé de k succès exactement (et donc de n k échecs). Définition oit n un entier naturel non nul et k un entier comris entre 0 et n. Le coefficient binomial n k est le nombre de chemins réalisant k succès our n réétitions dans l arbre d un schéma de Bernoulli. Exemle : =, car our deux réétitions, il y a deux chemins avec un succès, ceux associés à 1 et à. Vocabulaire : On aelle aussi n k le nombre de combinaisons de k éléments armi n. Calcul ratiue des coefficients binomiaux Les calculatrices et les tableurs ermettent de calculer les coefficients binomiaux : Touche OPTN uis choisir uis PROB uis ncr Casio Texas Tableur Touche MATH, uis choisir PRB, uis Combinaison Fonction COMBIN() yntaxe n ncr k n Combinaison k =COMBIN(n ;k)

3 Première E Formule générale de la loi binomiale Proriété Cours Loi binomiale et alications i la variable aléatoire X suit la loi binomiale de aramètres n et, alors our tout entier k comris entre 0 et n : P(X = k) = n k k n-k, où = 1. Calcul ratiue de P(X = k) et P(X k) Casio Texas Tableur Touche OPTN uis choisir TAT uis DIT uis BINM uis Bd ou Bcd Menu DITR, uis choisir binomfd ou binomfré Fonction LOI.BINOMIALE() P(X = k) BinomialPD(k,n,) BinomFd(n,,k) =LOI.BINOMIALE(k ;n ; ;FAUX) P(X k) BinomialCD(k,n,) BinomFRé(n,,k) =LOI.BINOMIALE(k ;n ; ;VRAI) Exemle : oit X une variable aléatoire ui suit la loi binomiale de aramètres n = 8 et = 0,4. Pour trouver P(X = 3), on utilise la calculatrice en remlaçant n ar 8, k ar 3 et ar 0,4. On trouve environ 0,79 (Avec une calculatrice TI : BinomFd(8,0.4,3)) Pour trouver P(X 3), avec une calculatrice TI : BinomFRé(8,0.4,3) : On trouve environ 0,594. III Rerésentation grahiue de la loi binomiale et esérance Rerésentation grahiue Exemle de rerésentation our n = 8 et trois valeurs différentes de. = 0, = 0,5 = 0,8 Esérance mathématiue Proriété L esérance mathématiue de la loi binomiale de aramètres n et est n. 3

4 Première E IV Intervalle de fluctuation d une fréuence Proriété (vue en seconde) Cours Loi binomiale et alications i est la roortion d un caractère dans une oulation (avec 0, 0,8), alors our un échantillon de taille n (n 5), la fréuence f du caractère dans l échantillon aartient à l intervalle 1 n, + 1 n avec une robabilité d au moins 95%. On eut améliorer ce résultat avec la loi binomiale. Etude d un exemle Des études ont montré ue la roortion des français ui font du sort au moins une fois ar semaine est de 43%. On veut déterminer un intervalle de fluctuation de la fréuence f des ersonnes faisant du sort au moins une fois ar semaine dans les échantillons de taille 100. On définit la variable aléatoire X égale au nombre de ersonnes faisant du sort au moins une fois ar semaine. On eut suoser ue X suit une loi binomiale de aramètres 100 et 0,43. X renant des valeurs comrises entre 0 et 100, on va artager l intervalle [0 ;100] en trois arties : A = [0 ;a 1] avec a entier B = [a ;b] avec b entier C = [b + 1 ; 100] On détermine ensuite a et b de façon ue P(X A) 0,05 et P(X C) 0,05. On aura alors P(X B) = P(a X b) = 1 P(X A) P(X C) 1 0,05 0,05 0,95. Zone d accetation P(a X b) 95% Zone de rejet P(X < a),5% Zone de rejet P(X > b),5% Le lus etit entier a tel ue P(X < a) 0,05 est 33. P(X > b) 0,05 1 P(X b) 0,05 P(X b) 1-0,05 P(X b) 0,975 Le lus etit entier b tel ue P(X b) 0,975 est 53. L intervalle [a ;b] cherché est donc [33 ;53]. La fréuence f aartient donc à l intervalle [0,33 ;0,53] avec une robabilité au moins égale à 0,95. 4

5 Première E Intervalle de fluctuation Proriété Cours Loi binomiale et alications L intervalle de fluctuation au coefficient 95% de la fréuence corresondant à la réalisation, sur un échantillon aléatoire de taille n, d une variable aléatoire X suivant une loi binomiale, est a n ; b, où a est le lus etit entier tel ue P(X a) 0,05 et b le lus etit entier tel n ue P(X b) 0,975. V Prise de décision sur un échantillon L intervalle de fluctuation à 95% est un intervalle ui contient au moins 95% des fréuences observées sans les échantillons de taille n. Ce ui signifie u il y a un risue de 5% our cette fréuence de ne as se trouver dans l intervalle. Autres seuils ossibles On eut utiliser un autre coefficient ue 95%. Le lus fréuemment utilisé arès 95% est 99%. i on choisit un seuil de risue α, c est-à-dire un coefficient de confiance 1 - α. α 1 - α α Ainsi a et b sont les lus etits entiers tels ue P(X a) α et P(X b) 1 - α. Exloitation d un intervalle de fluctuation La détermination d un intervalle de fluctuation ermet de rendre une décision lorsue l on fait une hyothèse sur une roortion dans une oulation. i la fréuence observée dans l échantillon n aartient à l intervalle de fluctuation à 95%, on rejettera l hyothèse faite sur avec un risue de se tromer de 5%. f aartient à I : on accete l hyothèse faite sur f 1 f f f 1 n aartient as à I : on rejette l hyothèse faite sur. f n aartient as à I : on rejette l hyothèse faite sur. Proriété (vu en seconde) On considère une oulation dans lauelle on suose ue la roortion d un caractère est. Arès exérience, on observe f comme fréuence de ce caractère dans un échantillon de taille n. oit l hyothèse : «La roortion de ce caractère dans la oulation est». i I est l intervalle de fluctuation de la fréuence à 95% dans les échantillons de taille n, alors : i f I : on rejette cette hyothèse au seuil de risue 5%. i f I : on ne rejette as cette hyothèse au seuil de risue 5%. 5