LOI NORMALE ET LOIS DERIVEES

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1 Prcpes et Méthodes de la Bostatstque Chaptre 5 LOI NORMALE ET LOIS DERIVEES A-LA LOI NORMALE Présetato La dstrbuto ormale, dte ecore de Laplace-Gauss, est pour des rasos qu apparaîtrot plus lo, la plus mportate des dstrbutos de probablté. C est ue dstrbuto défe sur R, dot la desté déped des paramètres μ et σ, qu sot sa moyee et sa varace ; l expresso de cette desté, doée à ttre de smple curosté, est la suvate : f (x, μ,σ 1 ) = σ π exp ( x μ ) σ (ous auros jamas beso das la sute de cette expresso, sauf das le chaptre sur le maxmum de vrasemblace). Le graphe de la desté de la lo ormale de moyee ulle et d écart-type 1, dte lo ormale cetrée rédute ou stadard, f(x ; 0 ; 1) est représeté c-dessous ; c est la fameuse courbe e cloche ; de faço géérale, la courbe est symétrque autour de la moyee μ et d autat plus étalée vers les basses et hautes valeurs de x que la varace σ est plus grade. Desté de la lo ormale 0,45 0,4 0,35 0,3 0,5 0, 0,15 0,1 0, x Lo ormale et los dérvées 0

2 Prcpes et Méthodes de la Bostatstque U premer résultat cocerat la dstrbuto ormale est que s X est N(μ;σ ) (ce symbole se compred de lu-même), la varable Y=aX+b, où a et b sot des ombres est auss ormale, de moyee aμ+b et de varace a σ. Ce résultat, toute focto léare d ue varable ormale est elle-même ormale, est très utle, otammet pour les calculs, car l motre qu o peut toujours se rameer à la varable ormale cetrée rédute. E effet, sot X=N(μ ;σ ) et cherchos la probablté que X sot féreure ou égale à u ombre doé x 0 (c est, rappelos-le, la focto de répartto de X). Pr{X x 0 }= Pr{ X μ x 0 μ X μ }. Mas Y= a pour moyee 0 et pour varace 1, σ σ σ c est ue ormale cetrée rédute ; la probablté cherchée est doc Pr{Y<y 0 } où Y=N(0,1) et y 0 = x μ 0. σ Calculs umérques sur les los ormales O peut les effectuer sot à partr de tables umérques, sot, et de faço beaucoup plus commode, à partr de logcels. O trouvera deux tables e aexe : la premère fat correspodre la valeur u et la probablté π telles que Pr{X<u}=π. O y lt par exemple que Pr{X<1.96}=0.975 = 97.5 %, ou Pr{X<1}=84.13%, etc. O a be sûr, Pr{X> u}=1-π=α; o a coutume de désger par le symbole z α la valeur telle que Pr{X>z α }=α. As, z 0.05 =1.645, z 0.05 =1.96, etc A cause de la symétre de la desté de X autour de 0, la table e cosdère que des z postfs. Supposos que ous cherchos le z correspodat à α=80%. De Pr{X>z 0.8 }=0.8, o tre Pr{X<z 0.8 }=0. et o vot que z 0.8 =-z 0. = De faço géérale, z α =-z 1 α. La deuxème table, qu se dédut de la précédete, assoce les valeurs ε et α, telles que Pr{ X > ε α }= α. Par exemple ε 0.05 =1.96. ε α est toujours postf. O vérfe mmédatemet que, pour α 0.5, z α =ε α. As s X est ormale de moyee μ et de varace σ, la probablté qu elle tombe das l tervalle [μ-1.96σ, μ+1.96σ] est Très souvet, o remplace 1.96 par la valeur approchée, et o a alors la règle des écarts-types : ue varable N(μ,σ ) a ue probablté de 95% de tomber das l tervalle μ ± σ. Pour ce qu est des logcels, l exste das EXCEL pluseurs foctos permettat d effectuer tous les calculs portat sur les los ormales. La covergece vers la lo ormale : le théorème lmte cetral C est sas doute le théorème le plus étoat et le plus utlsé du calcul des probabltés. Sot X 1, X,, X des varables aléatores dépedates de même lo, de moyee μ et de varace σ. Comme la moyee M des X M = X X 1 a pour moyee μ et pour varace σ M μ, la varable a ue moyee ulle et ue varace uté. Le théorème σ Lo ormale et los dérvées 1

3 Prcpes et Méthodes de la Bostatstque lmte cetral dt que quelle que sot la dstrbuto des X, la varable M μ approchée, pour suffsammet grad, par ue varable ormale. E d autres termes, s est grad la moyee (ou la somme) de varables aléatores dépedates de même lo quelcoque a ue dstrbuto ormale. σ peut être O compred dès lors l mportace aocée de cette dstrbuto. O travalle souvet sur des moyees (ou des quattés qu s y ramèet) et s est suffsammet grad o va pouvor utlser la dstrbuto ormale pour trater ces quattés. As, la moyee de varables aléatores dépedates, ayat la même dstrbuto, a ue probablté.95 de tomber das l tervalle μ ± 1.96 σ, quelle que sot la dstrbuto des X. Ue applcato Sot p la proporto de sujets d ue populato qu possèdet u certa caractère. U échatllo de talle est extrat de cette populato, sur lequel 0 possèdet le caractère, codusat à u pourcetage observé p 0. 0 est ue varable aléatore bomale, p 0 est la moyee de varables de Beroull. Le théorème cetral lmte dt que s est grad, la varable p 0 p est N(0,1) c est-à-dre que, par exemple, p 0 a ue probablté 95% de tomber pq das l tervalle p ± pq. Cette approxmato de la lo bomale par la lo ormale smplfe beaucoup les calculs umérques. O vot be que ce est qu ue approxmato : p 0 e peut predre qu ue sute dscotue de valeurs 0, 1,,..., 1, 1, alors qu ue varable ormale est cotue. Toutefos, le ombre de valeurs possbles de p 0 augmete avec et devet presque cotu. Codtos d utlsato La vtesse de covergece de la dstrbuto de M vers la dstrbuto ormale déped be évdemmet de la dstrbuto des X et de sa «dstace» à la ormalté. S les X sot ormaux, alors le théorème est vra pour =1. Il est pas possble de doer des règles uverselles d utlsato. S les X sot des Beroull, dstrbuto très élogée de la dstrbuto ormale, et s o se cotete d ue approxmato modérée (mas suffsate das la plupart des applcatos), o peut utlser l approxmato ormale s les produts p et q sot tous deux égaux ou supéreurs à 5. Pour des dstrbutos cotues, telles que celles recotrées e médece et e bologe, o admet qu u effectf de =30, sufft pour assurer la ormalté de la dstrbuto de la moyee. Lo ormale et los dérvées

4 Prcpes et Méthodes de la Bostatstque Les los «aturelles» Il est souvet dt que ombre de dstrbutos aturelles (talle des sujets d ue populato homogèe, varables bologques dverses) sot ormales ou proches de la ormalté. O explque ce fat par le théorème lmte cetral (et ses extesos) : s o admet qu u phéomèe est la résultate d u très grad ombre d effets aléatores dépedats agssat addtvemet, et dot aucu a u effet prépodérat, alors la résultate dot être à peu près ormale. De même, s l o admet que les effets e sot pas addtfs, mas multplcatfs, c est le logarthme de l effet mesuré X qu dot avor ue dstrbuto à peu près ormale. X a alors ue dstrbuto dte logormale, qu se caractérse par sa dssymétre. Cette dstrbuto se recotre égalemet fréquemmet e médece et bologe. Toutefos pour être tout à fat complet, o dot dre que la ormalté ou la logormalté e dovet pas être cosdérées comme la règle géérale ; o recotre de ombreuses exceptos. B- DISTRIBUTION DU χ Défto Sot X ue varable aléatore dstrbuée suvat ue lo ormale cetrée rédute (μ=0, σ =1). So carré Y=X est ue varable aléatore dot la lo s appelle dstrbuto du χ à 1 degré de lberté (e abrégé d.d.l.). Sot mateat varables ormales cetrées rédutes dépedates X 1, X,, X. La varable aléatore Z= X 1 + X X sut ue lo qu s appelle dstrbuto du χ à d.d.l. Cette lo est tabulée. O lt par exemple das la table que Pr{χ } = 0.0 ou que Pr{χ } = 0.05, et o pourrat trouver que Pr{4.878 χ } = = 0.8. Le lecteur pourra vérfer que les valeurs correspodat à d.d.l.=1 sot les carrés des valeurs lues das la table ormale (ε) pour les mêmes probabltés : as pour α=0.05, 3.84=1.96 ; cec correspod évdemmet à la défto du χ à 1 degré de lberté. De ombreux logcels, Excel e partculer, permettet le calcul de la focto de répartto et de la focto verse de la dstrbuto du χ. Proprétés 1) O a le théorème d addtvté suvat, évdet à partr de la défto : s Z 1 et Z suvet dépedammet des los du χ à 1 et d.d.l., leur somme Z=Z 1 +Z sut ue lo du χ à 1 + d.d.l. Lo ormale et los dérvées 3

5 Prcpes et Méthodes de la Bostatstque ) Quelle que sot la varable aléatore X, o a par défto même de la varace E(X )=var(x)+{e(x)} ; s X est ormale cetrée rédute, E(X)=0, var(x)=1, doc E(X )=1. Comme par défto, X sut ue lo de χ à 1 d.d.l., o e dédut que l espérace d u χ à 1 d.d.l. est 1. Il e résulte que l espérace d u χ à d.d.l. est. O peut motrer que sa varace est. 3) U χ à d.d.l. état la somme de varables aléatores dépedates, s est grad, l est, e vertu du théorème cetral lmte de covergece vers la lo ormale, vos d ue varable ormale de moyee et de varace. O peut vérfer ce fat sur la table du χ ; as s =30, E(χ )=30 et var(χ )=60 ; la valeur a telle que Pr{χ >a}=0.05 s obtet, s o fat l approxmato par la lo ormale, par a= = 4.74, valeur vose de la valeur exacte doée par la table. L approxmato est doc très boe. Ue autre, melleure, est dquée au bas de la table : χ est dstrbuée ormalemet avec ue moyee 1. O pourra vérfer que la valeur foure par cette approxmato est très près de Cepedat ces approxmatos ot plus qu u térêt hstorque, les logcels permettat l obteto mmédate de résultats exacts. 4) S X 1, X,., X sot des N(μ ;σ ) dépedates, la varable aléatore X V = μ est u χ à d.d.l. ; c est évdet, pusque chacue des varables X μ est σ σ ormale cetrée rédute. 5) Cosdéros mateat deux varables X 1 et X dépedates, ormales de moyee μ et de varace σ et défssos la varable aléatore M, moyee arthmétque de X 1 et X, M= X 1 + X. Cherchos la lo de la varable aléatore V = X M 1 + X M. σ σ Comme X 1 M = X 1 X et X M = X X 1, o trouve que V = X 1 X. Mas X 1 -X σ est ue ormale de moyee ulle et de varace σ. Alors, X X 1 est ue ormale cetrée σ rédute et V sut u χ à 1 d.d.l. Ce résultat peut se gééralser : s X 1, X,., X sot des N(μ ;σ ) dépedates, et s M est la varable moyee arthmétque M= X 1 + X X, X la varable aléatore V = M a ue dstrbuto du χ à -1 d.d.l. La démostrato σ est pas mmédate, car s les varables X -M sot be ormales de moyee ulle, leur varace est pas 1 et elles e sot pas dépedates. Lo ormale et los dérvées 4

6 Prcpes et Méthodes de la Bostatstque C- LA DISTRIBUTION t DE STUDENT Défto Sot X ue varable ormale cetrée rédute et Y ue varable, dépedate de X, qu sut ue dstrbuto du χ à d.d.l. La dstrbuto de la varable aléatore T = X Y est appelée dstrbuto de t à d.d.l. La raso de l troducto de cette varable aléatore plutôt bzarre, apparaîtra plus lo. Cette dstrbuto est symétrque autour de 0. Elle est tabulée : o lt par exemple das la table que Pr{ t 6 > 1.943} = 0.10, Pr{ t4 >.776} = O remarquera que quad crot, la dstrbuto se rapproche de la dstrbuto ormale stadard (pour f, les valeurs sot celles de la table de la lo ormale). Be etedu, les logcels permettet les calculs sur la dstrbuto de t. Deux résultats 1) S X 1, X,, X sot varables ormales de moyee μ et de varace σ et dépedates, les varables aléatores M = et ( X M) sot dépedates. Nous ( X M) admettros ce résultat. M et S = = Vσ sot doc évdemmet dépedats. 1 1 ) M est ormale de moyee μ et de varace σ ; M μ σ est doc cetrée rédute ; d autre part V=( 1) S σ sut ue lo du χ à -1 d.d.l. et est dépedate de M. D après la M μ σ défto même de la dstrbuto du t de Studet, le rapport = M μ sut ue ( 1) S S ( 1) σ lo de t à -1 degrés de lberté. Le ses cocret de ce résultat apparaîtra u peu plus lo. X Lo ormale et los dérvées 5

7 Prcpes et Méthodes de la Bostatstque A SAVOIR Lo ormale : α z α α α Règle des écarts-types : S X est N(μ;σ ), X a ue probablté de 95 % d être comprs etre μ ± σ. Théorème cetral lmte : M = sot la dstrbuto des X. V = S S = ( X M) est u χ à -1 degrés de lberté. σ ( X M) 1, M μ S X ε α est N(μ; σ ) pour suffsammet grad, quelle que est u t de Studet à -1 degrés de lberté. Lo ormale et los dérvées 6

8 Prcpes et Méthodes de la Bostatstque Aexe - chaptre 5 Lo ormale et los dérvées 7

9 Prcpes et Méthodes de la Bostatstque Lo ormale et los dérvées 8

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