Matrice et vocabulaire associé

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1 I Matrice et vocabulaire associé I1 Définitions Définition 1 Deux entiers naturels m et n étant donnés non nuls, on appelle matrice de format m, n tout tableau rectangulaire ayant m n éléments, disposés sur m lignes et n colonnes Les éléments étant des nombres réels La matrice A = a 11 a 12 a 1n a i1 a i2 a in a m1 a m2 a mn peut aussi être notée A = a ij, la notation a ij désigne le coefficient situé à l intersection de la ligne i et la colonne j C est le coefficient générique de la matrice A Remarque 1 : Dans tout ce qui suit, on notera M mn R l ensemble des matrices à m lignes et n colonnes dont les coefficients sont des réels Lorsque m = n, on dit que la matrice est carrée d ordre n ou qu elle appartient à M n R Les coefficients a 11, a 22,, a nn sont les coefficients de la diagonale principale de la matrice La matrice identité d ordre n est la matrice carrée d ordre n dont tous les coefficients sont nuls à l exception de ceux situés sur la diagonale principale de la matrice qui sont égaux à 1 Elle est notée I n I n = Deux matrices A et B sont égales si et seulement si pour tout indice de ligne i et tout indice de colonne j, a ij = b ij L égalité entre deux matrices ne peut intervenir que si elles sont de même taille Une matrice est dite matrice nulle que si tous ces coefficients sont égaux à zéro Deux matrices nulles qui n ont pas la même taille ne sont pas égales Si A M m1 R alors A est une Si A M 1n R alors A est une I2 Opérations sur les matrices 1 Addition Définition 2 Soit les matrices A, B et C appartenant à M mn R elles sont de même taille En ajoutant les coefficients de A et de B en même «position» on obtient la matrice C On écrit C = A + B, ce qui signifie que i, j entiers tels que 1 i m et 1 j n, c ij = a ij + b ij Exemple 1 2 Multiplication d une matrice par un scalaire Définition 3 Soit A M mn R et λ un réel En multipliant chaque coefficient de A par λ, on obtient la matrice λa On note λa = λa ij Exemple 2 My Maths Space 1 sur 5

2 Remarque 2 On peut désormais définir la différence de deux matrices de même taille : A B = A + 1B 3 Produit de matrices Très Important : Le produit AB de deux matrices A et B n existe que si le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B A B C = AB, C M 23 R M 23 R M 23 R M 32 R M 3 R M 3 R M 3 R M 2 R M 1n R M n1 R M n1 R M 1n R M mn R M np R M n R M n R a Multiplication d une matrice ligne par une matrice colonne Définition 4 Soit A M 1n R et B M n1 R on appelle produit AB le nombre obtenu de la façon suivante : b 11 a11 a 12 a 1n b 21 = a 11 b 11 + a 12 b a 1n b n1 b n1 Remarque 3 Le produit BA existe-t-il? b Multiplication d une matrice de M mn R par une matrice colonne de M n1 R Définition 5 Soit A M mn R et B M n1 R On appelle produit AB la matrice colonne M n1 R obtenue en multipliant chaque ligne de A par la matrice colonne B Écrire le produit : Exemple 3 Une association de consommateurs compare les prix de cinq produits p 1, p 2, p 3, p 4 et p 5 distincts dans trois magasins différents Les observations fournissent les données suivantes : Prix des produits à l unité en euros Produit P 1 Produit P 2 Produit P 3 Produit P 4 Produit P 5 Magasin Magasin 2 1,1 4,7 1,8 3,1 3,8 Magasin 3 0,9 5,1 1,9 3,2 4 Pour comparer la dépense d une personne selon les magasins, on considère un panier indiquant pour chaque produit la quantité achetée En utilisant le produit matriciel, donner le prix du panier 2,1,3,3,2 dans les trois magasins My Maths Space 2 sur 5

3 c Cas général Définition 6 Soit A M mn R et B M np R On appelle produit AB la matrice de M mp R obtenue en multipliant chaque ligne de A par chaque colonne de B Plus précisément, si l on note C le produit AB le coefficient c ij est obtenu en multipliant la i ème ligne de A par la j ème colonne de B Pour information, le coefficient c ij s écrit précisément de la manière suivante : n c ij = a ik b kj Exemple 4 Multiplier A = et B = k= Disposition pratique : II Matrices carrées d ordre n : ensemble M n R II1 Inverse d une matrice 1 Généralités sur les matrices carrées Il est important de rappeler que le produit de deux matrices carrées n est pas commutatif Il existe des couples de matrices telles que AB BA = et = Les produits de deux matrices distinctes par une même matrice peuvent donner deux matrices identiques = et = Dans M n R, la multiplication est associative : Pour toutes matrices A, B et C de M n R, ABC = ABC La multiplication est distributive à gauche et à droite par raport à l addition : Pour toutes matrices A, B et C de M n R, AB + C = AB + AC et B + CA = BA + CA La double-distributivité est possible en respectant l ordre d écriture des matrices : A + BC + D = AC + AD + BC + BD D après ce qui précède, s il existe des matrices distinctes A, B et C dans M n R telles que : AB = AC AB AC = 0 n AB C = 0 n La dernière relation signifie qu il existe des matrices non nulles dont le produit donne 0 On les appelle diviseurs de 0 Pour toute matrice A carrée d ordre n, AI n = I n A = A Pour tout n N, A n = A A A et A }{{} 0 = I n n fois Attention A + B 2 n est pas égal à A 2 + 2AB + B 2 My Maths Space 3 sur 5

4 2 Définition de l inverse d une matrice Définition 7 Soit A M n R S il existe une matrice B de M n R telle que AB = BA = I n, alors on dit que A est inversible et on note la matrice B de la façon suivante B = A 1 On a donc AA 1 = A 1 A = I n Remarque 4 Une matrice A de M n R, vérifiant AB = AC avec B C n est pas inversible En effet, si elle l était, la multiplication à gauche par A 1 donnerait B = C EXERCICE 1 Montrer que les matrices A et B sont inverses l une de l autre : A = et B = EXERCICE 2 Soit A = Cas des matrices carrées d ordre 2 Calculer A 2, A 3 et A 4 En déduire A 1 Définition 8 et propriété : a11 a Soit A M 2 R, A = 12 a 21 a 22 La matrice A est inversible si, et seulement si, a 11 a 22 a 21 a 12 0 Le réel a 11 a 22 a 21 a 12 est appelé déterminant de la matrice A et noté deta Si deta 0, A 1 = deta a 21 a 11 1 a22 a 12 II2 Exemple 5 Calculer A 1 à partir de A de l exercice 2 Application à la résolution de systèmes On a vu qu il est possible d écrire un système sous forme matricielle : Propriété 1 Un système linéaire à n équations et n inconnues x 1, x 2,, x n : a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = y 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = y 2 a n1 x 1 + a n2 x a nn x n = y n peut s écrire sous la forme matricielle AX = Y Y = y i sont des matrices colonnes de M n1 R où A = a ij est une matrice carrée d ordre n, X = x i et Si A est inversible, le système a alors une unique solution donnée par X = A 1 Y Démonstration : My Maths Space 4 sur 5

5 2x 1 + 4x 2 x 3 = 1 EXERCICE 3 Soit S : 3x 1 2x 2 + x 3 = 2 x 1 3x 2 + x 3 = 4 1 Écrire S sous forme matricielle AX = Y 2 Déterminer A 1 à la calculatrice 3 En déduire les solutions de ce système II3 Puissances de matrices carrées d ordre 2 ou 3 De nombreux problèmes conduisent à calculer des puissances de matrices : Pour des puissances raisonnables, la calculatrice permet d obtenir un résultat ; Avec un logiciel de calcul formel Xcas,, dans certains cas, on peut obtenir l expression des coefficients de A n en fonction de n Une difficulté subsiste lorsque l on doit interpréter A n avec n tendant vers l infini II31 Matrice triangulaire Définition 9 Une matrice est dite triangulaire supérieure lorsque ses coeffcients situés sous la diagonale principale sont nuls Une matrice carrée d ordre 3 triangulaire supérieure est de la forme : Propriété 2 Soit T une matrice de M 3 R triangulaire supérieure et p un entier naturel non nul On a : T p = ap 11 0 a p a p 33 Définition 10 Une matrice est dite strictement triangulaire supérieure lorsqu elle est triangulaire supérieure et que ses coeffcients de la diagonale principale sont nuls Une matrice carrée d ordre 3 strictement triangulaire supérieure est de la forme : EXERCICE 4 Prouver que les matrices strictement triangulaires supérieures de M 3 R ont leurs puissances nulles à compter de la troisième au plus II32 Matrice diagonale Définition 11 Une matrice est dite diagonale lorsque tous les coeffcients non situés sur la diagonale principale sont nuls Une matrice diagonale d ordre 3 est de la forme : Si D M 3 R est diagonale, alors D p est diagonale et ses coeffcients sont obtenues en calculant les puissances des coeffcients diagonaux de D Remarque 5 Ce qui précède se généralise aux matrices de M n R My Maths Space 5 sur 5

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