Calcul matriciel 1. Calcul matriciel

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1 Calcul matriciel 1 le 29 Novembre 2008 UTBM MT11 Arthur LANNUZEL http ://mathutbmal.free.fr Calcul matriciel Introduction. A un système linéaire de p équations à n inconnues on associe un tableau avec p lignes et n colonnes qui contient les coefficients du système. Grâce à ces tableaux (matrices) nous allons élaborer une théorie mathématique permettant de résoudre ces systèmes. Cette théorie débouchera sur d autres applications (exponentielle de matrices, systèmes d équations différentielles) 1 Les matrices. 1.1 Définitions - Notations. Définition 1.1 Soit n, p N. Une matrice M de taille (p, n) ou p n à coefficients réels (resp. complexes) est un tableau comportant p lignes et n colonnes de nombres réels (resp. complexes). L ensemble des matrices p n à coefficients réels (resp. complexes) est noté M p,n (R) (resp. M p,n (C)). Exemples M = π M 5,3(R) est le coefficient de M, troisième ligne, première colonne. On le note souvent m3,1. Notation 1.3 Une matrice M M p,n (R) (ou M p,n (C)) est notée de façon générique : m 1,1 m 1,2 m 1,n m 2,1 m 2,2 m 2,n M = (m i,j ) 1 i p,1 j n = m p,1 m p,2 m p,n avec 1 i p, 1 j n, m i,j R (ou C). Exemples 1.4 A = (a i,j ) 1 i 4,1 j 3 avec a i,j = 2 i+j

2 Calcul matriciel 2 Vocabulaire 1.5 i) Si p = n, M est appelé matrice carrée d ordre n. Les termes m i,i, 1 i n, sont appelés termes de la diagonale de M. L ensemble des matrices carrées de taille n est noté M n (K) (K = R ou C suivant les cas). ii) Les éléments de M 1,n (K) sont appelés matrices lignes. Les éléments de M p,1 (K) sont appelés matrices colonnes ou vecteurs. iii) Soit M = (m i,j ) M p,n (K) ( on oublie souvent les indices). La i ième ligne est notée L i = (m i,1 m i,2 m i,n ). m 1,j m 2,j La j ième colonne est notée C j =. m p,j D où 1.2 Lien avec les systèmes. Soit un système L 1 L 2 M = (C 1 C 2 C n ) =. L p a 1,1 + a 1,2 x a 1,n = b 1 a 2,1 + a 2,2 x a 2,n = b 2 a p,1 + a p,2 x a p,n = b p où,, K sont les inconnues et a i,j, b j K. On associe à ce système 3 matrices : et une application : b 1 b 2 A = (a i,j ) M p,n (K), b = M x 2 p,1(k), X = M n,1(k) b p f A : K n K p x 2 X = A. x 2 := a 1,1 + a 1,2 x a 1,n a 2,1 + a 2,2 x a 2,n a p,1 + a p,2 x a p,n

3 Calcul matriciel 3 Le système s écrit alors f A (X) = b. Remarque 1.6 Par le raisonnement précédent, on peut associer une application f M : K n K p à toute M M p,n (K). Exemples 1.7 M := Alors avec V 1 = f M : R 3 R V = x y z 3y + 2z 3x z 2x + y = V 1 V (produit vectoriel) 1.3 Egalité entre 2 matrices. A = (a i,j ) M p,n (K) et B = (b i,j ) M p,n (K)) Soient les deux applications associées f A et f B. Alors f A = f B X R n, f A (X) = f B (X) a 1,1 + a 1,2 x a 1,n b 1,1 + b 1,2 x b 1,n a 2,1 + a 2,2 x a 2,n X R n, = b 2,1 + b 2,2 x b 2,n a p,1 + a p,2 x a p,n b p,1 + b p,2 x b p,n 1 i p, 1 j n, a i,j = b i,j (Il suffit de prendre des X particuliers). Définition matrices A = (a i,j ) M p,n (K) et B = (b i,j ) M p,n (K)) sont égales ssi 1 i p, 1 j n, a i,j = b i,j. 2 Opérations sur les matrices. 2.1 Addition de Matrices. A = (a i,j ) M p,n (K) et B = (b i,j ) M p,n (K)) Soient les deux applications associées f A et f B. Alors, pour X R n,

4 Calcul matriciel 4 (f A + f B )(X) = = a 1,1 + a 1,2 x a 1,n a 2,1 + a 2,2 x a 2,n a p,1 + a p,2 x a p,n + b 1,1 + b 1,2 x b 1,n b 2,1 + b 2,2 x b 2,n b p,1 + b p,2 x b p,n (a 1,1 + b 1,1 ) + (a 1,2 + b 1,2 )x (a 1,n + b 1,n ) (a 2,1 + b 2,1 ) + (a 2,2 + b 2,2 )x (a 2,n + b 2,n ) (a p,1 + b p,1 ) + (a p,2 + b p,2 )x (a p,n + b p,n ) On en déduit donc que (f A + f B ) = f A+B avec a 1,1 + b 1,1 a 1,2 + b 1,2 a 1,n + b 1,n a 2,1 + b 2,1 a 2,2 + b 2,2 a 2,n + b 2,n A + B =. a p,1 + b p,1 a p,2 + b p,2 a p,n + b p,n Définition 2.1 Soit 2 matrices A = (a i,j ) M p,n (K) et B = (b i,j ) M p,n (K)). On définit la somme de A et B de la façon suivante : A + B = (a i,j + b i,j ) i,j M p,n (K)). Propriétés (exo) (M p,n (K)), +) est un groupe commutatif avec : O Mp,n (K)) = (o) i,j et (a i,j ) i,j = ( a i,j ) i,j. 2.2 Multiplication par un scalaire. A = (a i,j ) M p,n (K). Soient l application associée f A. Soit λ K. Alors, de la même façon que précédemment, on montre que λ.f A = f λ.a avec λ.a 1,1 λ.a 1,2 λ.a 1,n λ.a 2,1 λ.a 2,2 λ.a 2,n λ.a =. λ.a p,1 λ.a p,2 λ.a p,n

5 Calcul matriciel 5 Définition 2.2 Soit A = (a i,j ) M p,n (K). On définit le multiplication de A par λ de la façon suivante : λ.a = (λ.a i,j ) i,j M p,n (K)). Propriétés (exo.) Soient λ, µ K et A, B M p,n (K). i) (λ + K µ).a = λ.a + Mp,n(K) µ.a. ii) λ(a + Mp,n(K) B) = λ.a + Mp,n(K) λ.b. iii) λ.(µ.a) = (λ K µ).a. (Les indices indiquent dans quel ensemble s effectue l opération). 2.3 Produit de Matrices. A = (a i,j ) M p,n (K) et B = (b i,j) M p,n (K)) Soient les deux applications associées f A et f B. On suppose n = p. Alors, pour X R n, (f A f B )(X) = f A (f B (X)) a 1,1 (b 1,1 + + b 1,n ) + + a 1,p (b p,1 + + b p,n ) a 2,1 (b 1,1 + + b 1,n ) + + a 2,p (b p,1 + + b p,n ) = a p,1 (b 1,1 + + b 1,n ) + + a p,p (b p,1 + + b p,n ) = On en déduit donc que (f A f B ) = f A B avec (a 1,1.b 1,1 + + a 1,p.b p,1 ) + + (a 1,1.b 1,n + + a 1,p.b p,n ) ((a 2,1.b 1,1 + + a 2,p.b p,1 ) + + (a 1,1.b 1,n + + a 1,p.b p,n ) (a p,1.b 1,1 + + a p,p.b p,1 ) + + (a p,1.b 1,n + + a p,p.b p,n ) A B := (a i,1.b 1,j + + a i,p.b p,j ) 1 i p,1 j n M p,n(k). Définition 2.3 Soit 2 matrices A = (a i,j ) M p,n (K) et B = (b i,j) M p,n (K)) avec n = p. On définit le produit de A et B de la façon suivante : k=p A B = ( a i,k.b k,j ) 1 i p,1 j n M p,n(k). k=1

6 Calcul matriciel 6 Exemples 2.4 i) =? ii) =? Théorème 2.5 Le produit matriciel est associatif (i.e. A (B C) = (A B) C). Preuve. On sait que f A (f B f C ) = (f A f B ) f C. CQFD CQFD Remarque 2.6 1) Le produit matriciel n est pas commutatif. Exemple : ( ) ( ) ( ) ( ) ) (M n (K), +, ) est un anneau (non-commutatif) (exo) 3 Matrices carrées inversibles. 3.1 Matrice identité. On connait l application identité dans K n : id K n : K n K n x 2 x 2 Il est facile de voir que id K n = f In avec I n = I n M n (K) est la matrice dont tous les coefficients sont nuls sauf les termes de la diagonale qui sont égaux à 1.

7 Calcul matriciel 7 Définition 3.1 La matrice I n M n (K) définie ci-dessus s appelle matrice identité d ordre n. Propriétés Dans M n (K), I n est l unique matrice telle que Preuve en exo. 3.2 Le groupe linéaire. A M n (K), A I n = I n A = A. Définition 3.2 Soit A M n (K). On appelle matrice inverse de A, si elle existe, l unique matrice, notée A 1 telle que A A 1 = A 1 A = I n. Si A 1 existe, on dit que A est inversible. L ensemble des matrices inversibles de M n (K) est noté Gl n (K). Propriétés (Gl n (K), ) est un groupe (non abélien donc (A B) 1 = B 1 A 1 ). Preuve. (évident d après ce qui précède). 3.3 Inversion d une matrice. Soit A = (a i,j ) M n (K) une matrice. On a vu que l on pouvait associer à A le système a 1,1 + a 1,2 x a 1,n = b 1 a 2,1 + a 2,2 x a 2,n = b 2 a p,1 + a p,2 x a p,n = b p où,, K sont les inconnues et b j K. Rappel 3.3 Par des opérations dites élémentaires sur les lignes (échange de 2 lignes, multiplication d une ligne par un scalaire non-nul, ajout à une ligne d une autre ligne multipliée par un scalaire), on obtient un système dit équivalent (i.e. avec les mêmes solutions). Si par des opérations élémentaires sur les lignes, on peut obtenir un système du type = c 1,1.b 1 + c 1,2.b c 1,n.b n x 2 = c 2,1.b 1 + c 2,2.b c 2,n.b n x 3 = c 3,1.b 1 + c 3,2.b c 3,n.b n = = = c n,1.b 1 + c n,2.b c n,n.b n

8 Calcul matriciel 8 cela signifie que le système est de Cramer (i.e. admet une unique solution quel que soit les b i ). Cette solution est alors b 1 b 2 C. b n avec C = (c i,j ) M n (K). Cela signifie donc que A.C = C.A = I n, d où A 1 = C. Exemples 3.4 Inverser par la méthode des systèmes la matrice A = Solution : A 1 =

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