MAT1702B CH2 - P1 L algèbre des matrices

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1 MAT1702B CH2 - P1 L algèbre des matrices Mercredi 11 Février 2015

2 Définition Soit A une matrice de type (m, n), a 11 a 1n A =.. = [a ij ] 1 i m 1 j n a m1 a mn Les éléments a ij sont appelés les entrées de A. Les éléments diagonaux a 11, a 22,, forment ce qu on appelle la diagonale principale de A. La matrice A est dite matrice carrée si m = n et on dit matrice carrée d ordre n. Une matrice carrée est dite matrice diagonale si tous les éléments non diagonaux sont nuls.

3 Exemple La matrice I n = est une matrice diagonale; on l appelle la matrice unité d ordre n. La matrice nulle de type (m, n) est une matrice dont toutes les entrées sont nulles. On la note par 0

4 Définition (Les sommes et les multiples scalaires) Comme pour les vecteurs, deux matrices sont égales si elles ont le même type et leurs entrées correspondantes sont égales. Si A et B sont deux matrices de même type, alors A + B est la matrice aussi de type (m, n) dont les colonnes sont les sommes des colonnes correspondantes de A et de B; c est-à-dire on addittionne entrée par entrée correspondante. Le multiple scalaire d une matrice A de type (m, n) par un scalaire est une matrice de type (m, n) dont les entrées sont des multiples des entrées de A par ce scalaire.

5 Plus généralement, on a le théorème suivant: Théorème Soient A, B, C des matrices de même dimension (type) et soient r, s des scalaires. 1 A + B = B + A. 2 (A + B) + C = A + (B + C). 3 A + 0 = A. 4 r(a + B) = ra + rb. 5 (r + s)a = ra + sa. 6 r(sa) = (rs)a.

6 Dans le cas de la multiplcation d une matrice par un vecteur (cas particulier), on a vu qu il est nécessaire d avoir le même nombre de colonnes dans la matrice que de lignes dans le vecteur. Définition Soient A et B deux matrices de types (m, n) et (n, p) respectivement. Le produit de A par B est la matrice AB de type (m, p) dont les colonnes [ sont les produits des colonnes de B par b1 A; autrement dit, si B = ] b p alors AB = [A b 1 A ] b p.

7 Définition (La règle ligne-colonne pour calculer AB) Soient A et B deux matrices telles que le produit AB est défini. On obtient les entreés de AB en calculant la somme des produits des éléments des lignes de A par ceux correspondants des colonnes de B. Autrement dit, si A = [a ef ] 1 e m, B = [b kl ] 1 k n 1 f n 1 l p et AB = [c ij ] 1 i m 1 j p alors c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a in b nj.

8 Théorème Soit A une matrice de type (m, n) et soient B et C des matrices telles que les sommes et les produits dans lesquels elles interviennent sont définis. Alors, 1 A(BC) = (AB)C. (associativité) 2 A(B + C) = AB + AC. (distributivité à gauche) 3 (B + C)A = BA + CA. (distributivité à dtoite) 4 r(ab) = (ra)b = A(rB) quel que soit le scalaire r. 5 I m A = A = AI n. (élément neutre)

9 Exemple Pour les matrices suivantes effectuez, si-possible (si c est impossible justifier pourquoi), les opérations demandées: 1 A + B, A 2D. 2 AB, (BA)C, B(DC), AD, DA, EF et EG. 3 B 2 = BB A = 1 2 1, B = [ D = 3 2 1, E = [ ] 5 2 et G =. 3 1 [ ] et C = ] [ 8 4, F = ],

10 Conclusions: suivantes: 1 En général AB BA. De cet exemple, on peut tirer les conclusions 2 AB = AC n implique pas nécessairement que B = C. En particulier, AB = 0 n entraine pas [ que A ] = 0 ou B = Prendre, par exemple A = B = On ne peut parler de puissance d une matrice que lorsqu elle est carrée (regarder simplement la dimenion de A 2 ). On conviendra à que (AB) k = (AB) (AB) et que A 0 = 0. }{{} k fois Exercice Pour A telle que dans l exemple précédent, calculer A 3.

11 Définition La transposée d une matrice A de type (m, n) est la matrice de type (n, m), notée A T, dont les colonnes sont, dans l ordre, les lignes de A. Exemple [ ] a b Calculer la transposée des matrices suivantes: A =, c d 5 2 [ ] [ ] B = , C =, D = Calculer aussi (A T ) T, (B + D T ) T, B T + D, (BA) T, A T B T.

12 Plus généralement on a: Théorème Soient A et B deux matrices dont les dimensions sont compatibles avec les sommes et les produits suivants. 1 (A T ) T = A. 2 (A + B) T = A T + B T. 3 (ra) T = ra T, quel que soit le scalaire r. 4 (AB) T = B T A T (la transposée inverse l ordre de la multiplication).