Matrices Systèmes linéaires

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1 Chaitre Matrices Systèmes linéaires James Sylvester s intéresse à des tableaux de nombres qu il nomme matrices en 850. Peu arès, Arthur Cayley définit des oérations sur les matrices. Curieusement, c est au barreau de Londres que les deux mathématiciens anglais se rencontrent et symathisent malgré des caractères très différents. Sylvester est irascible, coléreux alors que Cayley est d une gentillesse extrême. Hommes de culture tous les deux, le remier comose des oèmes alors que le second écrit des romans. Leur collaboration a fait faire de remarquables rogrès à l algèbre linéaire. James Sylvester

2 Les incontournables Objectifs Connaître les définitions des matrices articulières (matrices diagonales, triangulaires, symétriques...). Maîtriser les oérations matricielles, en articulier le roduit. Connaître les roriétés des oérations matricielles. Connaître la définition d'une matrice inversible et les roriétés de l'inverse. Connaître la méthode du ivot de Gauss. Et lus si affinités Savoir utiliser la méthode de Gauss-Jordan our inverser une matrice. Savoir travailler sur des matrices de taille n.

3 Résumé de cours Matrices Définition.. Soit ( n, * ) ( N ) 2 réels suivant : a, a, 2 a, a2, a2,2 a2, A =. an, an,2 a n,. On aelle matrice à n lignes et colonnes le tableau de L ensemble des matrices à n lignes et colonnes est noté n, ( R) Si = n, la matrice A est dite carrée d'ordre n et on note n ( R) M l ensemble de ces matrices. Remarque.. On considère qu un élément de M ( R) est un nombre réel. Notation. La matrice A s écrit : A ( ai, j), d'ambiguïté sur le nombre de lignes et de colonnes, A ( a i, j ) = ou simlement, s il n y a as i n j =. Définition.2. Si tous les éléments de la matrice A sont nuls, on dit que A est la matrice nulle et on note A = 0. M R. On aelle matrices lignes les éléments de, ( R) M et matrices colonnes ceux de n,( ) Définition.3. Deux matrices sont égales si elles ont même nombre de lignes, même nombre de colonnes et si elles ont les mêmes coefficients. Oérations matricielles Addition de deux matrices Définition.4. Soit deux matrices A = ( a i, j ) et B ( b i, j ) de A et de B la matrice de n, ( R) ( i, j), n,, ci, j= ai, j+ bi, j. M, notée A B = de M n, ( R). On aelle somme +, définie ar A B ( c i, j ) + = où : MATRICES - SYSTÉMES LINÉAIRES 3

4 Produit d'une matrice ar un réel Définition.5. Soit une matrice A ( a i, j ) = de n, ( R) On aelle roduit de A ar le réel λ, la matrice de n, ( R) où : ( i, j), n,, ai, j= λ ai, j. 0 5 Exemle.. Si A = et Produit de deux matrices Définition.6. Soit ( nq,, * ) ( N ) 3, A ( a i, j ) M et λ un réel. M notée λa définie ar λa = ( a i, j) B =, on a : 2A 3B= = une matrice de n, ( R) matrice de M q, ( R). On aelle roduit de A ar B la matrice de nq, ( R) ar AB = ( ci, j) où : ( i, j ), n, q i n, j q, ci, j= ai, kbk, j. k = M et B ( b i, j ) = une M notée AB définie Méthode.. Comment multilier deux matrices? Remarque.2. Il est excetionnel que, si A et B sont deux matrices, on ait AB = BA. Lorsque ceendant c est le cas, on dit que les matrices A et B commutent. Remarque.3. Le roduit de 2 matrices eut être nul sans qu aucune des deux matrices ne soit nulle : ar exemle, si A = et B =, alors AB = Proriétés des oérations matricielles Proriétés.. Pour toutes matrices A, B, C telles que les oérations ci-dessous soient ossibles, on a : A BC = AB C. ( ) ( ) A( B + C) = AB + AC et ( ) λ R, A( λb) = ( λa) B= λab. A + BC= AC+ BC. Transosée d'une matrice Définition.7. Soit une matrice A ( a i, j ) = de n, ( R) On aelle transosée de A la matrice de, n( R) ( i, j),, n a Exemle.2. Si M noté t t A définie ar A ( a i, j), i, j = aj, i. 0 5 A =, alors t A 2 = = où : 4 CHAPITRE

5 x y n Remarque.4. Si X = et Y =, t XY est le réel égal à xy i i. x n y i= n Proriétés.2. Pour toutes matrices A et B telles que A + B existe et our tout réel λ, on a : t t t t t = A. ( A + B) = A+ B. ( λa) = λ A. t ( t A) Matrices carrées Définitions Définitions.8. Soit A ( a i, j ) Pour tout i élément de = une matrice de n ( R), n, les réels a ii, sont aelés coefficients diagonaux. A est une matrice triangulaire inférieure si our tout ( i, j ) de, n 2 tel que i j A est une matrice triangulaire suérieure si our tout ( i, j ) de, n 2 tel que i j A est une matrice diagonale si our tout ( i, j ) de, n 2 tel que i j Définition.9. La matrice identité (ou matrice unité) de n ( R), a, = 0. i j <, a, = 0. i j >, a, = 0. i j M est la matrice diagonale dont tous les éléments diagonaux sont égaux à. Elle est notée I n ou tout simlement I. Remarque.5. Une matrice est dite scalaire si elle est de la forme αi, où α est un réel. Proriété.3. A M n ( R), AI IA A = = et X n, ( R) M, IX = X. Puissance d'une matrice carrée Définition.0. Soit A une matrice de n ( R) 0 Par convention, on ose A = I n et, our tout entier naturel non nul, on ose A = A A. En fait, our tout de N *, A est le roduit de matrices toutes égales à A. Méthode.2. Comment calculer une uissance d'une matrice ar conjecture? Formule du binôme Théorème.. Si A et B sont deux matrices de n ( R) our tout entier naturel, on a : ( + ) = ( k ) = ( k ) M qui commutent (AB = BA), alors k k k k. k= 0 k= 0 A B A B A B Méthode.3. Comment utiliser la formule du binôme? MATRICES - SYSTÉMES LINÉAIRES 5

6 Matrices carrées inversibles Définition.. On dit qu'une matrice A de n ( R) de M n ( R) telle que AB BA I M est inversible s il existe une matrice B = =. La matrice B est l'inverse de A et on note B= A. Théorème.2. Si A et B sont deux matrices de n ( R) M telles que AB= I, alors A et B sont inversibles et on a : A = B et B = A. Méthode.4. Comment calculer l'inverse d'une matrice carrée ar roduit? Exemle.3. Soit A = et B =. AB = = Comme AB= I, alors A et B sont inversibles et on a : B= A (ou si l on veut A= B ). Proriétés.4. Si A est inversible, alors : A est inversible et ( ) Pour tout entier naturel, A = A. A est inversible et ( A ) ( A ) =, matrice que l on note A. AB = B A. Si A et B sont inversibles alors AB est inversible et on a : ( ) Inversibilité des matrices carrées d'ordre 2 a b Proriété.5. La matrice A = est inversible si et seulement si ad bc 0. Dans ce c d d b cas, on a : A =. ad bc c a Proriétés des matrices diagonales Proriété.6. Le roduit de deux matrices diagonales est la matrice diagonale obtenue en multiliant entre eux les termes diagonaux de même lace. a 0 a 0 aa 0 Par exemle, si D = et D' =, alors DD' = 0 b 0 b. 0 bb Proriété.7. La uissance n ème d'une matrice diagonale est la matrice diagonale obtenue en élevant les termes diagonaux à la uissance n. a 0 Par exemle, si D =, alors D n n a 0 = 0 b n. 0 b 6 CHAPITRE

7 Proriété.8. Une matrice diagonale D est inversible lorsque tous ses coefficients diagonaux sont non nuls. D est alors obtenue en inversant les coefficients diagonaux de D. a 0 Par exemle, si D =, avec a 0 et b 0, alors D / a 0 = 0 b 0 / b Systèmes linéaires Écriture matricielle d'un système a,x + + a, x = y Définition.2. Soit le système linéaire ( S ). an,x + + an, x = yn a, a, La matrice A = de n, ( R) a n, a n, x y a,x + + a, x = y Notation.2 Avec X = et Y =, ( S ) x y n a,x + + a, x = y M est aelée matrice associée au système ( ) n n n Interrétation matricielle des systèmes de Cramer Proriété.9. Soit A une matrice de n ( R) s'écrit AX S. = Y. La matrice A est inversible si et seulement si A est la matrice d un système de Cramer, c est-àdire si le système AX Y M R, ossède une seule solution, cette solution étant X = A Y. =, d inconnue X élément de n, ( ) Méthode.5. Comment calculer l'inverse d'une matrice carrée ar résolution de système? Proriété.0. Soit A une matrice de n ( R) A est inversible si et seulement si, our toute matrice X de n, ( R) On a l'équivalence suivante : M : AX = 0 X = 0. Théorème.3. Soit A une matrice triangulaire. A est inversible si et seulement si les coefficients diagonaux de A sont tous non nuls. MATRICES - SYSTÉMES LINÉAIRES 7

8 Réduite de Gauss Définition.3. Soit A une matrice carrée de n ( R) On aelle réduite de Gauss de A, toute matrice triangulaire obtenue ar des oérations élémentaires effectuées sur les lignes de A. Remarque.6. Les oérations élémentaires sur les lignes d une matrice sont les mêmes que celles décrites sur les systèmes. Théorème.4. Soit A une matrice carrée de n ( R) Si une réduite de Gauss de A est inversible, alors A est inversible. Si A est inversible, alors toutes ses réduites de Gauss sont inversibles. Méthode.6. Comment montrer qu'une matrice est (ou n'est as) inversible? Méthode de Gauss-Jordan Théorème.5. Toute matrice inversible eut se transformer en la matrice identité à l aide d oérations élémentaires sur les lignes de cette matrice et son inverse s obtient en effectuant, dans le même ordre, les mêmes oérations élémentaires sur les lignes de la matrice identité. Méthode.7. Comment calculer l'inverse d'une matrice carrée ar la méthode de Gauss-Jordan? 8 CHAPITRE