201-NYC SOLUTIONS CHAPITRE4

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1 Chapitre 4 Matrice inverse EXERCCES 4 a) b) c) -NYC SOUTONS CHAPTRE ª ª ª ( ) On a donc A 5 4 ª a matrice n est pas inversible puisque la deuxième ligne s annule à gauche de la matrice augmentée 4 ª ª ª ª ª ( 5) ( 5) On a donc A d) 4 5 ª ª 6 4 ª ª 4 ( ) ( ) 4 On a donc A Pour s assurer que ces deux matrices sont inverse l une de l autre, il faut vérifier que A A a matrice inverse étant connue, il suffit de multiplier la matrice des constantes par la matrice inverse pour trouver la solution du système d équations linéaires Ce qui donne : a) a solution est donc (; ; 4) 4 b) a solution est donc (7; 8; )

2 Chapitre 4 Matrice inverse a) l faut d abord trouver la matrice inverse On obtient : l faut maintenant multiplier la matrice des constantes par la matrice inverse pour trouver la solution du système d équations linéaires Ce qui donne : a solution est donc (; 7; ) b) a matrice inverse est D où : 5 85 a solution est (; 4; 5) a) det A, la matrice est inversible a matrice adjointe est adj A et l inverse est : A b) det B, la matrice est inversible a matrice adjointe est adj B et l inverse est : B a) a matrice inverse a été trouvée en 4 a e produit de la matrice colonne des constantes par la matrice inverse donne : A X a solution est (; 5; 6) 6 b) a matrice inverse a été trouvée en 4 b e produit de la matrice colonne des constantes par la matrice inverse donne : B X a solution est (6; ; ) a) det A, la méthode de l inverse est utilisable inverse est Par le produit On trouve (5; ; ) 4 5 b) det A, la méthode de l inverse est utilisable inverse est Par le produit On trouve (8; 9; )

3 Chapitre 4 Matrice inverse c) det A, la méthode de l inverse n est pas utilisable Par la méthode de Gauss-Jordan, on trouve : ª ª ª 9 ª es solutions sont {(x; y; z) x (74 + 5s)/; y ( + 9s)/; z s} d) det A, la méthode de l inverse n est pas utilisable Par la méthode de Gauss-Jordan, on trouve : ª 5 ª 7 65 ª e système n a pas de solution 7 a) En calculant le déterminant, on obtient + x Ce déterminant est nul lorsque x 6 et non nul lorsque x π 6 a matrice est donc inversible lorsque x π 6 et non inversible lorsque x 6 b) En calculant le déterminant, on obtient x + 4 Ce déterminant est toujours non nul a matrice est donc toujours inversible c) En calculant le déterminant, on obtient x 6 e déterminant s annule lorsque x a matrice n est donc pas inversible lorsque x a matrice est inversible pour x Œ R\{} d) En calculant le déterminant, on obtient x 5x e déterminant s annule à x / et à x 4 a matrice n est donc pas inversible lorsque x / ou x 4 a matrice est inversible pour x Œ R\{/; 4} x x 8 a) e déterminant est, la matrice est donc toujours inversible a méthode de l adjointe donne : A x + x b) e déterminant est (x 4), la matrice est inversible lorsque x π 4 a méthode de l adjointe donne : x x + ( x 4) ( x 4) B 6 x + 8 ( x 4) ( x 4) c) e déterminant est x x + 4, la matrice est toujours inversible a méthode de l adjointe donne : C x + 4 x 9 l suffit d effectuer la multiplication des matrices et de vérifier qu on obtient la matrice identité Cela donne : a) b) x x x a) e produit des matrices donne A B x x x b) D où l on tire x 4 es matrices sont alors : A 5 B et 5 x 4 6 x 4 x 6x 8 x x 6 x + 4 7x x x + x 6x + 9 On trouve alors x es matrices sont A B 6 5 et 7

4 4 Chapitre 4 Matrice inverse a) det( A ) det A b) det[ BAB ( ) ] det[ BB ( A )] det[( BB ) A ] det[ A ] det[ A ] det A det A c) A adj A det A (det A ), d où det(a adj A) det[(det A) ] (det A) det () 8 det A d) det(a adj A) det(a) det(adj A) 8, or det(a), on a donc det(adj A) 4 e) det(adj B) 9 f) det[ A ( B adj A)] det A det B det( adja) 4 4 g) det( A B ) det A det( B ) det A det B h) det[( A B) ] det( B A ) det( B ) det( A ) det A det B 6 a) (A B)(B A)(C t ) t [A (BB )A]C [A ()A]C [A A]C C C b) [B(A)] t (B ) t (A t ) [(A t B t )(B t ) (A t ) ] [A t (A t ) ] a) Q Q Q, et 8 6 b) + Q + Q On peut vérifier Puisque Q, on a alors : 8 ( Q)( + Q + Q ) 8 4 c) Q a Q Q b c,, ac On a donc : ( Q) + Q + Q a a + + b c ac ac + b c En effet, Q a b c et le produit donne ( Q)( + Q + Q ) a a b c ac + b c 4 a) Q Q Q 4 Q,, et b) ( Q)

5 Chapitre 4 Matrice inverse 5 On peut vérifier Puisque Q, on a alors a c) Q Q Q,, b c ac d e f ae + bf cf acf a On a donc ( Q) ac + b c d + ae + bf + acf e + cf f En effet, a Q b c d e f et le produit donne : a a b c b + ac c d e f d + ae + bf + acf e + cf f det A det A 5 a) A adj A (det A ), d où det(a adj A) det[(det A) ] (det A) M M O M n det (det A) n det A (det A) b) det(a adj A) det(a ) det( adj A) (det A) n n, d où det( adj A) (det A) det A n EXERCCES 44 a) CA M 6 5 C et b) CA M et C n existe pas c) CA M , et 8 9 C d) CA M , et C n existe pas e) orsque la matrice n est pas inversible, il y a perte d information lors du codage et le message devient indécodable Ainsi, dans l exercice b, la deuxième ligne, après codage, est fois la première ligne,,,, 6 a) P 6 6 t, ( P ), M, M,, 6 7,, , 7, 7, e point invariant est donc, 6,,, 7,, 6,,,,,, b) P 8 6,,,, ( P ),,,, ,, t 4 7,,, 6 7 M 6, 7,,, M 54,, 5 8,, 8,,, 8,,,,, 47 e point invariant est donc,, 54,,,,

6 6 Chapitre 4 Matrice inverse,,,,,, c) P 5,,,, ( P ),,,, 5 t 4,,, ,, 6, M M, 7, 8,, 4, 4,, 4, 9,,,, 6, 58, 4,, 6,, 4, 4, e point invariant est donc 58, 58, 58, 7 a) Pour trouver le point invariant, on doit résoudre le système d équations Puisque a + b et c + d, on a Ï bt + ct Ì Ó bt ct Ï( a ) t + ct Ì Óbt + ( d ) t On peut éliminer une de ces équations De plus, on doit avoir t + t Ï t + t On a donc le système Ì Ó bt ct b) Par la méthode de Cramer, on trouve t c c c b b b et t c b b + c c b b + c b c b c c b e point invariant est donc b + c b + c c c c) a matrice inverse est M b + c b + c b + c b b b + c b + c e point invariant est donné par les éléments de la première colonne de la matrice inverse 8 M a a a a a a a) a somme des cofacteurs de la première ligne donne le déterminant de la matrice puisque les éléments de la première ligne sont des b) a somme des cofacteurs de la deuxième ligne est [(a ) a ] + [(a ) a ] [a a ] a + + a + a a a + a c) a somme des cofacteurs de la troisième ligne est [(a (a )] [(a a ] + [(a ) a ] a a + a + a + a a a) a matrice associée augmentée est et la matrice inverse est A 46 8 b) A On trouve donc,7 A et,4 A c) En inversant les sources de tension, on a : A On trouve donc,7 A et,4 A et les courants de maille sont simplement inversés d) A l faudrait que la somme algébrique des sources de tension de la première maille soit de V et que la source algébrique des sources de tension de la seconde maille soit de 6 V

7 Chapitre 4 Matrice inverse a) a matrice associée augmentée est et la matrice inverse est A , b) A , ª 6 7 On trouve donc,77 A,,84 A et,5a 5, c) A l faudrait que la somme algébrique des sources de tension de la première maille 6 soit de 9 V, celle de la seconde de 6 V et celle de la troisième de 6 V 8, d) i) A , ª 6 7, 5 ii) A , , ª 6 7, iii) A , , 47 9 ª 4 7, 4 a matrice associée augmentée est a) a matrice inverse est A , b) A , ª , 6 6 c) A 9 8 l faudrait que la somme algébrique des sources de tension de la première 9 maille soit de 6 V, celle de la seconde de V et celle de la troisième de 9 V 9, d) i) A , ª 48 86, 66 ii) iii) A A, , ª ,, , ª , a) det A 8 b) a matrice inverse est symétrique

8 8 Chapitre 4 Matrice inverse a) det B ac b a b b) Soit B b c, une matrice symétrique inversible Alors, det B π On a donc ac b π et ac π b Par conséquent, b n est pas un moyen proportionnel entre a et c a b Réciproquement, soit B b c, une matrice symétrique telle que b n est pas un moyen proportionnel entre a et c Alors, ac b π et det B π a matrice est donc inversible c b c) B ac b b a a matrice inverse est symétrique d e b e e f c f b c a c 4 a) cof( A) e f c f b c a c d e b e a matrice des cofacteurs est une matrice symétrique b) Oui En effet, adj(a) (cofa) t cofa et A b d c e df e ( bf ce) be cd a b ( ) ( ) c e bf ce af c ae bc a b be cd ( ae bc) ad b b d adj ( A) det A 5 Soit A une matrice symétrique inversible d ordre n Alors (A ) t (A t ), propriété de la matrice inverse; (A), puisque A est symétrique par hypothèse inverse d une matrice symétrique est donc également une matrice symétrique, car elle est égale à sa transposée a 6 Soit A a, une matrice antisymétrique d ordre telle que A est inversible Puisque A est inversible par hypothèse, son déterminant est non nul On a donc det A a π et a π a Réciproquement, soit A a, une matrice antisymétrique telle que a π On a alors det A a π et la matrice est inversible a b 7 det A a c a( + bc) + b( ac ) abc + abc Par conséquent, une matrice antisymétrique d ordre b c n est jamais inversible 8 det A a f + adcf aebf + b e becd + c d l existe des valeurs a, b, c, d, e et f pour lesquelles le déterminant est non nul Par conséquent, une matrice antisymétrique d ordre 4 peut être inversible 9 Soit A, une matrice inversible Pour démontrer que la matrice inverse de ka est k A, il faut montrer que le produit de ces matrices donne l identité On a alors : ( ka) k A k ( ) k A A, associativité des opérations; (), puisque A est la matrice inverse de A;, puique est neutre pour la multiplication d une matrice par un scalaire k A ( ka) ka ( A), associativité des opérations; k (), puisque A est la matrice inverse de A;, puique est neutre pour la multiplication d une matrice par un scalaire On peut donc conclure que la matrice inverse de ka est la matrice k A

9 Chapitre 4 Matrice inverse 9 a) es équations sont obtenues en substituant à x et à y dans l équation les valeurs de couples (x; y) donnés : D + E + F D + 4E + F 5 D + 6E + F ª ª ª ª ( 5) ( ) équation cherchée est donc x + y x 9y + b) es équations sont : D + 4E + F 4D E + F 7 4D + 8E + F ª ª ª ª ( 9) 4 ( ) 4 équation cherchée est donc x + y 6x 7y a) En mettant les expressions du membre de droite au même dénominateur, on obtient : x 6 Ax ( ) + Bx ( ) ( A + B) x + ( A + B) x + x 6 x + x 6 x + x 6 Ce qui donne : x 6 (A + B)x +(A + B) es polynômes sont égaux si les coefficients des termes de même degré sont égaux On a donc un système de deux équations linéaires à deux inconnues : A + B { A + B 6 En résolvant, on obtient : ª 5 ª 5 5 ª + 5 x 6 5 Ce qui donne A 5 et B On peut donc écrire que : x + x 6 x + x b) En mettant les expressions du membre de droite au même dénominateur, on obtient : x + Ax ( )( x ) Bx ( )( x ) Cx ( )( x ) x 4x + x x 4x + x + 6 Ax ( 5x + 6) + Bx ( x ) + Cx ( x ) x 4x + x + 6 ( A + B + C) x + ( 5A B Cx ) + ( 6A B C) x 4x + x + 6 es dénominateurs étant égaux, les polynômes du numérateur sont égaux si les coefficients des termes de même degré sont égaux On a donc un système de trois équations linéaires à trois inconnues : ÏA + B + C Ô Ì 5A B C ÓÔ 6A B C En résolvant, on obtient :

10 4 Chapitre 4 Matrice inverse 5 ª ª ª 9 ª Ce qui donne A, B et C 5 On peut donc écrire que : x x x + x + x + + x x c) En mettant les expressions du membre de droite au même dénominateur, on obtient : x 6x + 4 Ax ( )( x ) + Bx ( ) + Cx ( ) x 4x + 5x x 4x + 5x Ax ( x + ) + Bx ( ) + Cx ( x + ) x 4x + 5x ( A + C) x + ( A + B C) x + ( A B + C) x 4x + 5x es dénominateurs étant égaux, les polynômes du numérateur sont égaux si les coefficients des termes de même degré sont égaux On a donc un système de trois équations linéaires à trois inconnues : ÏA + C Ô Ì A + B C 6 ÓÔ A B + C 4 En résolvant, on obtient : 5 6 ª ª ª Ce qui donne A 5, B et C 4 On peut donc écrire que : x 6x x 4x + 5x x + ( x ) x a) En écrivant le système d équations sous forme matricielle, on obtient : x y z Pour vérifier que X est une solution du système, il faut effectuer le produit : 4 5 4, ce qui donne 5 4 Par conséquent, X est une solution du système d équations 4 b) De la même façon, confirme que X est une solution du système d équations c) X X X X + ( ) È Í ÎÍ e produit confirme que X est une solution du système d équations

11 Chapitre 4 Matrice inverse 4 d) Xr X + r( X X ) r r r + È Í ÎÍ e produit È 5 4 ( ) + Í 5 ( ) ÎÍ 4 + r r r r ( r) r ( r r) confirme que X r est une solution du système d équations Soit AX B un système d équations linéaires dont X et X sont des solutions On a alors : AX B et AX B Pour montrer que les expressions de la forme X r X + r(x X ), où r est un nombre réel, sont également des solutions, il faut montrer que le produit AX r donne la matrice B AX r A[X + r(x X )] A[X + rx rx ], par distributivité de la multiplication par un scalaire sur la somme des matrices; AX + ArX ArX, par distributivité de la multiplication matricielle sur la somme des matrices; AX + rax rax, par commutativité de la multiplication par un scalaire; B + rb rb, puisque X et X sont des solutions B On peut conclure que les expressions de la forme X r X + r(x X ), où r est un nombre réel, sont également des solutions du système d équations x 4 a) En écrivant le système d équations sous forme matricielle, on obtient : 5 y z Pour vérifier que X 4 est une solution du système, il faut effectuer le produit : 5 4, ce qui donne Par conséquent, X est une solution du système d équations b) De la même façon, confirme que X est une solution du système d équations 44 c) X X + X ; e produit confirme que X ; est une solution du système d équations d) En appliquant les propriétés des opérations, on obtient : È Í ÎÍ È r + s r s Í r s ÎÍ r s r s r s r s

12 4 Chapitre 4 Matrice inverse 5 Soit AX un système d équations linéaires homogène dont X et X sont des solutions On a alors : AX et AX Pour montrer que les expressions de la forme X r;s rx + sx, où r et s sont des nombres réels, sont également des solutions, il faut montrer que le produit AX r;s donne la matrice AX r;s A(rX + sx ) A(rX ) + A(sX ), par distributivité de la multiplication matricielle sur la somme des matrices; rax + sax, par commutativité de la multiplication par un scalaire; r + s, puisque X et X sont des solutions On peut conclure que les expressions de la forme X r;s rx + sx, où r et s sont des nombres réels, sont également des solutions du système d équations Ï7cos A + cos B 5 Ô 6 a) e système d équations est Ì5cos B + 7cos C ÓÔ 5cos A + cos C 7 b) es inconnues sont cos A, cos B et cos C e déterminant est π En utilisant la méthode de l adjointe, on obtient : cof M adj M et M , e produit des matrices est alors : 5 M On trouve donc : cos A, cos B et cos C c) A arccos 74 B C ª,, arccos 9 ª arccos 4 4 5, 7 et ª, 88 Ïbcos A + acos B c Ô 7 a) e système d équations est : Ìccos B + bcos C a ÓÔ ccos A + acos C b b) es inconnues sont cos A, cos B et cos C e déterminant est : b a c b bca ( ) a( bc) abc π, puisque a, b et c sont non nuls c a e système a donc une solution unique En utilisant la méthode de l adjointe, on obtient : ac bc c ac a ab cof M a ab ac adj M bc ab b et M, ab b bc c ac bc e produit des matrices est alors : M ac a ab bc ab b abc c ac bc c ac a ab c ac a ab c a b bc a + ( + ) bc ab b a bc a b b c a b ac b abc + c ac bc b abc ( + ) c + a c + b c ( c + a + b ) ab cos b + c a a + c b a + b c A, cos B et cos C bc ac ab

13 Chapitre 4 Matrice inverse 4 c) cos cos cos b + c a A, d où l on tire a b + c bccos A bc a + c b B, d où l on tire b a + c accos B ac a + b c C, d où l on tire c a + b abcos C ab

14 44 Chapitre 4 Matrice inverse