i est l indice de ligne et j l indice de colonne. L ensemble des matrices de type (n, p) à coefficients dans K est noté M np

Transcription

1 8 Marices 8 Espace vecoriel M p ( 8 Marices à liges e p coloes Défiiio : Soi K u corps commuaif, e p deux eiers aurels o uls O appelle marice à liges e p coloes (ou de ype (,p à coefficies das K, la doée de p élémes de K : a a ap a a a p A = ( a i = j p a a ap i es l idice de lige e j l idice de coloe L esemle des marices de ype (, p à coefficies das K es oé M p ( Cas pariculiers O appelle marice carrée d ordre ue marice de ype (, Ses coefficies a ii so appelés coefficies diagoaux La famille des coefficies diagoaux es appelée la diagoale de la marice L esemle des marices carrées es oé M ( Ue marice carrée es diagoale si seuls ses coefficies diagoaux so o uls Ue marice carrée es riagulaire supérieure si i > j a = 0 Ue marice carrée es riagulaire iférieure si i < j a = 0 Ue marice carrée es riagulaire si elle es riagulaire supérieure ou riagulaire iférieure 8 Srucure d espace vecoriel Défiiio : Soi A = ( a e B ( marices A e B la marice A B ( c Proposiio : ( M ( K = deux marices de même ype O appelle somme des + = défiie par : [[ ]] [ ] p,+ es u groupe aélie i, j,, p, c = a + Défiiio 3 : O appelle produi de la marice A par le scalaire α la marice αa = ( défiie par : [] i, j,, p, = αa ( p Proposiio : M ( K,+ es u K-espace vecoriel Proposiio 3 : Soi E la marice do ous les coefficies so uls sauf celui de la lige i E i, j,, p e de la coloe j qui vau La famille ase caoique ; dim M ( = p p [ ] [[ ]] es ue ase de M p (, appelée

2 8 Muliplicaio des marices 8 Produi de deux marices Défiiio 4 : Soie, p, q rois eiers sriceme posiifs, A ue marice de M p ( e B ue marice de M Posos A = ( a e B ( jk AB = c M défiie par : B la marice ik q [[ ]] [ ] i, k,, q, c = a = O appelle produi des marices A e p jk j= 8 Propriéés de la muliplicaio des marices Proposiio 4 : La muliplicaio des marices es associaive Théorème : L applicaio Aureme di les applicaios : M ( M ( M ( p q A AB M M M p q es iliéaire AB ( A, B M M M p q e B AB so liéaires 83 Algère des marices carrées d ordre Théorème : ( ( K,+, M es u aeau La muliplicaio das M ( K es pas commuaive (sauf si = Il exise das M ( K des diviseurs de 0, c es-à-dire des marices o ulles do le produi es ul 3 U marice o ulle peu avoir ue puissace ulle (o di alors qu elle es ilpoee Théorème 3 : Ue marice carrée de M ( K es iversile si, e seuleme si, elle es iversile à droie ou iversile à gauche Défiiio 5 : L esemle des marices iversiles d ordre es u groupe pour la muliplicaio, o l appelle groupe liéaire e o le oe GL (K 83 Marice d ue applicaio liéaire 83 Représeaio maricielle d ue famille de veceurs, d ue applicaio liéaire Défiiio 6 : Soi E u K-espace vecoriel de dimesio, mui d ue ase = e,, e O peu représeer u veceur de E par la marice coloe de ses coordoées das la ase Plus gééraleme, o peu représeer ue famille de p veceurs de E par la marice de ype (, p do la j-ième coloe représee les coordoées du j-ième veceur de la famille das la ase

3 Défiiio 7 : Soi E u K-espace vecoriel de dimesio p, mui d ue ase = e,, e p, e F u K-espace vecoriel de dimesio, mui d ue ase = e,, e Soi f ue applicaio liéaire de E das F La marice de M p ( do les coloes so les coordoées des veceurs f ( e f ( e f ( e p appelée marice de f relaiveme au sysème de ases ( Si j [, p], f e j = aei, alors M ( f Exemple : Soi f : i= [ X ] [ X ] R R 3 P X + P P = Das les ases caoiques, la marice de f es :,, das la ase es,, elle es oée M ( f a a ap a a a p a a ap Iverseme, oue marice A de M p ( représee ue uique applicaio liéaire de K p das K relaiveme aux ases caoiques de ces deux esemles O l appelle l applicaio liéaire caoiqueme associée à A Tou prolème pora sur les applicaios liéaires peu êre ierpréé comme u prolème mariciel, e iverseme 83 Propriéés des marices d applicaios liéaires Proposiio 5 : Soi E u K-espace vecoriel de dimesio p, mui d ue ase ( = e,, e p, e F u K-espace vecoriel de dimesio, mui d ue ase = e,, e Soi f ue applicaio liéaire de E das F, représeée das les ases e par la marice A Soi x u veceur de E représeé das la ase par la marice ξ ξ uicoloe : X = M ( X = y = f ( x es alors représeé par la marice uicoloe ξp y y Y = M ( f ( x = e Y = AX y

4 Théorème 4 : Soi E u K-espace vecoriel de dimesio p, mui d ue ase = e,, e p, e F u K-espace vecoriel de dimesio, mui d ue ase = e,, e Soie f e g deux applicaios liéaires de E das F : M ( f g M ( f M ( g Soi α u scalaire : M ( αf = α M ( f 3 L applicaio ( E F ( L, M p f M f diml E, F = dimm = p pariculier : p + = + es u isomorphisme d espaces vecoriels E Théorème 5 : Soi E u K-espace vecoriel de dimesio p, mui d ue ase, F u K- espace vecoriel de dimesio, mui d ue ase, e G u K-espace vecoriel de dimesio q, mui d ue ase Alors : Si f es u isomorphisme de E das F (ce qui es possile que si = p, alors la marice M ( g f = M ( g M ( f M ( f es iversile e M ( f = M ( f 3 L applicaio 4 L applicaio L ( E M es u isomorphisme d algères u M ( u GL ( E GL es u isomorphisme de groupes u M ( u 84 Chageme de ases 84 Effe d u chageme de ase sur les coordoées d u veceur Défiiio 8 : Soi E u K-espace vecoriel de dimesio, mui de deux ases e La marice carrée d ordre do les coloes représee les coordoées des veceurs de la ase das la ase es appelée marice de passage de la ase à la ase Proposiio 6 : Si u veceur x a X pour marice uicoloe de coordoées das la ase e X das la ase, alors X = P X P es la marice de l applicaio ideié de E mui de la ase das E mui de la ase L iverse de la marice de passage de la ase à la ase es la marice de passage de la ase à la ase 3 Toue marice de GL ( peu êre cosidérée comme la marice de passage de la ase caoique de K das la ase cosiuée de ses veceurs coloes Exemple : Soi das l espace vecoriel =, X, X, X 3 e (,, (, ( 3 R 3 X les ases = X X X La marice de passage de à es 0 3 P =

5 84 Effe d u chageme de ases sur la marice d ue applicaio liéaire Théorème 6 : Soi E u K-espace vecoriel mui de deux ases e, P la marice de passage de à, F u K-espace vecoriel mui de deux ases e, Q la marice de passage de à Soi f ue applicaio liéaire de E das F, e A M ( f, A M ( f A = Q AP = = Alors Soi u u edomorphisme de E, A = M ( u, A = M u, alors A = P AP 85 Trasposiio 85 Défiiio Défiiio 9 : Soi A M ( O appelle rasposée de A la marice A M ( do les liges so les coloes de A e vice versa Si A = ( a, A ( a Exemple Théorème 7 : L applicaio p = où i, j, p,, a = a M p ( M p es u isomorphisme d espaces vecoriels A A Théorème 8 : (Trasposée d u produi Pour oues marices A M ( e B M ( : ( AB = B A Corollaire : La rasposée d ue marice carrée iversile es ue marice iversile e : ( A = ( A 85 Marices carrées symériques e aisymériques Défiiio 9 : Soi A M ( A es symérique si A = A, c es-à-dire si : [[ ]] i, j,, a = a A es aisymérique si A = A, c es-à-dire si : ( i, j [, ], a = a Théorème 9 : Si K es u sous-corps de C, l esemle S ( K des marices symériques e l esemle A ( K des marices aisymériques so des sous-espaces supplémeaires de M ( p p