I- SUITES RÉCURRENTES LINÉAIRES D'ORDRE 2 II- RÉVISIONS DE PCSI-MPSI

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1 CH MATRICES Lycée Sat-Lous-PSI1 I- SUITES RÉCURRENTES LINÉAIRES D'ORDRE Sot (a, b) IK IK*, s la sute (u ) vérfe IN, u + = a u +1 + b u, commet obtet-o la valeur de u? O forme l'éuato caractérstue P(x) = x² a x b =. 1 er cas : l'éuato caractérstue admet deux races dstctes otées r 1 et r das IK: l exste (λ, µ) IK², IN, u = λ r 1 + µ r. ème cas : l'éuato caractérstue admet ue race double r : l exste (λ, µ) IK², IN, u = (λ + µ) r. 3 ème cas : (a, b) IR IR* et l'éuato caractérstue admet deux races comlexes couguées : ρ e θ et ρ l exste (λ, µ) IR², IN, u = ρ (λ cos ( θ) + µ s( θ)). E gééral, o calcule les costates λ et µ e utlsat les valeurs de u et u 1. e θ : II- RÉVISIONS DE PCSI-MPSI 1. Sot E u IK- esace vectorel de dmeso de base b = (e 1, e,, e ), et F u IK-esace vectorel de dmeso de base c = (f 1, f,, f ) et u l(e, F), la matrce u das les bases b et c est ue matrce A = (a, ), de tye (, ) otée M b, c (u) et 1,, u(e ) = Lorsue x E a our matrce X das la base B alors la matrce de u(x) das la base c. est Y = A X. et s X = (x ) 1 et Y = (y ) 1, 1,, y = FB/ALGCh/14/15 = 1. Sot E u IK- esace vectorel de dmeso de base b = (e 1, e,, e ) et u l(e), la matrce de u das a x. = 1 a f. la base b est ue matrce A = (a, ), de tye (, ) otée M B(u) et 1,, u(e ) = = 1 a e. 3. S u l(e, F) et s v l(f, G), s b est ue base de E, c est ue base de F, d est ue base de G, comléter : M b, d (v o u) = M c, d (v) M B,c (u). 4. S A = (a, ) 1,1 M, (IK) et s B = (b, ) 1 r,1 M r, (IK) o eut effectuer le rodut A B ss = r et das ce cas A B = (c, ) 1,1 est de tye (, ), et 1,, 1,, c, = 5. S b = (e 1, e,, e ) et c = (f 1, f,, f ) sot deux bases de E la matrce P = (, ), de assage de la base b à la base c est ue matrce de tye (, ) telle ue 1,, la ème coloe de P est formée des coordoées de f das la base b. Elle est otée P = Pass b c ou P c b O eut doc écrre our tout 1,, le vecteur f = O eut auss dre ue P est la matrce de Id E ar raort aux bases c et b ou la matrce S X est la matrce de x das la base b et X' est la matrce de x das la base c alors = 1 e = 1 a b. das la base B de u l(e) telle ue 1,, u(e ) = f. X = P X' 6. S b et b' sot deux bases de E et P la matrce de assage de la base b à la base b', s c et c' sot deux bases de F et Q est la matrce de assage de la base c à la base c', s A est la matrce de u l(e, F) das les bases b et c et s A' est la matrce de u das les bases b' et c', alors A' = Q 1 A P.

2 S X = M b (x) et X' = M b ' (x), X = P X' ; s Y = M c (u(x)) = A X et Y' = M c'(u(x)) = A' X', alors Y = Q Y' = Q A' X' = Q A' P 1 X = A X, doc Q A' P 1 = A sot A' = Q 1 A P. 7. Soet b et b' sot deux bases de E, P la matrce de assage de la base b à la base b' et u l(e) ; s A est la matrce de u das la base b et s A' est la matrce de u das la base b', alors A' = P 1 A P. 8. Défto de l'alcato léare caouemet assocée à A M, (IK): l s'agt de l'uue alcato léare u l(ik, IK ) dot la matrce das les bases caoues b de IK et c de IK est égale à A. Défto de l'edomorhsme caouemet assocé à A M (IK): l s'agt de l'uue edomorhsme u L(IK ) dot la matrce das la base caoue B de IK est égale à A. 9. Structure de M, (IK) : c'est u IK- esace vectorel de dmeso égale à Structure de M (IK) : c'est u IK- esace vectorel et u aeau dot l'élémet eutre est oté I de dmeso = ² 1. S A = (a, ) 1,1 M, (IK), la matrce trasosée de A est ue matrce A T = (a', ) 1,1 de tye (, ) telle ue 1,, 1,, a, = a,. III- SOUS-ENSEMBLES DE M (IK) 1. S A M (IK), A est versble ss rg(a) = ss les vecteurs coloes de A formet ue famlle lbre de IK ss les vecteurs lges de A formet ue famlle lbre de IK ss B M (IK) telle ue A B = I C M (IK) telle ue C A = I ss l'edomorhsme caouemet assocé à A est u automorhsme de IK ss our tout alcato léare u de E das F de matrce A das des bases b et c de E et F, où dm E = dm F =, u est u somorhsme de E sur F. A est versble ss t A est versble. et das ce cas t (A 1 ) = ( t A) 1. rorétés de (GL (IK), ), esemble des matrces carrées d'ordre versbles à coeffcets das IK est ue arte stable our la mutlcato, la mutllcato est assocatve, elle admet u élémet eutre I (sot I est das GL (IK) et our tout A de GL (IK), A I = I A = A, et A 1 est auss élémet de GL (IK). O dt ue (GL (IK), ) est u groue. 3. Défto de la base caoue (E, ) 1, de M (IK) E, est ue matrce carrée d'ordre dot tous les termes sot égaux à sauf celu de la lge et coloe u est égal à 1. (,, r, s) 4 1,, E, E r,s = δ,r E, s. La matrce A = (a, ) 1, s'écrt A =,, = 1 = 1 a E. S (, ) 1,, calculer A E, et E, A et écrre les matrces obteues : A E, =,, = 1 = 1 a E E, =, δ,, = 1 = 1 a E =,, = 1 a E, E, A =,,, = 1 = 1 a E E = Toutes les coloes de A E, sot ulles sauf la coloe u cotet la coloe de A. Toutes les lges de E, A sot ulles sauf la lge u cotet la lge de A., δ,, = 1 = 1 a E = a, E, = 1 4. La matrce A = (a, ) 1, est symétrue (, ) 1, ², a, = a,. A T = A La matrce A = (a, ) 1, est atsymétrue (, ) 1, ², a, = a,. A T = A l'esemble s (IK) des matrces symétrues d'ordre est u esace vectorel de dmeso ½ ( + 1). l'esemble a (IK) des matrces atsymétrues d'ordre est u esace vectorel de dmeso ½ ( 1). démotrer ue M (IK) = s (IK) a (IK) : M M (IR), S = ½ (M + t M) vérfe S T = S et A = ½ (M M T ) vérfe A T = A et A + S = M, doc M (IK) s (IK) + a (IK). FB/ALGCh/14/15

3 L'cluso cotrare est évdete. S X s (IK) a (IK), X T = X et X T = X, doc X =, ce u rouve ue s (IK) a (IK) {}. L'cluso cotrare est évdete. 5. Tradure sur les t, T = (t, ) 1, est ue matrce tragulare suéreure (, ) 1, ² tels ue >, t, =. Doer ue base de l'esace vectorel des matrces tragulares suéreures d'ordre à coeffcets das IK les matrces E, our 1 et e doer la dmeso : ½ ( + 1) 6. Sot b = (e 1,, e ) ue base de E et our tout 1,, E = Vect(e 1,, e ). Sot u l(e) et T sa matrce das la base b. T est tragulare suéreure 1,, u(e ) E... Que dre du rodut de deux matrces tragulares suéreures d'ordre? la matrce rodut est tragulare suéreure car c'est la matrce de l'edomorhsme caouemet assocé u o v avec 1,, u(e ) E et v(e ) E doc (u o v)(e ) E. Doer ue CNS our ue T = (t, ) 1, tragulare suéreure sot versble : 1,, t,. Que dre alors de T 1? elle est tragulare suéreure. E effet l'edomorhsme caouemet assocé u est u automorhsme vérfat 1,, u(e ) E. Doc 1,, u(e ) = E, alors u 1 (E ) = E, doc la matrce de u 1 das la base caoue est tragulare suéreure. 7. Défr la trace d'ue matrce carrée d'ordre otée A : Tr(A) =, = 1 a s A = (a, ) 1, Prorétés de l'alcato trace : c'est ue forme léare sur M (IK), telle ue Tr(A T ) = Tr(A) et Tr(A B) = Tr(B A). Que dre de {A / Tr(A) = }? : l s'agt du oyau d'ue forme léare o ulle, doc d'u hyerla de M (IK), c'est u sous-esace vectorel de dmeso ² A uelle codto eut o aluer la formule du bôme de Newto our calculer (A + B) lorsue A et B sot deux matrces carrées d'ordre? s A B = B A Exrmer (A + B) = (A + B) = A B = avec =!!( )! À uelle codto eut-o factorser la relato A B lorsue A et B sot deux matrces carrées d'ordre? s A B = B A Doer la factorsato : A B = ( A B) A B = IV- MATRICES SEMBLABLES 1. S A et B sot deux élémets de M (IK), défr : A et B sot semblables l exste P GL (IK) telle ue A = P B P 1. Iterrétato ratue A et B sot semblables ss ce sot les matrces d'u même edomorhsme u. 3. Doer des codtos écessares our ue deux matrces A et B soet semblables S A et B sot semblables, Tr(A) = Tr(B), rg(a) = rg(b). V- MATRICES BLOCS 1. Comarer s A est ue matrce de tye (, ) de rag r, la matrce A à ue matrce smle doée ar blocs. FB/ALGCh/14/15 3

4 Il exste U GL (IK) et V GL () telles ue A = U J r V avec J r = I r r r r, r, r, r. (hors rogramme). Quad les matrces carrées d'ordre sot décomosée e blocs, das uel cas eut o effectuer sas vérfcato la somme et le rodut de ces deux matrces? Doer le résultat de cette somme et de ce rodut Il sufft ue les deux blocs dagoaux de A et B soet de tye (r, r) et ( r, r) our les deux décomostos Les deux blocs dagoaux de A + B et A B sot alors auss de tye (r, r) et ( r, r). A1 A B1 B A1 + B1 A + B A1B 1 + AB3 A1B + AB4 et s A = et B =, A + B = A3 A4 B3 B et A B =. 4 A3 + B3 A4 + B4 A3B1 + A4B3 A3B + A4B4 P 3. Exercce : calculer sous des hyothèses à récser l'verse des matrces blocs Q et P sot des matrces carrées : C où P et Q Q a) S P et Q sot deux matrces carrées (d'ordre et resectvemet) versbles, P P I e otat R = et R' =, o vérfe ue R R' = = I +, doc la matrce R est versble et so Q Q I verse est égal à R'. X Y b) S P et Q sot deux matrces carrées (d'ordre et resectvemet), o cherche R' =, avec X carrée d'ordre Z et Z carrée d'ordre telles ue R R' = I + PX = I P C X Y R R' = Q Z = PX PY + CZ QZ = I + QZ = I PY + CZ = Pour ue le roblème sot ossble, l est écessare ue P et Q soet versbles. O obtet alors les CNS : X = P 1, Z = Q 1 et P Y = C Z Y = P 1 C Z = P 1 C Q 1. Alors R 1 P = P CQ 4. Quad u est u edomorhsme de E, défr F est u sous-esace vectorel u-stable u(f) F. S F est u sous-esace vectorel u-stable, u'aelle-t-o edomorhsme dut ar u sur F? l s'agt de l'alcato F F, x u(x). Doer ue CNS sur la matrce de u das ue base adatée au sous-esace vectorel F. our ue le sous-esace vectorel F sot u-stable : P C la matrce de u est de la forme où P est alors la matrce de l'edomorhsme dut ar u sur F. Q S (u, v) l(e)², doer ue codto ermettat de dre ue Ker v et Im v sot u-stables : S u v = v u, Ker v et Im v sot u-stables. 5. Doer ue codto écessare et suffsate our ue la matrce de l'edomorhsme u sot dagoale ar blocs. Il exste ue famlle E 1,, E de sous-esaces vectorels de dmeso strctemet ostve et de somme drecte égale à E telle ue chacu des sous-esace vectorels E sot u-stable. Q. VI- POLYNÔMES D'ENDOMORPHISMES ET DE MATRICES 1. S P IK[X] et s u l(e), défr P(u) : o ote P = a + a 1 X + + a X, alors P(u) = a Id E + a 1 u + + a u. Quelles sot les rorétés de u P(u)? (P, Q) (IK[X])², λ IK, (λ P + Q)(u) = λ P(u) + Q(u) ; (P Q)(u) = P(u) o Q(u). Qu'aelle-t-o olyôme aulateur de u? P IK[X] o ul tel ue P(u) =. Justfer l'exstece d'u olyôme aulateur de u lorsue dm E est fe. FB/ALGCh/14/15 4

5 La famlle (Id, u, u²,..., u ) est ue famlle de ² + 1 vecteurs das l esace vectorel L(E) de dmeso ². C est doc ue famlle lée. Il exste doc des scalares (α, α 1,..., α ) o tous uls tels ue α Id +α 1 u α u olyôme P de degré féreur ou égal à ², o ul, tel ue P(u) =. u =, doc Commet l'exstece d'u olyôme aulateur de u ermet-elle (sous ue hyothèse à doer) de rouver ue u GL(E) et de trouver u 1? lorsue P(u) = et P(), alors u est versble O ote P = a X au au a u = a a u u. = 1 a = 1 =, avec a, et = =, doc a Id E = =, Id E = u a 1 Il exste v = u l(e) tel ue u v = v u = Id E, doc u est u automorhsme de E et u 1 = v. a = 1. Sot A M (IK) et P IK[X] défr P(A) : P(A) = = a A lorsue P = = a X. éocer les rorétés de IK[X] M (IK), P P(A). S (P, Q) IK[X]² et s λ IK : (λ P + Q)(A) = λ P(A) + Q(A) et (P Q)(A) = P(A) Q(A). S A M (IK), A admet u olyôme aulateur : La famlle (Id, A, A²,..., A ) est ue famlle de ² + 1 vecteurs das l esace vectorel M (IK) de dmeso ². C est doc ue famlle lée. Il exste doc des scalares (α o,..., α ) o tous uls tels ue α I +α 1 A α A =, doc u olyôme P de degré féreur ou égal à ², o ul, tel ue P(A) =. 3. Commet l'exstece d'u olyôme aulateur de A M (IK) à races smles ermet-elle de détermer A lorsue IN? O suose ue P = (X λ 1 )(X λ ) (X λ ) vérfe P(u) = et les λ sot deux à deux dstcts. Le théorème de dvso eucldee doe : Il exste Q IK[X] et R IK[X] de degré strctemet féreur à tel ue X = P Q + R. O déterme R = a + a 1 X + + a 1 X 1 e résolvat le système λ = P(λ ) Q (λ ) + R (λ ) = R (λ ). Commet l'exstece d'u olyôme aulateur de A ermet-elle (sous ue hyothèse à doer) de rouver ue A GL (IK) et de trouver A 1? S P = a X = est u olyôme aulateur de A tel ue a, et a A = =, doc a I = a A =, a a I = A A. Il exste B = a A M (IK) telle ue A B = I, doc A est ue matrce versble et A 1 = B. = 1 a = 1 VII- OPÉRATIONS ÉLÉMENTAIRES SUR LES LIGNES (COLONNES) D'UNE MATRICE 1. Échage de deux lges : L L ( de 1, ) Aout à la lge de λ L : L L + λ L ( de 1, ) Multlcato ar u scalare s λ, L λ L Oératos élémetares sur les lges d'ue matrce de tye (, ) Multlcato à gauche ar la matrce de ermutato P, = I E, E, + E, + E, Multlcato à gauche ar la matrce de trasvecto T, (λ) = I + λ E, Multlcato à gauche ar la matrce de dlatato (λ) = I + (λ 1) E, O ote (E'', ) 1, 1 la base caoue de M (IK) Oératos élémetares sur les coloes de A de tye (, ) FB/ALGCh/14/15 5

6 Échage de deux lges : C C ( de 1, ) Aout à la coloe de λ C : C C + λ C ( de 1, ) Multlcato ar u scalare s λ, C λ C Multlcato à drote ar la matrce de ermutato P, = I E, E, + E, + E, Multlcato à drote ar la matrce de trasvecto T, (λ) = I + λ E, à l'ordre Multlcato à drote ar la matrce de dlatato (λ) = I + (λ 1) E,,. Quad dt-o ue deux matrces A et A' sot a) éuvaletes ar lges s l'o eut asser de l'ue à l'autre ar ue sute fe d'oératos élémetares sur les lges. O ote alors A ~ L A'. b) éuvaletes ar coloes : s l'o eut asser de l'ue à l'autre ar ue sute fe d'oératos élémetares sur les coloes. O ote alors A ~ C A'. 3. S deux matrces, de tye (, ), A et A' sot éuvaletes ar lges l exste ue matrce E carrée d'ordre versble telle ue A = E A' elles ot même oyau 4. S deux matrces A et A', de tye (, ), sot éuvaletes ar coloes l exste ue matrce E carrée d'ordre versble telle ue A = A' E elles ot même mage 5. Qu'aelle-t-o matrce écheloée A? S A' 'est as ulle, c'est ue matrce telle ue s l'ue des lges est ulle, les lges suvates sot ulles. les lges o ulles commecet toutes ar u terme o ul aelé vot, les vots sot stués das des coloes dot les uméros formet ue sute strctemet crossate. 6. Qu'aelle-t-o matrce écheloée rédute A '? S A' 'est as ulle, c'est ue matrce telle ue s l'ue des lges est ulle, les lges suvates sot ulles. les lges o ulles commecet toutes ar u 1 (ommé vot), les 1 état stués das des coloes dot les uméros formet ue sute strctemet crossate. Prorété our A de tye (, ) A est éuvalete ar lges à ue uue matrce écheloée rédute R, c'est à dre l exste ue matrce carrée d'ordre versble E et ue uue matrce écheloée rédute R telle ue A = E R. FB/ALGCh/14/15 6