Chapitre 2. Calcul matriciel Espaces vectoriels Applications linéaires

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1 Chatre Calcul matrcel Esaces vectorels Alcatos léares Deuxème aée Voe scetfque Cocours 6

2 Fche de cours Tout ce qu l faut absolumet coaître sur le bout des dogts I L esemble ( ) I Déftos A Calcul matrcel Soet et deux eters aturels o uls O aelle matrce à lges et coloes ou matrce ( ) æa a a a a a à coeffcets das toute alcato A de das otée A = ç çççç èç a a a ou A= ( a ) j j Les ( a ) j j sot les coeffcets de A Pour tout les Î a j j de A et our tout j les sot les coeffcets de la j coloe de A Î a j ème sot les coeffcets de la ème lge Soet et deux eters aturels o uls L esemble des matrces oté ( ) à coeffcets das est Matrces artculères Pour tous eters aturels o uls et o déft - les matrces coloes matrces ( ) - les matrces lges matrces ( ) - les matrces carrées (d ordre ) matrces ( ) - les matrces tragulares suéreures ce sot les matrces ( ) telles que "( j ) Î > j a j = - les matrces tragulares féreures ce sot les matrces ( ) telles que "( j ) Î < j a j = - les matrces dagoales ce sot les matrces ( ) telles que "( j ) Î ¹ j a j = - la matrce detté (ou uté) d ordre (otée I ou I ) c est la matrce ( ) telle que ì s = j "( j ) Î a j = so î Sot u eter aturel o ul L esemble des matrces carrées d ordre à coeffcets das est oté Auteur Steeve SARFATI Tous drots réservés Reroducto terdte

3 MasterClass 5-6 ECS ème aée Fche de cours I Oératos sur les matrces II Trasosto Somme de deux matrces Soet et deux eters aturels o uls AB Î ( ) et B = bj j ( ) A= ( aj ) j La somme des matrces A et B est la matrce C Î C = A+ B défe ar C = ( cj ) où "( j ) Î cj = aj + bj Produt d ue matrce ar u scalare Soet et deux eters aturels o uls A= ( a ) et l Î j j j A Î Le rodut de la matrce A ar le scalare l est la matrce C Î C = la défe ar C = ( c ) où "( j ) Î c = la A Î j j j j Produt d ue matrce ar ue matrce coloe Soet et deux eters aturels o uls A= ( a ) et X Î ( ) X = ( x ) j j Le rodut des matrces A et X est la matrce C Î C = AX défe ar C = ( c ) où " Î c = aj xj j= Produt de deux matrces Soet m et tros eters aturels o uls A Î et B Î B = ( b ) m j m j m A= ( aj ) j m Le rodut des matrces A et B est la matrce C Î ( ) C = AB défe ar C = ( cj ) où "( j ) Î cj = a b j = I Pussace d ue matrce Formule du bôme m Soet u eter aturel o ul et A Î ( ) Pour tout Î o déft A ar la relato de ì A = I récurrece O a alors " Î = AA A " - Î A = AA A facteurs Formule du bôme Soet u eter aturel o ul et A Î ( ) et B Î telles que AB = BA æ (o dt que A et B commutet) O a " Î ( A+ B) = ç - AB è = j II Trasosée d ue matrce Défto Soet et deux eters aturels o uls et A Î A= ( a ) La trasosée de la matrce A otée t A "( j ) Î cj = aj est la matrce C Î C = A défe ar C = ( c ) t j j j j où Prorétés Soet et deux eters aturels o uls ( AB ) Î et l Î O a t - ( t A) = A t t t - ( A+ B) = A+ B t t - ( la) = l A Trasosée d u rodut Soet et q tros eters aturels o uls t t t O a ( AB) = B A II Matrces symétrques matrces atsymétrques Soet u eter aturel o ul et A Î A= ( a ) j j Matrces symétrques A est symétrque s "( j ) Î aj = aj A est symétrque s et seulemet s t A= A Matrces atsymétrques A est atsymétrque s "( j ) Î aj =- aj A est atsymétrque s et seulemet s t A=- A III Matrces versbles esemble Sot u eter aturel o ul A Î et B Î q ( ) Défto Sot A Î A est versble s $ B Î AB = BA = I Lorsque A est versble B est aelée verse de A et o ote A - = B L esemble des matrces versbles de est oté GL ( ) Prorétés Soet ( AB ) Î GL ( ) et l Î O a A est versble et ( A ) = A l A est versble et ( la) = A l - AB est versble et ( AB) = B A GL ( ) Iverse d ue trasosée Soet u eter aturel o ul et t - t - A et = ( A ) A Î GL ( ) t A est versble Caractérsato des matrces versbles Sot matrce B Î telle que AB = I ou BA = I A Î A est versble s et seulemet s l exste ue Auteur Steeve SARFATI Tous drots réservés Reroducto terdte Auteur Steeve SARFATI Tous drots réservés Reroducto terdte

4 v MasterClass 5-6 ECS ème aée Fche de cours v æa b 4 Calcul de l verse de matrces de Soet ( abcd) Î et A = A est versble s et ç c d seulemet s ad - bc ¹ et das ce cas A I Systèmes d équatos léares ad -bc æ d ç-ç è c - b a ø B Systèmes léares Déftos Soet et deux eters aturels o uls O aelle système de équatos léares à coues ( Î ) toute -lste d équatos de la forme où les ( a ) système j j x x j j - = ì a x + a x + + a x = b ax + a x + + a x = b ( S) ax + ax + + a x = b (( a ) Î ) sot les coeffcets et les (( b ) Î ) les secods membres du ème ème Pour tout Î la équato de ( S ) est aelée lge de ( S ) et otée L Les solutos du système sot les -lstes ( Î ) vérfat ( S ) Résoudre ( S ) cosste à trouver l esemble des solutos de Le système ( S ) luseurs solutos est dt comatble (ou mossble) s l a aucue soluto Il est dt détermé s l a Deux systèmes sot dts équvalets s ls ot les mêmes solutos Système homogèe Le système ( S ) est dt homogèe s " Î b = Le système homogèe assocé à ( S ) est le système obteu à artr de ( S ) e remlaçat tous les ( b ) ar Écrture matrcelle Soet AX = B ( S ) A= ( a ) j j x x b A s aelle la matrce du système ( S ) et résoudre ( S ) cosste à résoudre l équato AX = B c est-à- aaadre à trouver l esemble des vecteurs X Î ( ) tels que AX = B II Systèmes de Cramer X = x Défto O aelle système de Cramer tout système qu admet ue soluto uque U système ( S) AX = B est u système de Cramer - s et seulemet s le système homogèe assocé AX = admet X = our soluto uque e - s et seulemet s A est versble Auteur Steeve SARFATI Tous drots réservés Reroducto terdte et B = ( b ) ( S ) s écrt matrcellemet III Méthode du vot de Gauss III Oératos élémetares sur les lges Sot ( ab) Î ( ) Les oératos élémetares sur les lges d u système (res d ue matrce) sot - l échage de deux lges oté L «Lj ( ¹ j) - la multlcato d ue lge ar u scalare o ul otée L al - l addto d u multle d ue lge à ue autre otée L L + blj ( ¹ j) - l addto d u multle d ue lge à u multle o ul d ue autre otée L al + blj ( ¹ j) Ue oérato élémetare sur les lges trasforme u système e u système équvalet III Résoluto de systèmes léares ar la méthode du vot de Gauss Elle cosste à utlser les oératos élémetares sur les lges de ( S ) af de trasformer u systèmeaaa quelcoque e u système écheloé c est-à-dre tel que our tout Î les coeffcets des sur L soet uls et tel que our tout Î - s les coeffcets des uls alors les coeffcets des sur L + sot uls égalemet équvalet où Sot à résoudre le système $ ( j ) Î a j ¹ x j ì a x + a x + + a x = b ax + ax + + a x = b ( S) ax + ax + + a x = b a S a ¹ (a est aelé vot) o effectue our tout Î l es oératos L L - L Le systèmeaaa a x j- x - ( j Î + ) sur L sotaaa ì L ( S) est alors trasformé e u système équvalet où ( S ) est u système de - équatos à - ( S ) aaacoues O alque esute la méthode à ( S ) x S a = deux cas se résetet - s $ jî a j ¹ o effectue la trasformato L «Lj et o se ramèe alors au cas récédet ì a x + + a x = b a x + + a x = b - so o cosdère le système ( S ) où est le lus ett eter tel que a x + + a x = b $ jî a j ¹ et o alque la méthode à ( S ) O aboutt alors e térat la méthode jusqu à ce que le système résduel ( S ) sot au lus u système d ue équato à ue coue à u système écheloé us o déterme les soluto s de ( S ) e rocédat ar substtuto Auteur Steeve SARFATI Tous drots réservés Reroducto terdte

5 v MasterClass 5-6 ECS ème aée Fche de cours v ( S) AX = B est u système de Cramer (e admet ue soluto uque) s et seulemet s l exste ue sute de trasformatos élémetares sur les lges de ( S ) (res de A) qu codut à u système équvalet écheloé tel que our tout le coeffcet de x sur L sot o ul (res à ue matrce tragulare suéreure Î dot tous les coeffcets dagoaux sot o uls) III Alcato à l verso des matrces carrées Soet u eter aturel o ul et A Î ( ) A= ( aj ) A est versble s et seulemet s our j tout ( y ) Î le système ( S ) de aram ètres et d coues y x ì a x + a x + + a x = y ax + a x + + a x = y ax + ax + + a x = y admet ue soluto uque Das ce cas l exste ue uque famlle ( a ) j j telle que our æ tout ( y ) j sot la soluto du système et o a alors Î ( x ) = a j y ç A - = ( aj ) j= Soet u eter aturel o ul et A Î ( ) A est versble s et seulemet s l exste ue sute de trasformatos élémetares sur les lges de A qu mèe à ue matrce tragulare (suéreure) dot tous les coeffcets dagoaux sot o uls Î j Das ce cas e osat A= I A et e effectuat ue sute de trasformatos élémetares sur les lges de A - et de I o obtet I = A A Caractérsato des matrces tragulares versbles Sot A ue matrce tragulare (et e artculer dagoale) A est versble s et seulemet s tous ses coeffcets dagoaux sot o uls - est ue lo de comosto extere sur E de domae " uî E " lî ( lu) ÎE et ì l( u + v) = l u + l v ( l+ m) u = lu + mu - "( uv ) Î E "( lm) Î ( lm) u = l ( m u) u = u Les élémets de E sot aelés vecteurs et les élémets de scalares Exemles usuels Soet u eter aturel o ul et I u tervalle de - ( + ) est u -esace vectorel - ( [ X ] + ) est u -esace vectorel - ( [ ] + ) est u -esace vectorel X - les esembles des foctos de I das des foctos cotues de I das des foctos de classe C de I das des foctos de classe C de I das mus des los + et sot des -esaces vectorels - l esemble des sutes d élémets de mu des los + et est u -esace vectorel I Sous-esaces vectorels Défto Soet ( E + ) u -esace vectorel et F u sous-esemble de E F est u sous-esace vectorel de E s - F ¹Æ - F est stable our + "( uv ) Î F ( u+ v) Î F - F est stable our "( l u) Î F( lu) ÎF F est alors u -esace vectorel Sot E u -esace vectorel L tersecto d ue famlle (fe ou fe) de sous-esaces vectorels de E est u sous-esace vectorel de E I Combasos léares sous-esace egedré Soet u eter aturel o ul E u -esace vectorel ( u ) ue famlle de vecteurs de E et u Î E C Esaces vectorels et alcatos léares I Esaces vectorels sous-esaces vectorels I Esaces vectorels Défto Sot E u esemble mu d ue lo de comosto tere otée + et d ue lo de comosto extere à oérateurs das ( = ou ) otée E mu des los + et oté ( E + ) ou E est u esace vectorel sur ou u -esace vectorel s - + est ue lo de comosto tere sur E "( xy ) Î E( x+ y) Î E - + est assocatve "( xyz ) Î E ( x+ y) + z= x+ ( y+ z) - + admet u élémet eutre $ eî E " x Î E x + e = e + x = x (e est gééralemet oté E ou ) - tout élémet x de E admet u symétrque y our + " x Î E $ yî E x + y = y + x = E - + est commutatve "( xy ) Î E x+ y= y+ x Combaso léare O dt que u est combaso léare des vecteurs s $ ( l ) Î u = lu Sous-esace egedré L esemble des combasos léares des vecteurs u u vectorel de E C est le sous-esace vectorel egedré ar les vecteurs ( ) oté Vect ( u ) I4 Sous-esaces stables ar u edomorhsme u est u sous-esace Soet E u -esace vectorel F u sous-esace vectorel de E et f Î ( E) O dt que F est stable ar f s f ( F) Ì F e " xîf fx () Î F Auteur Steeve SARFATI Tous drots réservés Reroducto terdte Auteur Steeve SARFATI Tous drots réservés Reroducto terdte

6 v MasterClass 5-6 ECS ème aée Fche de cours x I5 Famlles lbres famlles géératrces bases II Somme drecte d ue famlle fe de sous-esaces vectorels Soet u eter aturel o ul et E u -esace vectorel Famlle lbre Sot u ue famlle fe de vecteurs de E La famlle (ou les vecteurs sot léaremet déedats) s u "( l ) Î lu = " Î l = Das le cas cotrare o dt qu elle est lée (ou que les vecteurs est ue famlle lbre de E sot léaremet déedats) Toute famlle coteue das ue famlle lbre est lbre Toute famlle coteat ue famlle lée est lée Famlle géératrce Soet ue famlle fe de vecteurs de E La famlle est ue famlle géératrce de E (ou egedre E ) u Toute famlle coteat ue famlle géératrce est géératrce Base Soet ue famlle fe de vecteurs de E La famlle est ue base de E s u est ue famlle lbre et géératrce de E e s " u Î E $!( l) Î u = l u O dt alors que our tout l est la coordoée de u das la base Base caoque de Pour tout o désge ar e le vecteur à comosates das la base ( e ) écrt alors u = le Base caoque de [ X] La famlle ( X ) est la base caoque de [ X ] II Somme et somme drecte d ue famlle fe de sous-esaces vectorels II Somme d ue famlle fe de sous-esaces vectorels Somme de deux sous-esaces vectorels Soet E u -esace vectorel et F et G deux sous-esaces vectorels de E La somme des sous-esaces vectorels F et G otée F + G est le sous-esace vectorel de E F + G = { u + v u ÎF et v Î G} Somme d ue famlle fe de sous-esaces vectorels Soet u eter aturel o ul E u -esaceaaa vectorel et ue famlle de sous-esaces vectorels de E La somme des sous-esaces vectorels otée F + F + + F ou F est le sous-esace vectorel de E u s " uîe $ ( l) Î u = lu u Î ème Î u u u u e = ( ) (le est lacé e osto) La famlle est la base caoque de aaatout vecteur u = ( l ) F ème s e æ ü ý þ F = u u F Îç ç ç = ø ì F Somme drecte de deux sous-esaces vectorels Soet E u -esace vectorel et F et G deux sousesaces vectorels de E O dt que F et G sot e somme drecte (ou que la somme de F et G est drecte) s " uî ( F+ G) $!( vw ) Î F G u= v+ w La somme de F et G est alors otée Caractérsato de deux sous-esaces vectorels e somme drecte Soet E u -esace vectorel et F et G deux sous-esaces vectorels de E F et G sot e somme drecte s et seulemet s F Ç G = {} Somme drecte d ue famlle fe de sous-esaces vectorels Soet u eter aturel o ul E u -esace vectorel et ue famlle de sous-esaces vectorels de E O dt que les sot e F æ æ somme drecte (ou qu e la somme des ( F ) est drecte) s F u = u " uî F! u ç $ Îç ç ç è ø è = ø La somme des est alors otée F ÅF Å ÅF ou Caractérsato d ue famlle de sous-esaces vectorels e somme drecte Soet u eter aturel o ul E u -esace vectorel et ue famlle de sous-esaces vectorels de E Les sot e æ somme drecte s et seulemet s "( u ) Î æ F u u = " Î = ç è ø II Sous-esaces vectorels sulémetares Sous-esaces vectorels sulémetares Soet E u -esace vectorel et F et G deux sous-esacesaaa vectorels de E F et G sot sulémetares das E s F et G sot e somme drecte et e F Å G = E e s " uî E $!( vw ) Î F G u= v+ w Caractérsato de deux sous-esaces vectorels sulémetares Soet E u -esace vectorel et Faaa ì F + G = E et G deux sous-esaces vectorels de E F et G sot sulémetares das E s et seulemet s F Ç G = {} ì" uî E $ ( vw) Î F G u= v+ w e F Ç G = {} III Alcatos léares III Alcatos léares Défto Soet ( E + ) et ( F + ) deux -esaces vectorels et j ue alcato de E das F j est ue alcato léare de E das F s - "( uv ) Î E j( u+ v) = j( u) + j( v) - "( l u) Î E j( lu) = lj ( u) F Å G F F Å F F F F + G = E Soet E et F deux -esaces vectorels S j est ue alcato léare de E das F alors æ " Î "( u) Î E "( l ) j( u Î j l u = l ) ç ø Auteur Steeve SARFATI Tous drots réservés Reroducto terdte Auteur Steeve SARFATI Tous drots réservés Reroducto terdte

7 x MasterClass 5-6 ECS ème aée Fche de cours x Forme léare Sot E u -esace vectorel O aelle forme léare sur E toute alcato léare de E das III Structures d esembles d alcatos léares Soet E et F deux -esaces vectorels Déftos - j est u somorhsme de E das F s j est ue alcato léare bjectve de E das F - j est u edomorhsme de E s j est ue alcato léare de E das E - j est u automorhsme de E s j est ue alcato léare bjectve de E das E Notatos O ote - ( EF ) l esemble des alcatos léares de E das F - ( E) l esemble des edomorhsmes de E - GL( E ) l esemble des automorhsmes de E ( ( EF ) + ) et ( ( E ) + ) sot deux -esaces vectorels O dt que E et F sot somorhes s l exste u somorhsme de E das F III Noyau et mage Soet E et F deux esaces vectorels et j Î ( EF ) Noyau O aelle oyau de j et o ote Ker j l esemble Ker j = { x Î E/ j() x = } Ker j est u sous-esace vectorel de E j est jectve s et seulemet s Ker j = {} Image O aelle mage de j et o ote Im j l esemble Im j = j( E) = { y Î F/ $ xî E y = j( x) } Im j est u sous-esace vectorel de F j est surjectve s et seulemet s Im j = F III4 Comosée de deux alcatos léares Formule du bôme Comosée de deux alcatos léares Soet E F et G tros esaces vectorels gî ( FG ) O a ( g f) Î ( EG ) f Î ( EF ) et Prorétés Soet E F et G tros esaces vectorels ( fg) Î ( ( EF )) et ( jy ) Î ( ( FG )) O a - j( f + g) = j f + j g - ( j+ y) f = j f + y f ì f = d Sot f Î ( E) Pour tout Î o déft f ar la relato de récurrece O a - " Î f = f f alors " Î f = f f f termes Formule du bôme Soet E u esace vectorel et f et g deux edomorhsmes de E tels que æ f g = g f (o dt que f et g commutet) O a ( f g) - " Î + = ç ( f g ) ø III5 Isomorhsme récroque d u somorhsme Soet E F et G tros esaces vectorels S f est u somorhsme de E das F alors = f - est u somorhsme de F das E f est u somorhsme de E das F s et seulemet s l exste ue alcato léare g de F das E telle que f g = g f = d g est alors uque et g = f - est u somorhsme de F das E S f est u somorhsme de E das F et g est u somorhsme de F das G alors g f est u somorhsme de E das G et ( g f) - = f - g - III6 Projecteurs symétres et homothétes Soet E u -esace vectorel et et F deux sous-esaces vectorels sulémetares de E O a " uî E $!( u u ) Î F F u = u + u II6a Projecteurs Défto L alcato E E u u de drecto (ou arallèlemet à) F Prorétés Sot u rojecteur sur F de drecto F O a - Ker = F - Im = F - Ker( - d E ) = F - Im( - d E ) = F - Im Å Ker = E est u edomorhsme de E aelé rojecteur (ou rojecto) sur Caractérsato d u rojecteur Sot Î ( E) est u rojecteur de E s et seulemet s = II6b Symétres Défto L alcato arallèlemet à F F E s E u u - u est u edomorhsme de E aelé symétre ar raort à Prorétés Sot s ue symétre ar raort à F arallèlemet à F O a - Ker( s - d E ) = F - Im( s - d E ) = F - Ker( s + d E ) = F - Im( s + d ) = F E F F Auteur Steeve SARFATI Tous drots réservés Reroducto terdte Auteur Steeve SARFATI Tous drots réservés Reroducto terdte

8 x MasterClass 5-6 ECS ème aée Fche de cours x II6c Homothétes Sot l Î L alcato h l E E x lx est u edomorhsme de E aelé homothéte de raort l II Sous-esaces vectorels e dmeso fe II Dmeso d u sous-esace vectorel Soet E u -esace vectorel de dmeso fe et F u sous-esace vectorel de E F est de dmeso fe et dm F dm E I Bases et dmeso D Esaces vectorels de dmeso fe I Esaces vectorels de dmeso fe Théorème de la dmeso Esace vectorel de dmeso fe Sot E u -esace vectorel O dt que E est de dmeso fe s l admet ue famlle géératrce fe Exstece de bases Tout esace de dmeso fe admet ue base Soet E u -esace vectorel de dmeso fe ue famlle lbre de E et ue famlle géératrce de E Le ombre d élémets de est féreur ou égal au ombre d élémets de Théorème de la dmeso Sot E u -esace vectorel dstct de fe Toutes les bases de E ot même cardal la dmeso de E otée dm E Par coveto o ose admettat ue famlle géératrce Isomorhsme avec Soet u eter aturel o ul et E u -esace vectorel E est de dmeso s et seulemet s l est so morhe à Soet E et F deux -esaces vectorels de dmesos fes E et F sot somorhes s et seulemet s dm E = dm F I Caractérstques d ue famlle de vecteurs Théorème de la base comlète Caractérsato d ue famlle de vecteurs de E Soet et deux eters aturels o uls E u -esace vectorel de dmeso et ue famlle de vecteurs de E - S la famlle est ue famlle lbre de E alors ; das ces codtos la famlle est ue base de E s et seulemet s - S la famlle est ue famlle géératrce de E alors ³ ; das ces codtos la famlle est ue base de E u u s et seulemet s dm {} = = = u Théorème de la base comlète Soet et deux eters aturels o uls tels que < E u -esace vectorel de dmeso admettat ue base et ue famlle lbre de vecteurs de E u La famlle eut être comlétée e ue base de E ar - vecteurs de u {} u u Das ce cas s dm F = dm E alors F = E Drote et la vectorels O aelle drote vectorelle tout esace vectorel de dmeso O aelle la vectorel tout esace vectorel de dmeso Hyerla vectorel Soet u eter aturel o ul et E u -esace vectorel de dmeso O aelle hyerla vectorel de E tout sous-esace vectorel de E de dmeso - Dmeso de la somme de deux sous-esaces vectorels Soet E u -esace vectorel et F et G deux sous-esaces vectorels de E de dmesos fes O a dm( F + G) = dm F + dmg -dm( F Ç G) II Exstece et dmeso d u sulémetare Soet E u -esace vectorel de dmeso fe et F u sous-esace vectorel de E F a au mos u sulémetare G das E et dm F + dmg = dm E Caractérsato de sous-esaces sulémetares e dmeso fe Soet E u -esace vectorel de dmeso fe et F et G deux sous-esaces vectorels de E F et G sot sulémetares das E ì F Ç G = {} - s et seulemet s dm F + dmg = dm E e ì F + G = E - s et seulemet s dm F + dmg = dm E Soet E u -esace vectorel de dmeso fe et F et G deux sous-esaces vectorels de E F et G sot sulémetares das E s et seulemet s e cocatéat ue base de F à ue base de G o obtet ue base de E II Dmeso d ue somme drecte Dmeso d ue somme drecte Soet u eter aturel o ul E u -esace vectorel de dmeso fe et ue famlle de sous-esaces vectorels de E S les esaces vectorels sot e somme F æ drecte alors dm ç F = dm( F) Soet E u -esace vectorel de dmeso fe et ue famlle de sous-esaces vectorels de E Les esaces vectorels sot e somme drecte et F = E s et seulemet s e cocatéat les bases des o obtet ue base de E F Å F F Å F Auteur Steeve SARFATI Tous drots réservés Reroducto terdte Auteur Steeve SARFATI Tous drots réservés Reroducto terdte

9 xv MasterClass 5-6 ECS ème aée Fche de cours xv III Matrces et alcatos léares III Matrce d ue famlle fe de vecteurs das ue base Matrce (ou vecteur) coloe Soet u eter aturel o ul E u -esace vectorel de dmeso = ue base de E et u Î E u = x e e La matrce rerésetat le vecteur u das la base otée arfos X Î ( ) X = ( x ) Matrce rerésetat ue famlle fe de vecteurs de Soet et deux eters aturels o uls ( u ) ue famlle de vecteurs de et = ue base de e ( u) est la matrce coloe La matrce rerésetat la famlle das la base otée arfos est la matrce u de dot les coeffcets de la ème j coloe ( j ) so t les coordoées de u das la base III Matrce d ue alcato léare das des bases Î j u e Matrce rerésetat ue alcato léare Soet et deux eters aturels o uls E u aaa-esace vectorel de dmeso F u -esace vectorel de dmeso = ue base de E = ue base de F et f j Î ( EF ) e La matrce rerésetatve de j de la base das la base otée ( j) est la matrce de ( ) rerésetat les vecteurs ( j( e )) das la base ( f ) c est-à-dre la matrce dot les coeffcets deaaa ème la j coloe ( j Î ) sot les coord oées de j ( ej ) das la base ( f ) Matrce rerésetat u edomorhsme Soet u eter aturel o ul E u -esace vectorel de dmeso = ue base de E et j Î ( E) e La matrce rerésetatve de j das la base otée ( j) est la matrce de rerésetat les aaavecteurs ( j( e )) das la base ( e ème ) c est-à-dre la matrce dot les coeffcets de la j coloe ( j Î ) sot les coordoées de j ( e j ) das la base ( e ) Matrce lge et forme léare Soet u eter aturel o ul E u -esace vectorel de dme- so = ue base de E et j ue forme léare de E e La matrce rerésetatve de j das la base est la matrce lge X Î X = ( xx x ) telle que " uî E u= ue j( u) = xu III Le etre oératos matrcelles et alcatos léares Soet et deux eters aturels o uls E u -esace vectorel de dmeso F u -esace vectorel de dmeso j Î ( EF ) de matrce rerésetatve A Î das des bases doées de E et F et l Î lj a our matrce rerésetatve l A das ces mêmes bases Soet et deux eters aturels o uls E u -esace vectorel de dmeso F u -esaceaaa vectorel de dmeso j Î ( EF ) de matrce rerésetatve A Î das des bases doées de E et F aaa et u Î E de matrce rerésetatve X Î das cette base de E j ( u) a our matrce rerésetatve AX das cette base de F Soet m et tros eters aturels o uls E u -esace vectorel de dmeso F u -esace vectorel de dmeso m G u -esace vectorel de dmeso et j Î ( FG ) et y Î ( EF ) de matrces rerésetatves resectves A Î m et B Î m das des bases doées de E F et G j y a our matrce rerésetatve AB das ces bases de E et G aaaet se Soet u eter aturel o ul E et F deux -esaces vectorels de dmeso ue base de E ue base de F et j Î ( EF ) de matrce rerésetatve A Î das les bases et j est bjectve s ulemet s A est versble et das ce cas j - a our matrce rerésetatve A - das les bases et III4 Esace vectorel Soet et deux eters aturels o uls Esace vectorel est u -esace vectorel Base caoque de ( ) Soet et deux eters aturels o uls Pour tout ( j ) Î ème E le vecteur de dot tous les coeffcets sot uls sauf celu stué sur la lge et laaaa j ème coloe qu vaut La famlle ( E ) est la base caoque de Tout ve ( ) cteur A= ( a ) aaao ote ( ) ( + ) j j j aaadas la base ( E ) j j s écrt alors A= aj E j j j j Isomorhsme avec ( EF ) Soet E u -esace vectorel de dmeso F u -esace vectorel de dmeso ue base de E et ue base de F L alcato F d esaces vectorels ( EF ) est u somorhsme j ( j) GL( E) GL Soet E u -esace vectorel de dmeso et ue base de E L alcato F j ( j) est bjectve Soet et deux eters aturels o uls E u -esace vectorel de dmeso F u -esaceaaa vectorel de dmeso et j Î ( EF ) et y Î ( EF ) de matrces rerésetatves resectves A Î et B Î das des bases doées de E et F a our matrce rerésetatve A B das cesaaa j+ y + mêmes bases Auteur Steeve SARFATI Tous drots réservés Reroducto terdte Auteur Steeve SARFATI Tous drots réservés Reroducto terdte

10 xv MasterClass 5-6 ECS ème aée Fche de cours xv IV Rag et formule du rag Soet et deux eters aturels o uls et A Î O a rg = rg( A) t A IV Rag d ue famlle fe de vecteurs Soet u eter aturel o ul E u -esace vectorel I ue arte fe de et vecteurs de E ( u ) Î I ue famlle de Égalté des rags d ue alcato léare et de sa matrce das des bases Soet et deux eters aturels o uls E u -esace vectorel de dmeso F u -esace vectorel de dmeso et j Î ( EF ) de matrce rerésetatve A Î das des bases doées de E et F O a rg( A) = rg( j) O aelle rag de la famlle ( u ) et o ote rg ( u ) la dmeso de l esace vectorel egedré ar Î I la famlle ( u ) Î e rg (( u ) ) = dm Vect (( u ) ) I Soet u u vecteur de E a Î et ( a ) ue famlle d élémets de O a - rg (( u ) ) = rg (( u ) ) ÎI ÎI ÎI æ - rg ( u) au ç rg (( u) ) ÎI = ÎI ø ÎI - rg (( u ) a u ) = rg (( u ) u ) ÎI ÎI æ - rg ( u) u au ç + rg (( u) u) ÎI = ÎI ø ÎI Î I ÎI Î I IV5 Formes léares et hyerla Soet E u -esace vectorel de dmeso fe et F u sous-esace vectorel de E F est u hyerla de E s et seulemet s c est le oyau d ue forme léare o ulle sur E V Polyôme d u edomorhsme d ue matrce Soet et deux eters aturels o uls P= ax f Î ( E) et A Î = + Î E u -esace vectorel P Î [ X ] a IV Image et rag d ue alcato léare Image Soet u eter aturel o ul E et F deux -esaces vectorels tels que ue base de E et j Î ( EF ) O a Im j = Vect (( j ( e )) ) e dm E = V Polyôme d u edomorhsme d ue matrce est u edomorhsme de E aelé olyôme de l edo- Polyôme d u edomorhsme Pf () = af = morhsme f Rag d ue alcato léare Soet E et F deux -esaces vectorels E de dmeso fe et j Î ( EF ) O aelle rag de j et o ote rg( j ) la dmeso de Im j e rg( j) = dm(im j) IV Formule du rag Formule du rag Soet E et F deux -esaces vectorels E de dmeso fe et j Î ( EF ) O a dm(im j) + dm(ker j) = dm E e rg( j) = dm E - dm(ker j) Prorétés - "( PQ ) Î ( [ X] ) " lî ( lp+ Q)( f) = lp( f) + Q( f) - "( PQ ) Î ( [ X] ) ( PQ)( f) = Pf Qf = Qf Pf - s $ ( l x) Î E fx () = lx alors " PÎ [ X] Pf ( x) = Pl x Polyôme d ue matrce PA = aa est u élémet de aelé olyôme de la matrce A = Caractérsato des somorhsmes Soet E et F deux -esaces vectorels de même et j Î ( EF ) j est bjectve s et seulemet s j est jectve ou surjectve IV4 Rag d ue matrce dmeso fe Prorétés - "( PQ ) Î ( [ X] ) "( lm ) Î ( lp+ mq)( A) = lpa + mqa - "( PQ ) Î ( [ X] ) ( PQ)( A) = PAQA = QAPA - s $ ( l X) Î AX = lx alors " PÎ [ X] PAX = P( l) X Défto Soet et deux eters aturels o uls et ote rg( A ) le rag de la famlle des vecteurs coloe de A A Î O aelle rag de A et o S A est la matrce rerésetatve de f das ue base de E alors de Pf () das cette même base PA est la matrce rerésetatve Sot cette derère ( ab) Î ( ) Les oératos élémetares sur les coloes d ue matrce coservet le rag de - l échage de deux coloes oté C «C ( ¹ j) j - la multlcato d ue coloe ar u scalare o ul otée C ac - l addto d u multle d ue coloe à ue autre otée C C + ac j ( ¹ j) - l addto d u multle d ue coloe à u multle o ul d ue autre otée C ac + bc j ( ¹ j) V Polyôme aulateur d u edomorhsme d ue matrce Polyôme aulateur d u edomorhsme P est u olyôme aulateur de f s Exemles usuels - Sot l Î X - l est u olyôme aulateur de l homothéte de raort l de E - X - X est u olyôme aulateur de tout rojecteur de E - X - est u olyôme aulateur de toute symétre de E Pf = Auteur Steeve SARFATI Tous drots réservés Reroducto terdte Auteur Steeve SARFATI Tous drots réservés Reroducto terdte

11 xv MasterClass 5-6 ECS ème aée Polyôme aulateur d ue matrce P est u olyôme aulateur de A s PA = Tout edomorhsme d u esace vectorel de dmeso fe toute matrce carrée admet au mos u olyôme aulateur o ul VI Chagemet de bases matrce de assage matrces semblables Fche méthodologque Be comredre le cours et maîtrser les méthodes classques de résoluto Soet u eter aturel o ul E u -esace vectorel de dmeso et = deux bases de E e et = ( ) e I Gééraltés VI Matrce de assage Défto La matrce de assage de à otée est la matrce rerésetat la famlle ( ) das la base C est la matrce de l alcato d de la base das la base e est versble et so verse est la matrce de assage de à e P VI Formules de chagemet de bases P P Formule de chagemet de bases our les coordoées d u vecteur Soet rerésetat u das et la matrce rerésetat u das O a X = P X X Auteur Steeve SARFATI Tous drots réservés Reroducto terdte - = P u Î E X e la matrce Formule de chagemet de bases our la matrce assocée à u edomorhsme Soet f Î ( E) A la aaamatrce rerésetatve de f das la base et B la matrce rerésetatve de f das la base O a B P AP - = VI Matrces semblables Sot ( AB ) Î Défto A et B sot semblables s $ PÎ GL B = P - AP A et B sot semblables s et seulemet s A et B rerésetet le même edomorhsme de E (das des bases dfféretes) VII Trace d ue matrce Défto Sot u eter aturel o ul et A Î A= ( a ) O aelle trace de A et o ote Tr( A ) la somme de ses coeffcets dagoaux e Tr j j A = a Léarté de la trace Sot u eter aturel o ul L alcato léare e "( l AB ) Î ( ( )) Tr( la+ B) = l Tr( A) + Tr( B) Tr est ue forme A Tr( A) Ivarace de la trace ar chagemet de base Deux matrces semblables ot même trace e - "( AP ) Î GL ( ) Tr( A) = Tr( P AP) Atteto e algèbre léare u vecteur est as u segmet de drote avec ue flèche au bout mas eut être u élémet de u olyôme u vecteur coloe ue matrce carrée ue sute ue focto E algèbre léare l faut aredre à chasser ses velles habtudes ssues des modes des esembles ou des réels Par exemle - Æ est as u esace vectorel le lus ett esace vectorel est {} - f est as l edomorhsme f élevé à la ussace mas f f f - ue relato du tye f = g (et o a alors f h = g h) facteurs eut être comosée à gauche ar h (et o a alors h f = h g) ou à drote ar h - s deux matrces A et B sot telles que AB = o a as écessaremet A = ou B = - das le cas gééral o a as écessaremet AB = BA - avat d utlser la formule du bôme our exrmer ( A+ B) l faut vérfer que A et B commutet e AB = BA - ue relato du tye A= B eut être multlée à gauche ar C (et o a alors CA = CB) ou à drote ar C (et o a alors AC = BC ) II Esaces vectorels II Motrer qu u esemble est u esace vectorel Pour motrer qu u esemble F mu des los + et est u esace vectorel o eut - motrer que F est u sous-esace vectorel d u esace vectorel E cou (cf 5) e motrat que F Ì E F ¹Æ (e motrat gééralemet que le vecteur ul de E est élémet de F ) et F est stable our les los + et aaa(e "( l uv ) Î F ( lu+ v) ÎF) - rever à la défto (mas comme la démostrato est logue et fastdeuse o e revedra à la défto que lorsque F est as u sous-esace vectorel d u esace vectorel cou cf C4) Les esaces vectorels (mus des los + et ) au rogramme sot - [ X ] [ X ] - s I est u tervalle de les esembles des foctos de I das des foctos cotues de I das des foctos de classe C de I das des foctos de classe C de I das - l esemble des sutes d élémets de - S E et F sot deux esaces vectorels ( EF ) et ( E) (mas as GL( E )) - S et sot deux eters aturels o uls ( ) et ( ) (mas as GL ( )) Auteur Steeve SARFATI Tous drots réservés Reroducto terdte

12 xx MasterClass 5-6 ECS ème aée Fche méthodologque xx O eut égalemet démotrer qu u esemble F mu des los + et motrat que - F est le oyau ou l mage d ue alcato léare - F est l tersecto d esaces vectorels est u esace vectorel e - F est egedré ar ue famlle ( u ) de vecteurs (e tout vecteur de F est combaso léare des vecteurs ( u ) Î I ) II Icluso égalté Î I Pour motrer qu u esace vectorel E est clus das u esace vectorel F o chost gééralemet u élémet x Î E et o motre que x Î F Pour motrer que deux esaces vectorels sot égaux o eut - motrer que E Ì F et F Ì E (cf ) ou - E Ì F ou F Ì E et que E et F sot de même dmeso fe (cf ) O otera égalemet les résultats hors-rogramme suvats lorsque E F G et esaces vectorels (cf C) - " ÎI F ÌE F ÌE ÎI - " ÎI E ÌF E Ì F et - F È G est u sous-esace vectorel de E s et seulemet s F Ì G ou G Ì F II Famlles lbres géératrces bases sot des Pour motrer qu ue famlle de vecteurs est lbre l faut motrer que "( l ) Î lu = " Î l = Pour cela o eut - rocéder drectemet e résolvat le système dut ar les équatos l u = (cf 6) - rocéder ar récurrece e motrat que our tout Î la famlle est lbre (cf E et F) - rocéder ar récurrece e motrat que our tout Î l = (cf E et F) O otera que - toute famlle de olyômes o uls et de degrés (ou de valuatos) deux à deux dstct(e)s est lbre (résultat hors-rogramme cf E) - our motrer la lberté de famlles de foctos (cf F) o rocède gééralemet ar comaraso de valeurs e des ots doés sur des tervalles doés ar comaraso de lmtes de domaes de cotuté de dérvablté ar dérvato (évetuellemet double) Pour motrer qu ue famlle l u = ÎI u u $ ( l) Î {} lu = et ce e exhbat ue -lste u de vecteurs est lée (cf 6) l faut motrer que Noter qu ue famlle costtuée d u uque vecteur u est lbre s et seulemet u ¹ l ( F ) Î I de scalares o tous uls telle que Pour motrer qu ue famlle de vecteurs est géératrce d u esace vectorel E (cf 7) u - sot l esace est réseté sous la forme famlle géératrce de E Vect ( u ) et la famlle est alors ar défto ue - sot o chost u vecteur u Î E et à l ade des codtos qu l dot remlr o trouve des scalares et u u des vecteurs tels que u = l u et la famlle est alors ue famlle géératrce de E Pour motrer qu ue famlle est ue base d u esace vectorel E (de dmeso fe) o eut (cf 8) - motrer qu elle forme ue famlle lbre et ue famlle géératrce de E ou - s l o coaît déjà la dmeso de E motrer qu elle est lbre et maxmale (e qu elle est lbre et costtuée d autat de vecteurs que la dmeso de E ) vore géératrce et mmale (e qu elle est géératrce et costtuée d autat de vecteurs que la dmeso de E ) O otera que s E = F Å G (res E = Å F ) et s l o coaît ue base de F et ue base de G (res our tout Î ue base de ) o obtet ue base de E e cocatéat (e e juxtaosat) les bases de F et de G (res les bases des ) F F O otera les résultats hors-rogramme suvats (cf exercce A) s E et F sot deux esaces vectorels de dmesos fes et f est ue alcato léare de E das F alors - l mage ar f d ue famlle géératrce de E est ue famlle géératrce de u Im f - s f est jectve alors l mage ar f d ue famlle lbre de E est ue famlle lbre de F - s f est jectve alors l mage ar f d ue base de E est ue base de Im f O otera égalemet les résultats hors-rogramme suvats (cf D) s de vecteurs de E où E est u esace vectorel de dmeso alors - forme ue famlle lbre de E s et seulemet s rg ( u ) u = u u - forme ue famlle géératrce de E s et seulemet s rg ( u ) - forme ue base de E s et seulemet s rg ( u ) = = O otera ef les résultats hors-rogramme suvats (cf E) l est ue famlle - s a et b sot deux réels dstcts alors our tout Î la famlle (( X - a )( X - b ) - ) forme ue base de [ X ] - s est ue sute de réels deux à deux dstcts alors la famlle des olyômes de Lagrage aux x x ots forme ue base de -[ X ] = L II4 Esaces vectorels e somme drecte sous-esaces sulémetares Pour motrer que deux esaces vectorels F et G sot e somme drecte quatre méthodes sot ossbles - motrer (gééralemet ar aalyse-sythèse) que " x Î ( F + G) $!( y z) Î F G x = y + z - motrer que F Ç G = {} (e motrat ar exemle que dm( F Ç G) = ) u - s F et G sot de dmesos fes motrer que dm( F Ç G) = ( e dm F + dmg = dm( F + G)) - s F et G sot de dmesos fes motrer que la cocatéato d ue base de F et d ue base de G forme ue famlle lbre Auteur Steeve SARFATI Tous drots réservés Reroducto terdte Auteur Steeve SARFATI Tous drots réservés Reroducto terdte

13 xx MasterClass 5-6 ECS ème aée Fche méthodologque xx Pour motrer que deux esaces vectorels F et G sot sulémetares das E (e méthodes sot ossbles (cf 9) - motrer (gééralemet ar aalyse-sythèse) que " xî E $!( yz ) Î F G x= y+ z - motrer que F + G = E et F Ç G = {} - s E est de dmeso fe motrer que F Ç G = {} et dm F + dmg = dm E - s E est de dmeso fe motrer que F + G = E et dm F + dmg = dm E F Å G = E) - s E est de dmeso fe motrer que la cocatéato d ue base de F et d ue base de G forme ue base de E Pour motrer que les esaces vectorels F æ æ aalyse-sythèse) que Î ç " uî F!( u) F $ u = u ç è è ø Atteto tout sous-esace vectorel F de E dfféret de {} et de E admet ue fté de sulé- das E ) metares das E (o dt alors que G est u sulémetare de F cq sot e somme drecte l faut motrer (gééralemet ar Pour motrer que F = E l faut motrer (gééralemet ar aalyse-sythèse) que II5 Dmeso Å ø! æ " uî E $ u Î F u = u ç Pour détermer la dmeso d u esace vectorel E o eut (cf 8) - détermer le ombre de vecteurs d ue base (quelcoque) de E et la dmeso de E est alors égale au ombre de ces vecteurs - motrer que E est somorhe à u autre esace vectorel F (e l exste ue bjecto etre E et F ) dot o coaît la dmeso et o a alors dm E = dm F O otera que s et sot deux eters aturels o uls et E et F deux -esaces vectorels de dmesos resectves et - la dmeso d ue drote vectorelle est - la dmeso d u la vectorel est - la dmeso d u hyerla de E est - - est u -esace vectorel de dmeso - est u -esace vectorel de dmeso et u -esace vectorel de dmeso - [ X ] est u -esace vectorel de dmeso + - [ X ] est u -esace vectorel de dmeso + [ X ] est u -esace vectorel de dmeso ( + ) - ( ) est u -esace vectorel de dmeso - est u -esace vectorel de dmeso est u -esace vectorel de dmeso - ( EF ) est u -esace vectorel de dmeso (somorhe à ) III Alcatos léares III Alcatos léares formes léares edomorhsmes somorhsmes automorhsmes Pour motrer qu ue alcato f défe sur E est léare l sufft de motrer que "( l uv ) Î E f( lu+ v) = lfu () + fv ()(atteto l covet de démotrer cette roosto as à as) Pour motrer qu ue alcato f défe sur E est ue forme léare l faut motrer que f est ue alcato léare (cf sura) sur = ou (e " uîe fu Î) Pour motrer qu ue alcato f défe sur E est ue alcato léare de E das F e f Î ( EF ) (cf ) l faut motrer que f est ue alcato léare (cf sura) sur F (e " uîe fu ÎF) Pour motrer qu ue alcato f défe sur E est u edomorhsme de E e f Î ( E) (cf ) l faut motrer que f est ue alcato léare (cf sura) sur E (e " uîe fu ÎE) Pour motrer qu ue alcato f défe sur E est u somorhsme de E das F l faut motrer que f est ue alcato léare (cf sura) bjectve (cf III) sur F (cf sura) Pour motrer qu ue alcato f défe sur E est u automorhsme de E l faut motrer que f est ue alcato léare (cf sura) bjectve (cf III) sur E (cf sura) S f est ue alcato léare de E das F alors f = Ue alcato léare f défe sur u esace vectorel de dmeso fe E dot base est etèremet détermée ar la doée des les f ( e ) E F e est ue f ( e ) Pour détermer f l sufft doc de détermer Pour motrer qu ue alcato léare f défe sur u esace vectorel de dmeso fe E dot est ue base est ulle o eut motrer que e - " xî E fx = ou - " Î fe ( ) = III Noyau mage Pour détermer le oyau Ker f d ue alcato léare défe sur E (cf ) l covet de chercher aaal esemble des vecteurs x Î E tels que f ( x ) = Pour cela l faut chosr x Î E us détermer u esemble A aaatel que f ( x) = x Î A (et o a alors Ker f Ì A) avat de vérfer que " xî Afx = (et o a alors AÌ Ker f ) us de coclure que Ker f = A (o otera que lorsque A = {} o justfe que {} Ì Ker f e aaaexlquat que Ker f est u sous-esace vectorel de E ) Lorsque E est de dmeso fe ue méthode alteratve cosste à cosdérer ue matrce rerésetatve A de f et à résoudre le système AX = (cf ) O otera les résultats suvats - dm( F + G) = dm F + dmg -dm( F Ç G) æ - s les esaces vectorels ( F ) sot e somme drecte alors dm dm ç Å F = F = ø - dm( F G) = dm F + dmg (cf C4) Auteur Steeve SARFATI Tous drots réservés Reroducto terdte Auteur Steeve SARFATI Tous drots réservés Reroducto terdte

14 xxv MasterClass 5-6 ECS ème aée Fche méthodologque xxv Pour détermer l mage Im f d ue alcato léare f de E das F l covet de chercher l esemble des vecteurs y Î F tels que $ x Î E y= fx S l y a as de méthode géérale our détermer Im f lorsque E est de dmeso fe o ourra lorsque E est de dmeso fe - écrre que Im f est l esace gééré ar l mage ar f des vecteurs d ue base de E e aaa(e Im f = V ect ( fe ) ) us e élmat les vecteurs uls et les vecteurs lés de la famlle ( f ( e )) dédure ue base de Im f (cf ) ou - effectuer ue sute d oératos élémetares sur les coloes de la matrce A rerésetatve de f d ue base de E das ue base e ( f ) coloes o ulles rerésetet das la base III Ijectvté surjectvté bjectvté de F qu mèe à ue matrce tragulare (féreure) dot les f de F ue base de Im f (cf ) Pour motrer qu ue alcato léare f de E das F est jectve o motre gééralemet que Ker f = {} (vore mas c est beaucou lus rare rever à la défto d ue alcato jectve) Pour motrer qu ue alcato léare f de E das F est surjectve o motre gééralemet que Im f = F (vore mas c est beaucou lus rare rever à la défto d ue alcato surjectve cf 5) Pour motrer qu ue alcato léare f de E das F est bjectve o eut motrer - que f est jectve et surjectve (cf sura) - que f est jectve ou surjectve et que E et F sot des esaces vectorels de même dmeso fe - qu l exste ue alcato g de F das E telle que f g = g f = d - que la matrce A rerésetatve de f das ue base doée est versble O otera égalemet les résultats hors-rogramme suvats (cf A) - f est surjectve s et seulemet s l mage ar f d ue famlle géératrce de E est ue famlle géératrce de F (e s f est surjectve alors l mage ar f de toute famlle géératrce de E est ue famlle géératrce de F et s l mage ar f d ue famlle géératrce de E est ue famlle géératrce de F alors f est surjectve) - f est jectve s et seulemet s l mage ar f de toute famlle lbre de E est ue famlle lbre de F (e s f est jectve alors l mage ar f de toute famlle lbre de E est ue famlle lbre de F et s l mage ar f de toute famlle lbre de E est ue famlle lbre de F alors f est jectve) - f est bjectve s et seulemet s l mage ar f d ue base de E est ue base de F (e s f est bjectve alors l mage ar f de toute base de E est ue base de F et s l mage ar f d ue base de E est ue base de F alors f est bjectve) III4 Projecteurs homothétes symétres Pour motrer qu ue alcato léare est u rojecteur o eut rever à la défto ou motrer que = Pour motrer qu ue alcato léare s est ue symétre o eut rever à la défto ou motrer que s s = d (résultat hors-rogramme cf G) Pour motrer qu ue alcato léare h est ue homothéte o eut rever à la défto ou motrer que our tout x Î E la famlle ( xhx ) est lée (résultat hors-rogramme cf G) e III5 Rag d ue alcato léare Le rag d ue alcato léare f de E das F (où E est u esace vectorel de dmeso fe) estaaa la dmeso dm(im f ) de so mage et o a alors (formule du rag) dm(ker f ) + dm(im f) = dm E e rg( f ) = dm E -dm(ker f ) (cf et ) Atteto - la oto de rag d ue alcato léare et la formule du rag ot de ses que s E est de dmeso fe (sas codto de dmeso sur F) - la formule du rag e dt as que Ker f et Im f sot sulémetares das E (mas que tout sulémetare de Ker f das E est somorhe à Im f ) u même vecteur o ul eut aarter à Ker f et Im f O otera les résultats hors-rogramme suvats (cf D) s f est ue alcato léare de E das F où E et F sot deux esaces vectorels de dmesos fes alors - rg( f ) m(dm E dm F) - f est jectve s et seulemet s rg( f ) = dm E - f est surjectve s et seulemet s rg( f ) = dm F et - f est bjectve s et seulemet s rg( f ) = dm E = dm F O otera les résultats hors-rogramme suvats (cf D) s E est u esace vectorel de dmeso et f et g deux edomorhsmes de E alors - rg( f ) - rg( g) rg( f + g) rg( f) + rg( g) et ì Im f Ç Im g = {} - rg( f + g) = rg( f) + rg( g) Ker f + Ker g = E O otera les résultats hors-rogramme suvats (cf D4) - s E F et G sot tros esaces vectorels de dmesos fes f ue alcato léare de E das F et g ue alcato léare de F das G alors rg( f ) + rg( g) - dm F rg( g f) m( rg( f) rg( g )) (égalté de Sylvester) et - s E et F sot deux esaces vectorels de dmesos fes f u automorhsme de E g ue alcato léare de E das F et h u automorhsme de F alors rg( g f) = rg( g) = rg( h g) IV Calcul matrcel système d équatos léares IV Somme rodut de matrces Pour addtoer deux matrces l faut toujours veller à ce qu elles soet de même format (cf ) Pour multler deux matrces A et B (das cet ordre) l faut toujours veller à ce que le ombre de coloes de A sot égal au ombre de lges de B ème ème Le coeffcet stué sur la lge et la j coloe de la matrce C = AB est alors la somme des roduts ème ème deux à deux des coeffcets de la lge de A et de la j coloe de B (cf ) S A Î m A= ( aj ) B Î m B = ( b ) et C = AB C = ( c j ) alors j m m "( j ) Î cj = a b j = j m j j Auteur Steeve SARFATI Tous drots réservés Reroducto terdte Auteur Steeve SARFATI Tous drots réservés Reroducto terdte

15 xxv MasterClass 5-6 ECS ème aée Fche méthodologque xxv IV Pussace ème de matrces IV4 Matrces symétrques et atsymétrques Il exste cq méthodes géérales our calculer la ussace (cf J et ) ème ( Î ) d ue matrce carrée A ) S A ou A s exrme de faço très smle e focto de A o calcule A (vore A ) et o rocède ar ue récurrece mmédate (cf et J) ) Lorsqu l exste ue matrce J telle que A= a I + bj - s J est ue matrce tragulare suéreure strcte (e ue matrce tragulare suéreure dot tous les aaacoeffcets dagoaux sot uls) o eut écrre A = ai + bj $ Î " Î + J = (cf J) ; comme et comme toutes les matrces commutet avec I o e dédut à l ade de la formule du bôme de aaanewto our tout Î ue exresso de A e focto de I et des " Î A - æ = a ç è = - b J (cf ) et - s J est as ue matrce tragulare suéreure strcte et J s exrme comme combaso léare des matrces I et J o démotre qu l exste deux sutes et ( b ) telles que " Î A = a I + b J us o a Î déterme our tout Î les exressos de a et b avat de coclure (cf et J) ) O eut s téresser aux ussaces successves de l alcato f dot A est ue matrce rerésetatve das des bases doées et o e dédut alors our tout Î la matrce rerésetatve A de mêmes bases (cf J et J4) Î - ( J ) f das ces 4) Lorsque l o eut détermer u olyôme aulateur P de A e u olyôme P tel que PA = (et l éocé le suggèrera resque toujours) o eut effectuer our tout Î la dvso eucldee de X ar P " Î $ ( Q R) Î [ X] X = P( X) Q( X) + R( X) et o eut alors écrre " Î A = R ( A ) (cf 4) 5) Lorsque A est dagoalsable e P GL A PDP - $ Î = o eut écrre " Î A = ( PDP - ) d où à l ade d ue récurrece mmédate " Î A = PD P - (méthode à emloyer qu arès s être assuré qu aucue des récédets e eut être utlsée cf ) IV Matrces rerésetatves Pour détermer la matrce A Î rerésetatve de f Î ( EF ) das les bases doées de E et f j j est égal à dm E ) l faut (cf ) e de F (o otera que le ombre de lges de A est égale à dm F et que le ombre de coloes de A - exrmer our tout Î f ( e ) e focto des ( f ) " Î fe j j = a jfj - lacer our tout les coeffcets Î a j j j= ème (das cet ordre) das la coloe de A Pour détermer (das des bases doées) la matrce M rerésetatve - de l f (où f Î ( EF )) l covet d écrre M = la (où A est la matrce rerésetatve de f das ces mêmes bases) - de f + g (où ( f g) Î ( ( EF )) ) l covet d écrre M = A+ B (où A et B sot les membres rerésetatves resectves de f et g das ces mêmes bases) - de f g (où gî ( EF ) et f Î ( FG )) l covet d écrre M = AB (où A et B sot les matrces rerésetatves resectves de f et g das ces mêmes bases) Noter que les coeffcets suéreurs d ue matrce symétrque (doc carrée) sot égaux à ses coeffcets féreurs (ar symétre ar raort aux coeffcets dagoaux) et que les coeffcets suéreurs d ue matrce atsymétrque (doc carrée) sot égaux aux oosés de ses coeffcets féreurs (toujours ar symétre ar raort aux coeffcets dagoaux) Noter égalemet que les coeffcets dagoaux d ue matrce symétrque sot quelcoques et que les coeffcets dagoaux d ue matrce atsymétrque sot tous uls IV5 Rag d ue matrce Pour détermer le rag d ue matrce M Î tros méthodes sot ossbles - détermer Ker f ou Im f (où f est l edomorhsme assocé à M das des bases doées) et o a alors (d arès la formule du rag) rg( f ) = dm(im f) = - dm(ker f) - effectuer ue sute d oératos élémetares sur les coloes de M qu mèe à ue matrce tragulare æm (féreure) du tye mr mr r avec " Î r m ¹ et o a alors rg( M) = r (cf ) m ç m r t M - calculer le rag de (e effectuat ue sute d oératos élémetares sur les lges de M e sur les coloes de t M cf sura) et o a alors rg rg( t M = M ) IV6 Résoluto d u système d équatos léares Pour résoudre u système de équatos léares à coues (cf 4) l covet d utlser la méthode du vot de Gauss af de trasformer le système e u système écheloé équvalet (cf cours) Pour tout Î - lorsque a ¹ est le vot du système o dot effectuer our tout aj l oérato élémetare Lj a Lj -a j L (ou Lj Lj - L) a Lorsque le système est écheloé o eut alors rocéder ar substtuto our le résoudre S u système d équatos léares admet ue uque soluto ce système est dt de Cramer IV7 Iverso de matrces j Î + Ue matrce carrée A est versble s l exste ue matrce B telle que AB = I ou BA = I (et o a alors A - = B) Ue matrce carrée est versble s et seulemet s le système AX = admet ue soluto smle (e le système AX = est de Cramer) Auteur Steeve SARFATI Tous drots réservés Reroducto terdte Auteur Steeve SARFATI Tous drots réservés Reroducto terdte

16 xxv MasterClass 5-6 ECS ème aée Fche méthodologque xxx Pour verser ue matrce A carrée d ordre tros méthodes sot ossbles (cf 4 et 4) ) O ose X = ( x ) et Y = ( y ) us o résout le système AX e effectuat des oératos =Y élémetares (suvat la méthode du vot de Gauss e our tout Î - lorsque a ¹ est le vot de la matrce o effectue our tout j Î + l oérato élémetare L j j a L -a j L ) af d aboutr (das le membre de gauche) à ue matrce tragulare dot tous les coeffcets dagoaux sot o uls Das ce cas A est alors versble et e rocédat ar substtutos o obtet our tout ue exresso de x e focto des - a alors A = ( a ) ( y j ) j j j x aj yj e " Î = X = ( a ) ( y ) j= j j j j Î ) O ose A = IA us o rocède ar équvaleces e effectuat des oératos élémetares (toujours suvat la méthode du vot de Gauss) sur les lges de la matrce du membre de gauche et celles de la remère matrce du membre de drote af d aboutr (das le membre de gauche) à ue matrce tragulare dot tous les coeffcets dagoaux sot o uls Das ce cas A est alors versble et e rocédat à ouveau ar équvaleces e effectuat des oératos élémetares (suvat la méthode de Gauss versée e our tout Î lorsque a ¹ est le vot de la matrce o effectue our tout j Î - l oérato élémetare Lj a L j -a j L ) sur les lges de la matrce du membre de gauche et celles de la remère matrce du membre de drote o aboutt à ue relato du tye I = BA et o a alors A - = B ) O eut chercher à détermer u olyôme aulateur P= ax de A tel que a ¹ e u olyôme P tel que PA = (das la ratque l éocé devrat toujours le suggérer) et o e ut alors écrre æ - aa ç a = ø A ç - = I A est doc versble d verse A - - = = =- a a O a égalemet le résultat hors-rogramme suvat (cf B) toute matrce carrée A est versble s et seulemet s ses vecteurs coloe (res lge) formet ue famlle lbre et e artculer s la somme des vecteurs coloe (res lge) de A est ulle alors A est as versble + A et oaaa VI Chagemet de bases (cf ) Chager de base ermet - de détermer le vecteur coloe rerésetatf d u vecteur u Î E das ue base so vecteur coloe rerésetatf das ue autre base de E - de détermer la matrce rerésetatve d u edomorhsme coaît sa matrce rerésetatve das ue autre base de E Pour cela o utlse ue matrce de assage de E lorsque l o coaît f Î ( E) das ue base de E lorsque l o La matrce de assage de la base à la base est la matrce rerésetat les vecteurs de das la base est versble et so verse est la matrce de assage de la base à la base As our calculer l est arfos lus asé de détermer la matrce de assage de la base à la base que d verser P P P P - P de maère classque Pour détermer le vecteur coloe rerésetatf d u vecteur das la base lorsque l o coaît so vecteur rerésetatf das ue base l faut détermer la matrce de assage de à et o a X Pour détermer la matrce B rerésetatve d u edomorhsme das ue base lorsque l o coaît sa matrce A rerésetatve das ue base l faut détermer la matrce de assage de à us so verse et o a alors B P AP X - alors X = PX (acees coordoées e focto des ouvelles) d o ù X = P Deux matrces A et B sot semblables - s et seulemet s elles rerésetet le même edomorhsme (das des bases dfféretes) e - s et seulemet s l exste ue matrce P versble telle que B = P AP P détermer la matrce de assage P de à et o a alors X = P X ) - = - P X P (o eut auss V Polyôme aulateur d u edomorhsme d ue matrce S P est u olyôme et f est u edomorhsme de E (res A est ue matrce carrée d ordre alors Pf () est égalemet u edomorhsme de E (res PA est égalemet ue matrce carrée d ordre ) de Deux olyômes d u edomorhsme deux olyômes d ue matrce sot toujours commutatfs S A est la matrce rerésetatve de f das ue base doée de E alors Pf () das cette même base est la matrce rerésetatve Tout edomorhsme d u esace vectorel de dmeso fe toute matrce carrée admet au mos u olyôme aulateur o ul Les olyômes aulateurs à coaître sot - X - l olyôme aulateur de l homothéte de raort l ( l Î ) - X - X olyôme aulateur de tout rojecteur - X - olyôme aulateur de toute symétre PA ) Auteur Steeve SARFATI Tous drots réservés Reroducto terdte Auteur Steeve SARFATI Tous drots réservés Reroducto terdte

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